数学教学论文1

谈高中立体几何中二面角的求解方法
贵州省印江民族中学 张 学

二面角是立体几何三种空间角中最重要的一种角 ，是高考常考的考点，如
何准 确找出二面角的平面角是解题的关键，在学习中，许多同学都对其感到困难，
而且不能很好地解决求二面 角的问题。下面,我就二面角的求解问题介绍几种常
用的方法与技巧，希望对同学们的学习有所帮助。
1、定义法：
利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。
例1、 如图,已知二面角а-L -β等于120°,PA⊥а,A∈а,PB⊥β,B∈β. 求
∠APB的大小.
解: 设平面PAB∩а=OA,平面PAB∩β=OB。
∵PA⊥α, а?α ∴PA⊥а
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
又∵OA?平面PAB ∴а⊥OA
同理а⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,.
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°
2、三垂线法:
由二面 角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于
二面角的另一面上的射影（或斜线） 也与二面
角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。
例2、如图，ΔABC中，∠A=90°， AB=4，
AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的
射影是AB中点M，二面角P—A C—B的大
小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；
（2）二面角C—PB—A的大 小

P
A
O
B
P

B

D

A

M

C

解：∵PM丄平面ABC，AC丄AB，
∴由三垂线定理得：AC 丄AP，
∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角，
即∠PAB =45°，
又AM=2 AB=4. ∴PM=2
作MD丄 BC于D，连PD，
则PD丄 BC，
故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角
RtΔMBD∽RtΔCAB
BM：BC=MD：CA 又BC=5，MD=
在Rt ΔPDM中，tan∠PDM=
6

5
PM5
=，
DM3
55
故∠PDM=arctan， 即二面角P—BC—A的大小为arctan。
33
（2）∵PM丄平面ABC，BM=MA ，∴PA=PB，又∠PAB=45°∴PM丄PA，
又PM丄平面ABC，BM丄AC，∴PB丄PA，
又PM丄平面ABC，BM丄AC∴PB丄AC，
故PB丄平面PAC，∴PB丄PC，即∠APC是二面C—PB—A的平面角，
在RtΔPAB中，∠PAC=90°，AC=3，PA=
2
，AM=2
因此二面角C—PB—A的大小为arctan
32
。
4
2
， ∴tan∠APC=
32
4
3、平移法: 将图形中有关线段或平面进行平移，以其得到二面角的两个平面的交线,进
而得到其二面角的方法。
例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面а，B、C在平面а的同侧，且
与а的距离分别 是4和2，求平面ABC与а所成的角的正弦值。
解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；
AE

∵E、F是B、C射影 ∴BE丄а；
∵CF丄а ∴BE∥CF 又CF：BE=
1
， B
2
∴C是BD的中点 ∴BC=DC， C
∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，
又∠ACB+∠ACD=180° ， A E F D
∴∠ACD=120°又AC=DC ，
?
A


∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，
∴∠BAD=90°，∴BA丄AD ，
又∵AE是AB在平面а上的射影，
∴AE⊥AD 又 BA⊥AD ，平面ABC∩平面а=A，
∴∠BAE是平面ABC与а所成的角，
∴BE⊥平面а，∴ BE⊥AE ， ∴ΔABC是 RtΔ
sin∠BAE=BE：AB=
4、射影面积法:
由公式 S
射影
=S
斜面
cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关
键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求
得。
例 4、如图，设M为正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱CC
1
的中点，求平面BMD
与底面ABCD所成的二面角的大小。
解：∵D
1
D⊥面ABCD，C
1
C⊥面ABCD，∴ ?BMD
1
在底面上的射影为
?BDC，
1
2
设正方体的 棱长a，则S
?BCD
=a，BD
1
=
3
a
2
D
1

C
1

22
，即平面ABC与а所成角的正弦值为。
55
26
2
∴MH=a，S
?
BMD1
=a
24
A
1

D
H
B
1
M
C
由S
?
BDC
=S
?
BMD1
cos θ得θ=arccos
6


3

A
B

5、垂面法:
由二面角的平面角的定义可知两个面的公 垂面与棱垂直，因此公垂面与两个
面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
例5、如图，已 知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面
PAB与平面PCD所成的二面角的大小 。
解: ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD． P
而CD?平面PCD， A D
所以 平面PCD⊥平面PAD．
同理可证 平面PAB⊥平面PAD． B C
因为 平面 PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与
所求二面角的棱均垂直 ，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．

6、向量法:
两平面所成的角的大小与分别垂直于这两个平面的两向量所成的角（或补
角）相等。
例6、在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1中，点E、F分别在BB
1
、DD
1
上，且AE
⊥A
1
B，AF⊥A
1
D． AB＝4，AD＝3，AA
1
＝5，求平面A EF与平面D
1
B
1
BD所
成角的大小．
解：：如图，以D为原点，DA为X轴建立空间直角坐标系
过C作CG⊥BD，交AB于G。 Z
AD=3，AB=4，AA
1
=5 ∴A
1
(3, 0, 5)、
7
C(0, 4, 0)、 G(3, , 0) D
1
C
1

4
A
1
C⊥平面AEF,
GC⊥平面D
1
B
1
BD(易证) A
1
B
1

∴
A
1
C
⊥平面AEF, F E
C
CG
⊥平面D
1
B
1
BD D Y
则平面AEF与平面D
1
B
1
BD所成角 A B
的大小等于
A
1
C
与
CG
所成的角.

A
1
C
=｛-3, 4, -5｝、
CG
=｛-3,
9
, 0｝
4
设
A
1
C
与
CG
所成角为θ
则Cosθ=
A
1
C
GC
A
1
CGC=
9?9?0
122
=
15
25
52?
4
则θ=arccos
122

25
122
。
25
∴平面AEF与平面D
1
B< br>1
BD所成角为arccos