数学研究性学习数学发展史论文

2020年9月18日发(作者：时勇)

一、课题背景、意义及计划
1、背景说明：
从 古至今，数学知识不仅帮助我们解决了很多的计算问题，也为我们的生活增添了美感。
数学是研究现实世 界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源
于生产，服务于生活，并不是空 中楼阁，而是人类智慧的结晶。
2、课题的意义：
为了让同学们对数学产 生兴趣，轻松地学好数学，特设计了该研究性学习课题，大家通
过查找数学的相关资料资料，对数学的功 用问题有一个正确的认识，从而使我们对数学产生
兴趣，提高数学成绩。
3、课题计划：
（1）查找相关资料
（2）集中各人查找到的资料，进行分析、整理，交流心得，资源共享
（3）总结
二、数学史发展的主要内容
1、数学史的研究对象
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不
仅追溯数学内容、 思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以
及历史上数学科学的发展对人类 文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的
数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、 宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉
性学科。
数学史研究的任务在于 ，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过
这些历史现象对数学成就、理论体系与发 展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而
探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究 的基本方法与手段，常有历史考证、
数理分析、比较研究等方法。 数学史既属史学领 域，又属数学科学领域，因此，数学史
研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点 ，可以将数理分析作为数
学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数 学的高度，
对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的< br>目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。 2、数学史的分期
数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界
通常将数学发展划 分为以下五个时期：
(1)数学萌芽期（公元前600年以前）；
(2)初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
(3)变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
(4)近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
(5)现代数学时期（20世纪40年代以来）。
3、中国数学的起源与早期发展
据《易·系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜< br>辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，
记数 用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计
算工具，而这种计 算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋
时代已很普遍。用算筹记数，有 纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，
各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则 是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、
百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算 建立起良好的条件。筹算直到十

五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是 在筹算的基础上取得其辉煌成就
的。
在几何学方面《史记·夏本记》中说夏 禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量
工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方 称勾股定理﹞的特例。战国时期，
齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量 的内容，并涉及到一
些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促 进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多
抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几 何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、
「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义 。《庄子》记载了惠施等人的名家学说
和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「 至大无外谓之大一，至小
无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的 定义、极限思
想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得
到很好的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的
思想。
4、数学史上的三次危机
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古 希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉
斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定 ，知识保密，所有发明创造
都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是 一无所知，毕
达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比 ，
他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据
勾 股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度
既不是整数，也 不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥 拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊
数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一 发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危
机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可 通约量概念而得到解决。两个几何线段，
如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通 约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是 不可通约的。很
显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复 存
在了。
我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的 ， 都无法
用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种< br>思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，
并在现 代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次
危机的真正解决在1 872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻
辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础
问题，数学界出现 混乱局面，即第二次数学危机。其实我们查阅了一下有关数学史的资料，
微积分的雏形早在古希腊时期就 形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的
基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼 兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创
始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量 作分母进行除法，当然无穷小量不
能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而 得到所要的公式，在
力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相 矛
盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么

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能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？
直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确第 4 页
定的 量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就
怎样小的量，因此 本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小
的概念，另外Weistras s创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量
从形而上学的束缚中解放出来，第 二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小
量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果 是静止的，我们当然认为它可以看为零；如
果是运动的，比如说1n，我们说 ，但n个1n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们
遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求 导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，
一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝
对正确的数学出现了自相矛盾。
我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不 给自己理发的人理发。那么理发
师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是 ：一个克里特人说：
“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说， 这就是罗
素悖论的一个具体例子。 罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研 究者都
认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于
R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。一个集合真包含
它自 己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，
这显然是不可能的 。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则， 否则就是不合法的集合。
这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集 合，也就是所
有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底 ，
R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个
以 否定形式陈述的最大集合悖论。
从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其 中之一是把集合论建立在一组公
理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出 七条公理，建立了
一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个 无矛
盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。
5、数学发展的意义
（1）数学史的科学意义
每一门科学都有其发 展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现
实性首先表现在科学概念与方法的延续 性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科
学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解 决，因此我们无法割裂科学现实与科学
史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学 更是积累性科学，其概念
和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则 ，我们今天
仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域< br>中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名
的数学 大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，
做到古为今用，推陈 出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，
七十年代开始研究中国数学史， 在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别
是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立 了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明
的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文 化的典范。
科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴， 以使我们明
确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见< /p>

科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证
明四色定理等荒唐事，也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。同时，总结我
国数 学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。
（2）数学史的文化意义
美国数学史家m.克莱因曾经说过“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学:
活动密切相关 。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一
种语言，数学更主要是一 门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、
哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用， 同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛
地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要 力量。因而数学史是从一个侧面反映的
人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家 通过数学这面镜子，了解
古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300 年）数学家强调
严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行 抽
象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什
么 古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。
而罗马数学史则 告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。 （3）数
学史的教育意义
当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本
上属于1 7世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18
世纪的高等数学。 这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指
导下经过反复编写的，是将历史 上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂
的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念 和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程
以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难 以获得数学的原貌和全景，同时
忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而 弥补这方面不足的
最好途径就是通过数学史的学习。
在一般人看来，数学是一 门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，
这是由于我们的数学教科书教授的往往是 一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教
学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发 学生的学习兴趣，也有助于学生对数
学概念、方法和原理的理解与认识的深化 6、总结
从此次对数学发展史的研究过程中，我们也学会了用科学、严谨的态度对待探究活动，
了解了更多关于数 学的知识。学会了协作，同时也扩展了思维。在得到知识的同时又锻炼了
自己，是一次难得的体验。