高中数学 轨迹方程做法汇总 论文 新人教A版

轨迹的相关情况
求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们
参考.
一、直接法
直接根据等量关系式建立方程.
·PB?x
2
，则点
P
的轨迹是（ ） 例1 已知点
A(?2，，

0)B(3，0)
，动点
P(x，y)
满足
PA
Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线
?y)
，
?y)
，
PB?(3?x，
解析：由题知
PA?(?2?x，< br>·PB?x
2
，得
(?2?x)(3?x)?y
2
?x
2
，即
y
2
?x?6
， 由
PA




∴P
点轨迹为抛物线．故选Ｄ．
二、定义法
运用有关曲线的定义求轨迹方程．
例2 在
△ABC
中，
BC?2 4，AC，AB
上的两条中线长度之和为39，求
△ABC
的重心
的轨迹方程 ．
解：以线段
BC
所在直线为
x
轴，线段
BC
的中垂线为
y
轴建立直角坐标系，如图1，
M
2
为重心，则有BM?CM??39?26
．
3

∴M
点的轨迹是以
B，C
为焦点的椭圆，
其中
c?12， a?13
．
∴b?a
2
?c
2
?5
．




x
2
y
2
??1(y?0)
．
∴
所求< br>△ABC
的重心的轨迹方程为
16925
注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹 性与完备性.
三、转代法
此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.





例3 已知△
ABC
的顶 点
B(?3，，0)C(1，0)
，顶点
A
在抛物线
y?x
2
上运动，求
△ABC
的
重心
G
的轨迹方程．
?3?1?x
0
?
x?，
?
x?3x?2，

①
?
0
?
3
解：设
G(x，y)
，< br>A(x
0
，y
0
)
，由重心公式，得
?
< br>∴
?
y
?
y?
0
，
?
y
0
?3y． ②
?
3
?
2
又
∵A(x
0
，y
0
)
在抛物线
y?x
2
上，
∴y
0
?x
0
． ③
将①，②代入③，得
3y?(3x?2)
2
(y?0)
，
4
即所求曲线方程是
y?3x
2
?4x?(y?0)
．
3
四、参数法
如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系
专心 爱心 用心
1

起来．
例4 已知线段
AA
??2a
，直线
l
垂直平分
AA
?
于
O
，在
l
上取两点
P，P
?
，使有向线段
OP，OP
?
满足
OP·OP
?
?4
，求直线
AP
与
A
?
P
?
的交点
M
的轨迹方程．
解：如图2 ，以线段
AA
?
所在直线为
x
轴，以线段
AA
?< br>的中垂线
为
y
轴建立直角坐标系．
设点
P(0，t)(t?0)
，
?
4
?
则由题意，得
P
?
?
0，
?
．
?
t
?
由点斜式得直线
AP，A
?
P
?
的方程分别为

t4
y?(x?a)，y??(x?a)
．
ata
两式相乘， 消去
t
，得
4x
2
?a
2
y
2
? 4a
2
(y?0)
．
这就是所求点
M
的轨迹方程．
评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参
的途径灵活多变.
五、待定系数法
当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
例5 已知
Ａ
，
Ｂ
，
Ｄ
三点不在一条直线上，且
A(?2 ，0)
，
B(2，0)
，
AD?2
，
1
AE?(AB?AD)
．
2
（1）求
E
点轨迹方程；
（2）过
A
作直线交 以
A，B
为焦点的椭圆于
M，N
两点，线段
MN
的中点到< br>y
轴的距
离为
4
，且直线
MN
与
E
点的轨迹相切，求椭圆方程．
5
1
解：（1）设
E(x，y)
，由
AE?(AB?AD)
知
E
为
BD
中点，易知
D(2x?2，2y)
．
2
又
AD?2
，则
(2x ?2?2)
2
?(2y)
2
?4
．
即
E点轨迹方程为
x
2
?y
2
?1(y?0)
；
（2）设
M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y
2
)
，中点
(x
0
，y
0
)
．
x
2
y
2
由题意设椭圆方程为
2
?
2
?1
，直线
MN
方程为
y?k(x?2)
．
aa?4

∵
直线
MN
与
E
点的轨迹相切，

∴
2k
k
2
?1
?1
，解得
k??
3
．
3
3
(x?2)
代入椭圆方程并整理，得
4(a
2< br>?3)x
2
?4a
2
x?16a
2
?3a
4
?0
，
3
x
1
?x
2
a
2
??

∴x
0
?
，
22(a
2
?3)
将
y??
专心 爱心 用心
2

a
2
4
4
又由题意知
x
0??
，即，解得
a
2
?8
．
?
2
2(a?3)5
5
x
2
y
2
故所求的椭圆方程为
??1
．
84
专心 爱心 用心
3