高中数学教学论文关于分式和的几个结论的证明及应用

关于分式和的几个结论的证明及应用
在国内外各级各类的数学竞赛中 ，经常出现一些与分式和有关的不等式的证明问
题 ，本文总结了关于分式和的几个一般性结论，为了便 于结论的证明，我们先将向量数
量积的概念进行合理的推广：
1． 向量数量积概念的推广
对于平面向量
m
=（a ,b）、
n
=(c，d) ，
m
与
n
的数量积是
m
?
n
=︱
m
︱
?
︱
n
︱
?
cos
?
= ac＋bd,
?
为
m
与
n
的夹角，其范围是 0≤
?
≤
?
。
对于三维空间向量
m
=（a , b, c）
n
=( d, e, f ).它们的数量积为
m
?
n
=
︱
m
︱
?
︱
n
︱
?
cos
?
=ad＋be＋cf.，
?
为
m
与
n
的夹角，其范围是 0≤
?
≤
?
。
︱
m
︱、︱
n
︱ 分别是向量
m
与
n
的模：︱
m
︱=
=
d
2
?e
2
? f
2
a
2
?b
2
?c
2
，︱
n< br>︱
。向量数量积的概念可推广到n维欧几里得空间：设
m
=（x
1,x
2
,…，x
n
）,
n
=(y
1
,y
2
, … ，y
n
)。
m
与
n
的夹角为
?
, 范围是 0≤
?
≤
?
。定义
m
与
n
的
数量积为
m
?
n
=︱
m
︱
?
︱
n
︱
?
cos
?
=x
1
y
1
+x
2
y
2
+…+x
n
y
n
.︱
m
︱、︱
n
︱ 分别
是向量
m
与
n
的模：︱
m
︱＝
22
m
?
n
＝
x
1
2
?x
2
?
???x
n
2 2222
x
1
2
?x
2
???x
n
，︱< br>n
︱＝
y
1
?y
2
???y
n
，则
22
?
cos
?
，当
m
与
n
平行时，
m

y
1
2
?y
2
???y
n
=
?
n

?
?
R，若
?
＞0，则
m
与
n
同向，
?
=0。若
?
＜0，则
m
与
n
反向，
?
=
?
。当
m

⊥
n
时，
m
?
n
=0，此时
?
=
?
。
2
2．向量数量积的应用
在本文中，多处用到柯西（ Cauchy ）不等式，我们先用向量法证明此不等式：
(a
1
＋a
2
＋…＋a
n
)(b
1
＋b
2
＋…＋b
n
)≥(a
1
b
1
＋a
2< br>b
2
＋…＋a
n
b
n
)
证明：设
m
=（a
1
,a
2
,… ,a
n
）,
n
= (b
1
,b
2
,… ,b
n
),
m
与
n
的夹角为
?
,范围是 0≤
?
≤
?
。
222
则
m
?
n
＝a
1
b
1< br>＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n
＝a
1
?a
2
???a
n
22
b
12
?b
2
???b
n
cos
?

2
2
22
2
22
2
2
所以(a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n< br>)＝(a
1
＋a
2
＋…＋a
n
)(b
1＋b
2
＋…＋b
n
) cos
≤(a
1
＋a< br>2
＋…＋a
n
)(b
1
＋b
2
＋…＋bn
)。
下面我们用向量法来证明与分式和有关的几个结论。
用心 爱心 专心
22
2
2
22
2
2
2
?

22
2
1

结论1 已知 x
1
, x
2
, … , x
n
是满足x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n
=A的非负实数，
且 k＞0 ，则
x
n
x
1
x
2
nA
++ … +≤.。
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n
n?kA
证明：设
m
＝（
?
x
n
x
1
x
2
，，…，），
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n

n
＝（
x
1
(1?kx
1
)
，
x
2
(1?kx
2
)
，…，
x
n
(1?k x
n
)
），且
m
与
n
的夹角为
?

（０≤
?
≤
?
）。
?
?
则
m
·
n

＝
?
?
?
x
1
1?kx
1
x
1
(1?kx
1
)
＋
x
2
1?kx
2
x
2
( 1?kx
2
)
＋…＋
x
n
1?kx
n
x< br>n
(1?kx
n
)

＝x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n

＝x
n
x
1
x
2
??
?
?
1? kx
1
1?kx
2
1?kx
n
22
(x
1
?x
2
???x
n
)?k(x
1
2
?x< br>2
???x
n
)
cos
?

＝
x< br>n
x
1
x
2
??
?
?
1?kx1
1?kx
2
1?kx
n
22
2
22
A?k
(
x
1
2
?x
2
???x
n
)
cos
?

∵n (x
1
＋x
2
＋…＋x
n
)＝(1＋1＋…＋1)( x< br>1
＋x
2
＋…＋x
n
)≥(x
1
＋x
2
＋…＋
x
n
)，
2
∴ ( x
1
2
＋x
2
2
＋…＋x
n
22
2
2
( x
1
?x
2
???x
n
)
2
A
2
)≥= ,
n
n
当且仅当x
1
＝x
2
＝ … ＝ x
n
（≥０）取等号，此时
m
与
n
同向，即
?
＝０，cos
?
=1.
?
?
x
n
x
1
x
2
??
?
?
∴A≥
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n
xn
x
1
x
2
??
?
?
＝
1? kx
1
1?kx
2
1?kx
n
x
n
x1
x
2
∴＋＋… ＋≤
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n
A
2
cos
?

A?k
n
A
2

A?k
n
A
2< br>A
2
A?k
n
＝
nA
。
n?kA
用心 爱心 专心
2

例１ 已知正数x、 y 、z 满足x +y+ z=1 ，试证明：
y
xz3
＋＋≤。
1?x
1?y
1?z4
证明：∵n=3 , A=1 ，k=1 ∴ 由结论１，
y
xz3?13
＋＋ ≤＝。
1?x
1?y
1?z3?1?14
结论２ 已知x
1
, x
2
, … , x
n
是满足x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n
=A的非负实数，
且 k＞0 ，１－kx
i
＞0 (I=1,2,…,n),则
x
n
x
1
x
2
nA
＋＋…＋≥。
1?kx
1
1?kx< br>2
1?kx
n
n?kA
证明：设
m
＝（

?
x
n
x
1
x
2
，，…，），
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n
?
?
?
,且
m
与
n
的夹角为
?
（０≤
?
n
＝(
x
1
(1?kx
1
)
，
x
2
(1?kx
2
)
，…，
x
n
(1?kx
n
)
)
≤
?
）。则
m
·
n
＝ x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n

＝
?
?
xn
x
1
×
x
1
(1
?kx
1
)
???x
n
(1
?kx
n
)
× cos
?

?
?
?
1?kx
1
1?kx< br>n
x
n
x
1
22
×
(
x
1
???x
n
)
?k
(
x
1
???xn
)
× cos
?

?
?
?
1?kx
1
1?kx
n
22
2
＝
因为（x
1
＋x
2
＋… ＋ x
n
）（1＋1＋…＋1）＝（x
1
＋x
2
＋… ＋ x
n
）n
≥（ x
1
＋x
2
＋…＋x
n
）
2
所以（x
1
2
＋x
2
2
＋… ＋ x
n
22
2
2
(x
1
?x
2
??? x
n
)
2
A
2
） ≥=
n
n
x
n
x
1
A
2
所以A≤
×
A?k
× cos
?

?
?
?
1?kx< br>1
1?kx
n
n
x
n
x
1
A
2
?
?
?
≤
×
A?k
，
1?kx< br>1
1?kx
n
n
x
n
x
1
x
2
则有＋＋…＋≥
1?kx
1
1?kx
2
1?kx
n
A
2
A
2
A?k
n
＝
nA
。
n?kA
例2 已知x ,y ,z 是满足x ＋y ＋z ＝1的正实数，证明：
y
z3
x
＋ ＋≥.。
1?y
1?x1?z2
3
用心 爱心 专心

证明：∵n=3 , A=1 ，k=1 , ∴ 由结论2,
y
z3?13
x
＋ ＋≥＝.
1?y
1?x1?z3?1?12
例3 已知非负实数a
i
(i＝1,2,3,…,n) 满足a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝1,
求
a
n
a
1
a
2
＋＋…＋ 的最小值
1? a
2
?a
3
???a
n
1?a
1
?a3
???a
n
1?a
1
?a
2
?
?< br>?a
n?1
（第23届IMO试题）.。
解：原题可以转化为求
a< br>1
a
a
n
2?a
＋
2
a
＋…＋的最小值。
1
2?
2
2?a
n
因为
a1
a
2
a
n
a
1
2?a
＋ ＋…＋＝
1
(＋
a
2
a
n
1
2?a2
2?a
n
2
1?
1
2
a
1
＋…＋
1
) ,
1
1?
2
a
2
1?2
a
n
又A=1 ，k=
1
,
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
2
所以由结论２，有
1?
1
2
a
1?
1
2
a
1
12
1?
2
a
n
≥
n?1
＝
2n
，
n?
1
2n?1
2
?1
从而
a
1< br>a
n
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
2?a
＋
a
2
2?a
＋…＋ ＝
1
(
12
2?a
n
2
1?
1
2
a
11
)
1
1?
2
a
2
1?< br>2
a
n
≥
1
2
?
2nn
2n?1< br>＝
2n?1
。

例4 已知a
i
＞0 (i＝1,2,3,…,n) 且 满足a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝S，
证明：
S
a??a
＋
S
＋…＋
S
n
2
2
?a
3
3
?
n
a
1
?a
3
?? ?a
n
aa
≥。
1
?a
2
?
?
?
n?1
n?1
证明：原不等式可以转化为证明以下不等式：
（１＋a
1
S?a
）＋（１＋
a
2
）＋…＋（１＋
a
n
n
2
?a
）≥。
1
S?a
2
S
n
n?1
即
a
1
a
2
a
nn
2
S?a
＋
S?a
＋…＋≥－n＝
n
1.
12
S?a
n
n?1
n?
( 此变式为1979年英国数学竞赛试题 )
用心 爱心 专心
4

因为
a
n
a
1
a
2< br>1
＋＋…＋＝(
S?a
1
S?a
2
S?a
n
S
a
n
a
1
a
2
＋＋…＋)，
111
1?a
1
1?a
2
1?a
n
SSS
又A=Ｓ ，k=
1
, 所以
S
a
n
a
1
a
2
nS
nS
＋＋…＋≥＝ ，
111
1
n? 1
1?a
1
1?a
2
1?a
n
n?S?
S SS
S
a
n
a
1
a
2
＋＋…＋)
111
1?a
1
1?a
2
1?a
n
SSS
a
n
a
1
a
2
1
所以＋＋…＋＝(
S? a
1
S?a
2
S?a
n
S
≥
nSn
1
?
＝ ，
S
n?1n?1
a
n
a
1
a
2
n
2
则（１＋）＋（１＋）＋…＋（１＋）≥ 。
S ?a
1
S?a
2
S?a
n
n?1
n
2SS
S
即＋＋ … ＋ ≥．
a
1
?a
3
? ??a
n
a
1
?a
2
?
?
?a
n ?1
n?1
a
2
?a
3
3
???a
n结论3 已知x
1
, x
2
, … , x
n
是满足x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n
=A的非负实数，
2
2
x
n
x
12
x
2
A
2
且１＋kx
i
＞0 (i=1,2,…,n), 则＋＋…＋≥。
1?kx
1
1?kx
21?kx
n
n?kA
证明：设
m
＝（
?
x1
1?kx
1
，…，
x
n
1?kx
n
），
n
＝（
1?kx
1
，…，
1?kx
n
），
?
且
m
与
n
的夹角为
?
（０≤
?
≤
?
）。
则
m
·
n
＝
?
?
?
?
x
1
1?kx
1
×
1?kx
1
＋ … ＋
x
n
1?kx
n
×
1?kx
n

2
x
n
x
1
2
?
?
?
＝x1
＋x
2
＋ … ＋ x
n
＝
×
n?k< br>(
x
1
???x
n
)
×cos
?
,
1?kx
1
1?kx
n
2
x
n
x
1
2
?
?
?
即A≤
1?kx
1
1?kx< br>n
2
2
x
n
x
1
2
x
2< br>A
2
n?kA
，所以
＋＋…＋≥。
1?kx
11?kx
2
1?kx
n
n?kA
y
2
x
2
z
2
1
例5 已知正数x、 y 、z 满足x +y+ z=1 ，试证明：＋＋≥。
1?x
1?y
1?z
2
y
2
1
2
x
2
z
2
1
证明：因为A=1,k=－1,n =3，所以由结论3 有 ＋＋≥＝ 。
1?x
1?y
1?z
3?1?1
2
用心 爱心 专心
5

结论 4 若非负实数x
1
, x
2
, … , x
n
满足x
1
＋x
2
＋ … ＋ x
n
=A，且
3
3
x
n
x
1
3< br>x
2
A
3
１－x
i
＞0 (i=1,2,…,n),则＋ ＋ … ＋≥
2
。
1?x
1
1? x
2
1?x
n
n?nA
?
证明：设
m
＝（
3
3
x
n
x
1
3
x
2
， ，…，），
1?x
1
1?x
2
1?x
n
?
?
?
，且
m
与
n
的夹角为
?
（０≤< br>?
≤
n
＝（
x
1
(1?x
1
)，
x
2
(1?x
2
)
，…，
x
n(1?x
n
)
）
?
）。
?
?
则< br>m
·
n
＝
x
1
3
1?x
1
x
1
(1?x
1
)
＋…＋
3
x
n
1?x
n
x
n
(1?x
n
)
＝x
1
2
＋…＋x
2
n
＝
3
x
n
x
1
3
22
?
?
?
×
(
x
1
???x
n
)
?
(
x
1
???x
n
)
×cos
?

1?x
1
1?x
n
3< br>x
n
x
1
3
22
?
?
?
≤
×
A?
(
x
1
???x
n
)

1?x
1
1?x
n
2
∵ x
1
2
＋ x
2
2
＋…＋x
n
(x1
?x
2
???x
n
)
2
A
2
≥＝,
n
n
2
∴x
1
2
＋ x
2
2
＋…＋x
n
3
x
n
x
1
3
A
2
?
?
?
≤
×
A?

1?x
1
1?x
n
n
3
x
n
x< br>1
3
A
2
A
2
?
?
?
∴≤
×
A?

n
1?x
1
1?x
n
n
A
2
2
()
3
3
x
n
x
1
3
x
2
A
3
n
∴＋ ＋ … ＋≥＝
2
。
2
n?nA
A
1?x
1
1? x
2
1?x
n
A?
n
y
3
x
3< br>z
3
1
例6 已知x ,y ,z是满足x ＋y ＋z ＝1的非负实数，证明：＋＋≥
1?x
1?y
1?z
6
y
3
1
3
x
3
z
3
1
证明：因为A=1,k =－1,n=3 ，所以由结论4 有＋＋≥
2
＝ 。
1?y
1?x1?z
3?3?1
6
用心 爱心 专心
6