高中二次函数论文

浅谈高中二次函数
函数是中学中最重要的内容之一，其中二次函数又是高中教材中很重要的一个内容。大家知道，在初中教材中，对二次函数作了较
详细的研究，但由于初中学生基础 薄弱，又受其接受能力的限制，
这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中
以后，尤其是高三复习阶段，面对高考，就必须对二次函数的基本
概念和基本性质（图象以及单调性、 奇偶性、有界性）有灵活应用，
因此对二次函数还需再深入学习。
世界的本质就是简单，复杂 只是起外在的表现形式，函数能够很
好体现这点，所以性质是函数最本质的东西。而函数的性质一般有< br>单调性、奇偶性、有界性及周期性。在高中阶段，能够完美体现上
述性质的函数只有三角函数中的 正弦函数和余弦函数。在函数的基
本性质中，可以通过函数的奇偶性衍生出对称性，这样就很容易联想到二次函数，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，
因为这些性质就是在大量的基本函 数中抽象的表象出来，只是为了
更加形象地描述它们而已。
二次函数是高中数学中很重要的一 个内容，而且他在高中数学中
函数的教学中占有更为重要的地位。二次函数知识很容易与其它知
识综合应用，而形成较为复杂的综合题目，尤其是当二次函数和一
元二次不等式相结合时，它们贯穿于整 个高中数学体系，也是实际
生活中数学建模的重要工具之一。最重要的是在历届高考试题中，
以 二次函数知识为主的综合性题目是高考的热点考题，基本都是把

二次函数与不等式相结合 的思想都是压轴题中不可缺少的内容，因
为不等式与二次函数相结合才能形象的体现了数形结合的数学思
想。因此把二次函数与不等式等知识相互联系起来，才能使学生能
更好地将所学知识融会贯通， 才能为学好高中数学奠定坚实的基
础。
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集 合的基础
上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐
明函数，这时就可以 用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函
数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合 a（定
义域）到集合b（值域）上的映射
a→b，使得集合b中的元y=ax2+bx+c（a≠0）与集合a的元素x
对应，记为 < br>（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示
定义域中的元 素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个
较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让 学生进一步处
理如下问题：
类型i：已知
（x）=2x2+x+2，求
（x+1） 这里不能把
（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的
函数值。
类型ⅱ：设

（x+1）=x2-4x+1，求
（x） 这个问题理解为，已知对应法则
下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x 的
象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得
（x）=x2-6x+6
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，
则x=t-1∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而
（x）=x2-6x+6
在高中阶段学习函数的性质时主要从他的单调性、奇偶性、有界性及周期性来研究，在二次函数的性质学习中主要了解他的单调
性，必须让学生对二次函数y=ax 2+bx+c在区间（-∞，-b2a ]及
[-b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格 的论证，使它
建立在严密理论的基础上，例如二次函数是抛物线，但抛物线不一
定是二次函数， 开口向上或者向下的抛物线才是二次函数，抛物线
是轴对称图形。与此同时，进一步充分利用二次函数图 象的直观性，
给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数
并且可以深入的 了解二次函数。
为了帮助学生建立二次函数的概念可以从他的基本图像入手，在
平面直角坐标 系中作出二次函数的图像，可以看出，在没有特定定

义域的二次函数图像是一条永无止境 的抛物线。如果所画的图形准
确无误，那么二次函数图像将是由一般平移得到的。
在逐步学习 二次函数的过程中，通过建立函数解析式：
y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称 y为x的二次函数。归
纳解析式特点，给出二次函数的定义，在建立了二次函数概念后，
再通过 几个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概
念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题 出发到列二次函数解
析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意
义。接下 来教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、
增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函 数的性质，并帮助
学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一
般式（y= ax2+bx+c，a≠0，a、b、c为常数）化为顶点式（y=a（x-h）
2+t，对应极值点为 （h，t），其中h=-b2a，t=（4ac-b2）4a）、
判断抛物线对称轴、借助图象分析函数 增减性等的训练。
在高中数学中学习二次函数时，重要的是要善于总结归纳，例如
二次函数的 意义、区分他的几种表达方式、联系图像理解二次函数
的变量与自变量之间的变化关系。在高考的试题中 必须要联系实际
对函数和图像一步步分析理解，做到准确无误。
二次函数，它有丰富的内涵和 外延，他作为最基本的幂函数，可
以用它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学
生的数学基础知识和综合数学素质 ，特别是能从解答的深入程度

中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能 力。 因
此二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高
中数学教学中也多关 注这方面知识，使我们对它的研究不断深入。