判别式法在高中数学中的一些应用---毕业论文

【标题】判别式法在高中数学中的一些应用
【作者】彭燕
【关键词】判别式法 解决方法 三角判别式
【指导老师】焦 合 华
【专业】数学教育
【正文】
1引言
判别式法的运用是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支，在数
学的每个领域 里都起着重要的作用。运用判别式法的场合，每种都具有一定的特点
和适用性，具有较强的灵活性，技巧 性，综合性，它没有固定的模式可以套用，但
技巧可寻。本文采用多种方法进行例题分析，从而总结出对 一类题型采用何种方法
与技巧。
本文通过具体例子探讨了判别式法在求函数最值 和值域、求参变量的
取值范围、证明不等式、三角判别式在代数、三角函数、数列等中的应用。在解决< br>这些问题时有的有多种解法，但有的方法会比较复杂繁琐且不易理解，若运用判别
式法，可以使问 题由难到易。通过对判别式法技巧的研究，总结出如何把握问题的
实质并熟练运用各种证明方法与技巧。
2 二次函数判别式法的一些应用
我们知道，对于实数系一元二次方程 ,其跟的判别式为△= ,当△＞ 时,方程
有两个不相等的实跟；当△= 时，方程有两个相等的实跟；当△＜ 时，方程没
有实跟。所以有关一元二次方程或能转化为一元二次方 程的题目，都可以考虑用判
别式法来解决。
2.1求函数的值域
判别式法是求函 数值域的重要方法之一，是方程思想在函数问题上的的应用。它
的理论依据是：函数的定义域是非空数集 ，将原函数看作是以y为参数的关于x
的二次方程，若方程有实数解，必须判别式△≥ ，从而求得函数的值域。
例1 求函数 的值域。
解 原式变形为
（*）
（1）当 时，方程（*）无解；
（2）当y≠ 时，因为x∈R，所以△= ≥0，解得 ＜ 。
由（1）、（2）得，此函数的值域为
从以上分析中可以得出：当函数的定义域为R（即分母 ）时，其值域即为使关于
x的方程F（x，y）= 恒有解的条件中系数y的取值范围。此时，对二次项 的系数
是否为零的讨论是必要的：当二次项的系数为零时，若方程F（x，y）= 有解，
则相应y的值应保留；若方程F（x，y）= 无解，则相应y的值应舍去。
例2 求函数 的值域。
解 原式整理得

⑴
∵ ，∴ △=
解得
又∵ ＞ | |≥
故 不可能，舍去。
∴ 即值域为[ ，+∞）。
虽然此题函数的定义域为R，但在由原函数到方程⑴的变换 过程中，扩大了y的取
值范围，所以应注意判断、并剔除多余的y值。
2.2求函数的最值
例3 y∈R，求 的最小值。
解：
=
=

巧用判别式： 令
把上式看作关于x的一元二次方程
给定一个（x，y）就有一个z值与之相对应，所以上述关于x的方程一定有实跟，
即：
∴△=

∴
从以上两种方法看，第一种的难点在配方上即 配成分别关于x、y的二次，而第二
种则巧用判别式，这样使问题由难到易得以解决。
2.3 证明等式
例4 若实数 都不等于零，且

则 成等比数列，且 是其公比。
证明 由题设等式构造一元二次方程为

则 是这方程的唯一的实跟。所以
△=
=
即
所以
即 成等比数列
由求跟公式知

注：本例对已知等式进行整体观察，发现 是某一元二次方程的跟，从而得出绝妙
的解法，颇具代表性。
2.4 证明不等式
含有2个或2个以上字母的不等式，若能整理成一边为０，而另一边为某
个字母的二次式，就可以考虑用 判别式来解决问题。
例5 设 是满足不等式 的实数。
求证： 。

证明：由已知可得，

设
则
因为 是实数，所以△≥０
即有

于是
所以 ⑴
同理有 ⑵
综上所述 ，⑴⑵相加即得
本题采用构造法来解决问题，这样可以使问题化为我们所熟悉的知识来解答，使得
问题由难到易。
2.5 在圆锥曲线中的应用
例6 已知抛物线 以及抛物线上的点A ，P、Q是抛物线上的动点，且满足
AP⊥PQ，求点Q的横坐标的取值范围。
分析 设Q ，P 。因为AP⊥PQ，又 ， ，所以 ，即 。将上述方程视为
关于 的二次方程，又 ∈R，故△= ，解得 。故点Q的横坐标的取值范围为（－
∞，－３）∪（１，+∞）。
注 此题我们利用点的坐标的形式构造了一个二次方程，再利用判别式求出范
围。在和圆锥曲线有关的问题中 ，判别式是一个重要工具，是一个我们要优先考虑
的条件，我们还经常构造一元二次方程，利用判别式来 解决问题。
例7 椭圆 上一动点P 与点A（a，０）（a＞０）之间距离最小值为1，求a
的值。
错解 以A（a，０）（a＞０）为圆心半径为1的圆的方程为 ，与椭圆方程 联
立消去y，得
由圆与椭圆相切得 △
∴ ﹙舍 ﹚
椭圆 上一动点P 到a的距离的平方：
（ ）
令
对称轴 ，抛物线开口向上。
当０＜ ≤3即０＜ 时，
，
则 ，
但 ＞ 时，
有 ，故 。
综上可知：△=０只是两曲线相切的充分条件，而并非必要条件；△为某一正数 时
也是两曲线有一个切点而不是两个切点的条件；由△=０推出的x或y值要注意代
入原曲线方 程检验。
2.6 求参变量的范围
在二次函数 中，当a＞0且△＜０时， ＞０恒成立；当a＜０且△＜０时， ＜
０恒成立。

例8 已知不等式 ＞０对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。，
解 ⑴ 若 ，得 ，显然 符合题目所给出的条件，而 不符合已知的条件；
⑵ 若 ，则原命题等价于

解得
综上所述，所求实数m的取值范围是[1，19)。
2.7 判断直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离。对于抛物线来说 ．平行于对
称轴的直线与抛物线相交于１点，但并不是相切；对于双曲线来说．平行干渐近线
的 直线与双曲线R有一个交点，但并不相切。这3种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线 ： ，圆锥曲线C：F(x，y)= ，
由 ，消去y（或消去x）得：
（*）
(1)当a≠ 时，则△= ，此时△＞ 相交；△= 相切；△＜ 相离；
(2)当a= 时，方程(*)是一次方程，若有解，则相交。
例9 已知直线 与曲线 恰有一个公共点,求实数 的值。
解 由 ，得
，①
(1)当 ，即 时，方程①化为 ，此时 符合条件；
(2) ≠ 时，由 ，
综合(1)(2)知 时，直线和曲线只有一个交点。
直线与抛物线、双曲线有1 个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条
件，但不是充分条件。
2.8 二元方程表示相交直线的问题
例10 若方程 ，表示2条相交直线，求a的值及这2条直线方程。
解 把方程看成关于y的一元二次方程，则有
。
，
若方程表示 2条相交直线，则△能表示成完全平方式的形式，把△看成关于x的一
元二次方程，则△
所以 。
此2条直线分别为 ， 。
判别式法是中学数学的一个重要方法，通过转 向或构造成一元二次方程，利用方程
的思想解决问题，在高中数学中有广泛的应用，希望同学们认真体会 。
2.9 比较大小
例11 比较 与 的大小。
思路和解答 本题可视题中两个代数式为某方程判别式中的两项，然后构造方
程求解。
显然 是方程 - ＝ 的判别式。
又因为该方程有两个不相等的实数跟 ，
所以 △＞ ，即 ＞ 。
2.10 求二次函数的解析式
如果 的图象与x轴有两个交点 、 ，由一元二次方程求跟公式得：
，

所以

利用此公式可以求二次函数的解析式。
例12 已知抛物线 与x轴分别交于A、B两点（ 点A在点B的左边），点P为
抛物线的顶点，且PA：PA：AB=1：1： ，求抛物线的解析式。
解 由已知可得△PAB为等腰三角形，∠APB= 。因为抛物线与x轴交于两点，
所以△＞ ，则PC是Rt△PAB斜边上的中线，所以PC= AB，且PC ＞ 。
由以上结论可知，
因为 PC= ，所以
解得 （舍去）
所以
3 三角判别式及其应用
高中代数上册给出了三角方程 ﹙a、b不同时为零)
有解的条件是 ，即 .若记△= ，并称其为“三角判别式”，可进一步得到：
定理 对于三角方程asinx +bcosx+c= ﹙ ＜2 ，a，b不同时为零），则
①方程有两个不同解 △> ；
②方程有唯一解 △= ；
③方程无解 △< 。
证明极其简单，只要将原方程化为sin ，其中 由 ， 确定，再据正弦函
数的有界性即可得以证明。
三角判别式在数学解题中有着广泛的应用 ，它与一元二次方程根的判别式的作用极
其类似。凡是在解题中直接或间接用三角代换出现的与三角方程 有关问题时，均
可使用“三角判别式”来处理，往往能收到事半功倍之效。
下面例谈在代数、三角、数列等中的应用。
3.1 在代数中的应用
例13 已知 。求证 。
证明 设 (0＜r≤1),则
且
又关于 的方程有解，则
△= ，化简后，并将 代入有
≤O，即 ，故 。
3.2 在方程中的应用
例 若关于x的方程 恒有实数解，求实数k的取值范围。
解 原方程可化简为
，
由关于z的方程恒有解，则
△ = ≥0,
解得 。
3.3 在三角中的应用、
例15 求函数y= 的最大值。
解 ∵y=l+
∴ 。
又关于x的方程有解，则
△= ，

解得 ，
∴ 。
例16 已知 都是锐角，且满足 ,求 的值。
解 原式可化为
,
又关于 的方程有解，则
△= ,
即 ，故 。
又 为锐角，则 。
同理可得 。
3.4 在数列中的应用
例17 给定正整数n和正数M，对于满足条件 ≤M的所有等差数列 …，
求S 的最大值。
解 设 （0＜r≤1，0≤ ＜ ），
则

，
即有： .
又关于 的方程有解，则
△=
即
所以S的最大值是 。
3.5 在解析几何中的应用
例 设圆满足：①截y轴 所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比
为3：l。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到 直线 : 的距离最小的圆的方
程。
解 设所求圆的方程为
由①得 ；由②得 ，
消去r得 ，故可令 , ,
又设圆心(a，b)到直线l的距离为d，则
。
令 ，有
由方程有解，则△= ≥0，
解得 ，故 。
此时， ，由
解得 ，从而
故所求圆的方程为
或
例19 自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在
直线与圆 相切，求光线l所在直线的方程。
解 由 关于x轴对称的圆C的方程为
设所求程为 ，将圆的参数方程 ,
代入直线方程，得

由直线与圆相切，故方程有唯一解，
△= ，
解得
故所求直线方程是
4x+3y+3=0或3x+4y一3=0
4 用判别式解题的四个警惕和三个注意
判别式 的代数意义是判别一元二次方程 有无实根，随着对二次函
数 的图像和性质研究，判别式的几何意义表现为判断抛物线与轴有无交点。判 别
式法作为一种重要的数学方法，在解题过程中若能正确巧妙的运用，就能给人们一
种简单明快 、耳目一新的感觉。但是，若不能把握好使用判别式法解题的条件和本
质特征，就会造成错误解法或优美 解法在你眼皮底下悄悄溜走，因此，如何使用判
别式法解题的有关问题必须引起我们高度警惕和特别注意 。
4.1 警惕是否符合使用判别式法解题的条件
例 当实数 t为何值时，方程 至少有一个实根?
分析 由题目的“一元二次方程”和“有一个实根”的条件，很容易出现：
≥() 的错误结论。
其实，判别式只能判别实系数一元二次方程有无实根，复系数一元 二次方程不能用
判别式判别有无实数根。本题正确解法应设其实根为 代入原方程，根据复数相等
的充要条件求得实数 t的值为±2 。
4.2 警惕使用判别式法解题时定势思维的负迁移
例 21 已知函数 (1)定义域为 R;(2)值域为 R，分别就上述两种情况求 的
取值范围。
分析 由于对题意及△的几何意义没弄清楚，解(1)时，把定义域为 R负迁移到方
程 =
有实数根，得出 △： 一4×4≥ 的错误结论。
解(2)时，把值域为 R，负迁移到对数真数恒大于零，即 ＞ 恒成立，产生了
△= —4×4 的错误，这样刚好把两个问题的解法和结论给弄反了。
4.3 警惕解题过程中忽视使用判别式
例 22 设方程 （ ）的两个实根为 ，求 的最大值。
分析 这个题目很容易想到用一元二次方程的根与系数的关系，忽视判别式，
由

得到当k=一5时， 的最大值为 19的错误结论。
其实当 k=一5时，原方程根本没有实数根。
故此题的正确解法应该先由
△= ，
求出k∈[ ]，再按函数单调性方法求出 的最大值为l8。
4.4 警惕使用判别式法解题过程中的非等价转换
例 23 已知方程 有实根，求实数的取值范围。
分析 解这个题目容易忽视 ∈[一l，1]这一隐含条件。将原方程看成关 的
一元二次
方程,直接运用 △≥0求 m的范围，造成解题过程的非等价转换。
正确解法如下： 原方程有实根 关于t的方程
在[一l，1]上有实根。

记f(t)= ，由题意分两种情况考虑 ：
①有两个不等实根，其中一个在[一l，1]上。
②有两个实根都在[一l，1]上。
即①f(一1)?f(1)≤0或 。
注 对于① f(一1)?f(1)≤()，这个式子里面已经包含了方程有两个实数根 ，
因此 ，不必附加 △>0这个条件 。
4.5 注意判别式在解题过程中的反复运用
例 当m为何值时，方程 (*)表示两条直线。
分析 将原方程整理成关于 x的一元二次方程 ：

其判别式 △=
要使方程(*)表示两条直线
方程(*)左边能分解成两个一次因式的积
△为完全平方式。
当 m=4时，△= ，显然符合题意 ；
当 m≠4时，△为完全方式
△ = 且 m < 4 m = 3。
以上解法用到了判别式，由判别式的判别式小于零或等于零。使问题迎刃而解。对
含多个参数的二次方程求参数的值或范围等问题，分析题意时可以考虑这种思路。
这里特别强调，对二次 项系数是否为零要注意分类讨论，否则就会出现忽视使用判
别式法解题的条件，产生解题错误。
4.6 注意挖掘使用判别式法解题的隐含条件
例25 设实数 、b、c满足

求 的取值范围。
分析 本题看似缺少条件，但只要仔细想想题目的条件：“实数 a、b、c”和结论
“求 a的取值范围”提供的信息，就不难想到将方程⑴⑵联立，消去 b或 c得到
一个含a和c或含a和b的二次方程，可用判别式法求解。
解 由⑴得 ⑶
由⑵ 一⑴得 ，即
⑷
由⑶⑷得，
因 b∈R， 故 △= ≥0
=> 1≤a≤9。
4.7 注意创造条件使用判别式法
例 设数列 满足： ，n ＞2，且 ， 。
分析 由题目条件的结构形式，易联想到上面方程的左边是关于 t(t∈R)的一元
二次方程 ：
（*）
的判别式，
显然 ≠0，
若 =0与 已知矛盾。
依题设 △= ，即
从而方程(*)有两个相等的实数根。

因为方程(*)的各项系数之和等于零，所以有 ，
由根与系数关系得
.
即数列 { }为等差数列。
由 ，得公差 d=一1，
所以 。
5 总结
本文主要阐述高中数学关于判别式法的应用的一些常用方法 及其使用判别式时一
些应注意的地方,并对某些方法运用的技巧进行简单的阐述。本文粗略的阐述了使< br>用判别式的一些方法，并未深入研究其他方法，在技巧的运用方面只阐述几种方法
运用的技巧，因 此，判别式法的使用技巧具有一定的局限性。
由于判别式法的灵活性，所以判别式法的应用很广泛，其 解题具有一定的难度。因
此，要使用判别式，必须熟练地掌握判别式法相关知识，扎实的掌握判别式法的 常
规方法，注意与其他知识的联系与综合运用，不断地总结使用判别式法的规律和技
巧，总结经 验。面对运用判别式法的题目时，要认真分析，找出特点，发现规律，
灵活、恰当、综合地运用判别式法 。