高中数学论文：圆锥曲线的几个最值问题

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圆锥曲线的几个最值问题
圆锥曲线的最值问题一直是圆锥曲线中的重点学习、研究的问题，并 有许多结果在《数
学通报》、《数学通讯》等刊物上发表。文[1]研究了抛物线的十个最值问题(见文 [1]定理1—
—定理10)，受文[1]的启发，在文[1]的基础上，文[2]研究了椭圆和双曲线 的一些最值问题，
获得了九个最值问题（见文[2]定理1——定理9）。受文[1]和文[2]的启发 ，在文[1]和文[2]
的基础上，本文进一步研究了椭圆、双曲线的一些最值问题，获得了七个结果。

1.圆锥曲线的垂直弦三角形面积的最值
关于抛物线的垂直弦三角形面积的最值，在文[1]中有：
定理
1
[1]
2
过抛物线
y?2px
的顶点O引 两条互相垂直的动弦OA和OB，则
?
S
?OAB
?
min
?4p
2
.

Ｙ A


O X
B


(图1)
关于椭圆和双曲线的垂直弦三角形面积的最值，我们有下列结果：
x
2
y
2
定理2 过椭圆
2
?
2
?1
的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则
ab
?
S
?OA B
?
min
?
11
ab
，
?
S
? OAB
?
max
?
?
a
2
?b
2
?
。
24
证明：不妨设A
?
acos
?
,bsi n
?
?
，B
?
acos
?
,bsin
?< br>?

Y
B
A

O X


（图2）
因OA
?
OB，故
?
??
?
?
?
2
，即B
?
masin
?
,bcos
?
?

1

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11< br>OA
?
OB=
a
2
cos
2
?
?b
2
sin
2
?
?a
2
sin
2
?
?b
2
cos
2
?

22
1
=
(a
2
?c
2
sin
2
?
)(b
2
?c
2
sin
2
?
)

2
S
?OAB
=
=
故当< br>sin
?
?
2
1
2
11
?c
4(sin
2
?
?)
2
?(a
2
?b
2
)
2

24
11
22
时，
?
S< br>?OAB
?
max
?
?
a?b
?
；
24
1
2
当
sin
?
?0
或
1
时，
?
S
?OAB
?
min
?ab
。
2
x
2
y
2
定理3 过双曲线
2
?2
?1
的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则
ab
?
S
?OAB
?
min
?
1
2a
2
?b
2
?
。
?
2
证明：不妨设A
?
asec
?
,btan
?
?
，B
?
asec
?
, btan
?
?
，
(
?
,
?
??

Y




B

A



O

X





（图3）
又OA
?
OB，故
?
??
?
?
?
2
)

?
2
，即B
?
macsc
?
,mb?cot
?
?

S
?OAB
=
11
OA
?
OB=
22
a
2
s ec
2
?
?b
2
tan
2
?
?a
2
csc
2
?
?b
2
cot
2
?

a
2
b
2
sin
2
?
a
2
b
2
cos
2
?
(
2
?)(
2
?)

22
cos
?
cos
?
sin
?< br>sin
?
a
4
?a
2
b
2

b?
2
sin
?
cos
2
?
4
1
=
2
1
=
2
1
=
2
2
a
4
?a
2
b
2

b?4
2
sin2
?
4
故当
sin2
?
?1
时，
?
S
?OAB
?
min
?
1
4
1
b?4(a
4
?a
2
b
2)?
?
2a
2
?b
2
?

22
2

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2.圆锥曲线的焦点弦三角形面积的最值
关于抛物线的焦点弦三角形面积的最值，在文[1]中有：
2
定理
4
[1]
设AB是抛物线
y?2px
的焦 点弦，O为坐标原点，则
?
S
?OAB
?
min
?
1
2
p
。
2

Y



A



O

F

X


B



（图4）
关于椭圆和双曲线的焦点弦三角形面积的最值，我们有下列结果：
x
2
y
2
1
定理5 设AB是椭圆
2
?< br>2
?1
的焦点弦，O为坐标原点，则
?
S
?OAB
?
max
?ab
.
ab
2
b
2
ep
证明：如下图，以
F
2
为极点建立坐标系，则椭圆方程
?
?
，
(p?)

c
1?ecos
?
Y


A


F
1
O
B
1

F
2
A
1
X

B

（图5）
过A，B两点向X轴作垂线段
AA
1
，
BB
1< br>，令
?AF
2
A
1
?
?
，则
S
?OAB
=
=
11
OF
2
? (AA
1
?BB
1
)
=
OF
2
?(AF< br>2
?sin
?
?BF
2
?sin
?
)

22
epep
11
OF
2
?(AF
2
?BF
2
)sin
?
=
c(?)?sin
?
22
1?ecos
?
1?ecos(
?
?
?
)
cb
2
sin
?
1sin
?
1
c?2??
=
c?2ep?
=
ac1?e
2
(1?sin
2
?
)
21?e
2
cos
2
?
2
3

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2
c1
b
2
c1
b
2
c1
?
==
??
?
2
2
2
a
1 ?e
a
a
2?e1?e
1?e
2
?e
2
s in
?
2?esin
?
sin
?
sin
?
b
2
c1aa
11
???
=
ab
，即
S< br>?OAB
?
ab
。 =
a2cb
22
1? e
2
2
b1
当且仅当=
esin
?
，即
s in
?
=时取等号，故有
?
S
?OAB
?
max< br>?ab
.
sin
?
c2
x
2
y
2
b
2
c
定理6 设AB是双曲线
2
?
2
? 1
的焦点弦，O为坐标原点，则
?
S
?OAB
?
min?
.
aba
b
2
ep
证明：如下图，以
F< br>2
为极点建立坐标系，则椭圆方程
?
?
，
(p?)

c
1?ecos
?
Y

A
B
1

F
1

O

F
2

A
1
X
B




（图6）
过A，B两点向X轴作垂线段
AA
1
，
BB
1
，令
?AF
2
A
1
?
?
，则
S
?OAB
=
=
11
OF
2
?(AA
1
?BB
1
)
=
OF< br>2
?(AF
2
?sin
?
?BF
2
?sin
?
)

22
epep
11
OF
2
?(AF
2
?BF
2
)sin
?
=
c?(?)?s in
?

1?ecos
?
1?ecos(
?
??
)
22
cb
2
sin
?
1sin
?
1
c?2??
=
c?2ep?
=
ac1?e
2
(1?sin
2
?
)
21?e
2
cos
2
?
2
b
2
c1
?
= 2
a
1?e
?e
2
sin
?
sin
?
1?e
2
1?e
2
2
?esin
?
，再令
t?sin
?
，则
u??e
2
t
，
t?( 0,1]
令
u?
sin
?
t
4

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e2
?1
2
c
因
e??1
且
u
?
?
2
?e
，故
u
?
?0
，即
u
在
(0,1]
上为增函数。
t
a
故
u
max?u(1)?1?e?e?1
于是
(S
?OAB
)
min

22
b
2
c
?
。

a
3.圆锥曲线的准线与焦点弦的张角的最值
关于抛物线的准线与焦点弦的张角的最值，在文[1]中有：
[1]
定理
7
设AB是抛物线
y
2
?2px
的焦点弦，准线与抛物线对称轴的交点M，则
?AMB?
?
2
。

Y



A




M

O

F

X


B



（图7）
关于椭圆的准线与焦点弦的张角的最值，在文[2]中有：
x
2
y
2
?
定理
8
设AB是椭圆
2
?
2
?1
的右焦点弦，右准线与X轴的交点为M，则
?AMB?
。
ab
2
[3]
Y


A

F
1
O
F
2
M X

B

（图8）
关于双曲线的准线与焦点弦的张角的最值，我们获得下列结果：
x
2
y
2
定理9 设AB是双曲线
2
?
2
?1
的右焦点弦，右准线与X轴的交点为M，则
ab
5

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??
?
?
2
,A
1
M?AA
1
;
?
?
?
?AMB?
?
,A
1
M?AA
1
;

?
2
?
?
?
?
2
, A
1
M?AA
1
.
?
证明：如下图，过
A,B分别作右准线的垂线，垂足分别为
A
1
,B
1
.
Y
A
1

A

M

F
1

O

F
2
X
B
1

B


（图8）
由相似关系有：
A
1
MB
1
M
?

AF
2
BF
2
又
e?
AF
2
BF
2
AF
2
BF
2
??AA
1
?,BB
1
?

AA
1
BB
1
ee
A
1MAMBMBM
?e
1
,tan?B
1
BM?
1
?e
1

AA
1
AF
2
BB
1
BF
2
tan?A
1
AM?tan?B
1
BM
< br>1?tan?A
1
AM?tan?B
1
BM
tan?A
1
AM?
则
tan?AMB?tan(?A
1
AM??B
1
BM)?
2
A
1
MB
1
MA
1
M
2
2
A
1
M
1?tan?A
1
AM?t an?B
1
BM
=
1?e

?e?1?e?1?
2 2
AF
2
BF
2
AF
2
AA
1
1 ?tan?A
1
AM?tan?B
1
BM?0
，当
A
1
M?AA
1
时，即
tan?AMB?0
，于是
?AMB ?
当
A
1
M?AA
1
时，
1?tan?A
1
AM?tan?B
1
BM?0
即
tan?AMB???
， 于
?AMB?
当
A
1
M?AA
1
时 ，
1?tan?A
1
AM?tan?B
1
BM?0
，即tan?AMB?0
,于是
?AMB?

?
2
；
；
.

?
2
?
2

4.圆锥曲线定长动弦中点到坐标轴距离的最值
关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在文[1]中有：
定理
10
设AB是抛物线
y?ax
(a?0)
的长为
m
的动弦，则
[1]
2
6

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（1） 当
m?
12ma?1
时，AB的中点M到
x
轴的距离的最小值为；
a4a
am
2
1
（2）当
m?
时，AB的中点M到
x
轴的距离的最小值为.
4
a
Y

A



B



O
X



（图10）
关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在本文中有下列结果：
定理11 设AB是 抛物线
y?ax
(a?0)
的长为
m
的动弦，则AB的中点M到y
轴的距离
的最小值为
0
.

2
Y


A


M

O

X

B



（图11）
证明：设M< br>(x
0
,y
0
)
，将直线AB的参数方程表示为
?< br>?
x?x
0
?tcos
?
代入到抛物线方程中，
y? y?tsin
?
,
0
?
222
化简并整理得：
ac os
?
?t?(2ax
0
cos
?
?sin
?)?t?ax
0
?y
0
?0

mmmm
cos
?
,y
0
?sin
?
)
，B
(x
0
?cos(
?
?
?
),y
0
?sin(
?
?
?
))

2222
mmmm
即A
(x
0
?cos
?
,y
0
?sin
?
)
，B
(x
0
?cos
?
,y
0
?sin
?
)
.
2222
mm
令
t
1
?
，
t
2
??
，
22
又A
(x
0
?
则由韦达定理和
t
的几何意义及
AB
?m
，得
7

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0
cos
?
?sin
?
mm
??(? )?0

acos
2
?
22
sin
?
1< br>故
x
0
??tan
?

2acos
?
2a
t
1
?t
2
??
因
?
?(?
??
,)
，故
22
(?,)
22
(?,)
22
maxx
0
?max
????
sin
?
1
?maxtan
?
不存在.
2acos
?
(?
?
,
?
)
2a
22
(?,)
22
minx
0
?min
????
(?,)
22
sin
?
1
?maxtan
?
?0

??
2acos
?
(? ,)
2a
22
关于椭圆的定长动弦中点到坐标轴距离的最值，我们有下列结果：
x
2
y
2
定理12 设AB是椭圆
2
?
2
?1
的长为
m
的动弦，则 < br>ab
（1）当
m?2b
时AB的中点M到
x
轴的距离的最小值 为0，最大值为
b
4a
2
?m
2
；
2a
2b
2
a
（2）当
m?
时AB的中点M到
y
轴的距 离的最小值为0，最大值为
4b
2
?m
2

a
2b
证明：设M
(x
0
,y
0
)
，将AB的参数方程表 示为
?
化简并整理得：
Y
A

M

B O X



（图12）
?
x?x
0
?tcos
?
代入到椭圆方程中，
?
y?y
0
?tsin
?
,
(a
2
sin< br>2
?
?b
2
cos
2
?
)t
2?2(a
2
y
0
sin
?
?b
2
x< br>0
cos
?
)t?a
2
y
0
2
?b
2
x
0
2
?a
2
b
2
?0

mmmm
cos
?
,y
0
?sin
?
)
，B
(x
0
?cos(
?
?
?
),y< br>0
?sin(
?
?
?
))

2222
mmmm
即A
(x
0
?cos
?
,y
0
?sin
?
)
，B
(x
0
?cos
?
,y
0
?sin
?
)
.
2222
mm
令t
1
?
，
t
2
??
，则
22又A
(x
0
?
由韦达定理和
t
的几何意义及
A B
?m
，得
8

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?2( a
2
y
0
sin
?
?b
2
x
0< br>cos
?
)
mm
t
1
?t
2
??? (?)?0
2222
asin
?
?bcos
?
22

222222
2
ay?bx
0
?ab
mmm
t1
?t
2
?
2
0
2
??(?)??
a sin
?
?b
2
cos
2
?
224
b4
cos
2
?
m
2
b
2
a
4
sin
2
?
m
2
a
2
222
?c os
?
x??sin
?
整理，得
y
0
?
2
，
0
2222222
a?ccos
?
4ab?csin< br>?
4b
2
b
4
zm
2
b
2
?z
，
z?[0,1]
，于是 （1）令
y
0
?f(z)< br>，
cos
?
?z
，则
f(z)?
2
a?c< br>2
z4a
2
2
2
a
2
b
4
m
2
b
2
2a
2
b
4
c
2
f
?
(z)?
222
?
，
f
??
(z)?
2

(a?cz)4a
2
(a?c
2
z)
3
因
z?[0,1]
，
a?c，故
f
??
(z)?0
，于是
f
?
(z)为
z?[0,1]
上的增函数.
a
2
b
4
m
2
b
2
b
4
m
2
b
2
b
2
22
????(4b?m)
故
f
?
(z)?f
?
(0)?
2222222
(a?c?0)4aa4a4a
则当m?2b
时,
f
?
(z)?0
,即
f(z)
为 增函数.
b
2
(4a
2
?m
2
)
,minf(z)?f(0)?0
故
maxf(z)?f(1)?
2
[0 ,1]
[0,1]
4a
所以
maxy
0
?
[0,1 ]
2
b
4a
2
?m
2
，
miny
0
?0
.
[0,1]
2a
2
a
4
zm< br>2
a
2
?z
，
z?[0,1]
，于是 （2）令x
0
?f(z)
，
sin
?
?z
，则
f(z)?
222
b?cz4b
a
4
b
2
m
2
a
2
2a
4
b
2
c
2
f?
(z)?
2
?
，
f
??
(z)??
2

22223
(b?cz)4b(b?cz)
因
z?[0,1]< br>，故
f
??
(z)?0
，于是
f
?
(z)< br>为
z?[0,1]
的减函数.
a
4
b
2
m
2
a
2
m
2
a
2
2
??b?故
f
?
(z)?f
?
(1)?
2

2 22
(b?c?1)4b4b
2
2b
2
则当
m?
时 ,
f
?
(z)?0
,即
f(z)
为
[0,1]增函数.
a
a
2
(4b
2
?m
2
)
，
minf(z)?f(0)?0
. 故
maxf(z)?f(1)?
2
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参考文献

[1]李迪淼.关于抛物线的十个最值问题[J].数学通报，2002，(8)：21-22. [2]李迪淼.双曲线的几个定值定位问题[J].中学教研(数学)，2003，(7)：40-41.
[3]陈海平.圆锥曲线的最值问题研究 [D].楚雄：楚雄师范学院，2006.



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