柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文(供参考)(新)

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。



柯西不等式在高中数学中的应用及推广

[摘要]
本 文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在
其他领 域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题
中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.
[关键词]
柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学
1

引言
中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和 影子.在中学数学教学中，不
等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题 中困难重重.而柯西不等
式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而 解.柯西不等式在证
明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟 以柯西不等式为
出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中 的一些应
用.
2 柯西不等式的证明
本文所说的柯西不等式是指
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22

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2.1 构造二次函数证明
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中至少有一个不为零时，可知
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故
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的判别式
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,移项得
AC?B
,得证.
2.2 向量法证明
令
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 ?
?
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a
1
,a
2
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2.3 数学归纳法证明
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1
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同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 当且仅当
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时等 号成立.于是n=k+1时不等式成立.
由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立.
2.4 利用恒等式证明
先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数
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,a
2
,
有柯西—拉格朗日恒等式
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可得柯西不等式成立.
3

柯西不等式的推广
22
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2
以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯
西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.
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命题2 若级数
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的表 现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它
的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.

4 柯西不等式的应用
4.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
4

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构
造两组 数，并按照柯西不等式的形式进行探索.
例1 设定义在R上的函数
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例2
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为互不相 等的正整数，求证：对于任意正整数n,有不等式
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为互不相等的正整数 ，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
5

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 1?
11
于1，这样就有
1
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1
n
?
?
n
=
?
?< br>1
n-1
?
?
?
?
n
n?1
?1
?
?
?
?
a
j
?
-a
i< br>?
?
?
a
i
?n?1
?
a
1
?a
2
??a
n
?

i?j?i
?
?
?
n?1
i?1
4.2 利用柯西不等式求最值
例4 已知实数
a,b,c,d
满足
a?b?c? d?3
,
a
2
?2b
2
?3c
2
?6d< br>2
?5
试求
a
的最值.
解 由柯西不等式得

?
2b
2
?3c
2
?6d
2
?
?
?
1
?
1
?
1
?
?
?
?
b?c?d
?
2
?
236
?
(3)
即
2b
2
?3c
2
?6d
2
?< br>?
b?c?d
?
2
，由条件可得：
5?a
2
?
?
3?a
?
2

解得
1?a?2
当且仅 当
2b3c
1
?
1
?
6d
1
时等号成立.代入(3)式得
236
b?1,c?
1
3
,d?1
6
时，
a
21
max
?2
；
b?1 ,c?
3
,d?
3
时，
a
max
?1

4.3 求函数的极值
柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值.事实上，
由
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
6

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 ?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?< br>可得
2
?a
n
b
n
?
?
?
a
1
2
?a
2
?
2
2
?a
n< br>??
b
1
2
?b
2
2
?
2
?a
n
??
b
1
2
?b
2
2
?< br>2
?b
n
?

2
?b
n
?

a
1
b
1
?a
2
b
2
??an
b
n
?
?
a
2
1
2
?a< br>2
?
如将上式左边看做一个函数，而右边值确定时，则可知
a
1
b
1
?a
2
b
2
?
值分别是
?an
b
n
的最大值与最小
2
?b
n
?

?
a
2
1
2
?a
2
?
2
?a
n
??
b
1
2
?b
2
2
?< br>2
?b
n
?
与
?
?
a
2
1
2
?a
2
?
2
?a
n
??
b1
2
?b
2
2
?
且取最大值与最小值的充分必要条件是
a
1
a
2
??
b
1
b
2
?
a
n
.
b
n
反过来，如果把柯西不等式右边的一个因 式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可
求出此函数的最小值.
例5 求函数
y?4x?2?9?3x
的最大值.
解 首先求得函数
y?4x? 2?9?3x
的定义域为：
?
2,3
?

y?4x?2?9 ?3x?4x?2+3?3?x?4?
当且仅当
43?x?3?2?x
即
x?
2
?
3
?
?
?
2
x?2
?
?
?
2
3?x
?
2

54
?
?
2,3
?
时等号成立.所以
y
max
?19
.
19
例6 求函数
y?asinx?bcosx
的极值，其中
a,b
是常数.
解 由柯西不等式
y
2
?
?
asinx?bcosx< br>?
?
?
a
2
?b
2
??
sin2
x?cos
2
x
?
?a
2
?b
2< br>
2
故有
?a
2
+b
2
?y?a
2
?b
2

当且仅当
sinxcosx
a
?
时，即
x?arctan? k
?
?
k?Z
?
时，函数
y?asinx?bcosx有极小值
ab
b
?a
2
?b
2
，极大值
a
2
?b
2
.
2222
例7 已知
a,b, c,R
为常数，当
x?y?z?R
时，求函数
f
?
x,y, z
?
?ax?by?cz
的最大值
与最小值.
解 由柯西不等式
f
2
?
x,y,z
?
?
?
ax?by?cz
?
?
?
a
2
?b
2
?c
2
??
x
2
?y
2
?c
2
??
?
a
2
?b
2
?c
2
?
R
2
知
2
f
?
x,y,z
?
?Ra
2
?b
2
?c
2
.

当且仅当
xyz< br>???1
，即
x?at,y?bt,z?ct
（t为常数）时等号成立.将x?at,y?bt,z?ct
abc
2222
22222
代入
x?y?z?R
得
a?b?ct?R
.则
t??
??
Ra?b?c
222

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
7

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 即当
?
x,y,z
?
??
R
a?b?c
222
?
a,b,c
?
时
f
?
x,y,z
?< br>??
R
a?b?c
222

分别为所求的最大值与最小值.
4.4 求参数范围
22
例8 已知对于满足等式
x?3y?3的任意数，对
?
x,y
?
恒有
ax?y?2
，求实数a 的取值范
围.
解 因为
ax?y?ax?
1
3
?3 y?a
2
?
1
?x
2
?3y
2
?3a2
?1

3
要使对
?
x,y
?
恒有< br>ax?y?2ax?y
max
?2
，即
3a?1?2??1?a?1< br>.
4.5 三角形及三角函数问题
例9 设
p
是
?A BC
内的一点，
x,y,z
是
p
到三边
a,b,c
的距离，
R
是
?ABC
外接圆的半径,
证明：
x?y?z?
1
a
2
?b
2
?c
2
.
2R
证明 由柯西不等式得
x+y+z=ax
111111
+by?cz?ax?by?cz++

abc
abc
ax+by+cz=2S=2
abcabc

?
4R2R
记s为
?ABC
的面积，则
即有
x?y?z?
故不等式成立.
abcab?bc?ca11
?ab?bc? ca?a
2
?b
2
?c
2

2Rabc
2R2R
例10 求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积 的
43
倍，即
a
2
?b
2
?c
2
?43S
,其中
a,b,c
为三角形三边长，S为三角形的面积.
证明 由海轮---秦九韶面积公式：
S?s
?
s?a
??
s?b
??
s?c
?
其中
s?
2
a?b?c
可得
2
16S
2
?
?
a?b?c
??
b?c?a??
c?a?b
??
a?b?c
?
?a
4
?b
4
?c
4

由柯西不等式
?
bc
22< br>?ca?ab
2222
2
?
?
?
b
4
?c?a
44
??
c
4
?b?a
44
?
?
?
a
4
?b?c
44
2
?

8
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 当且仅当
b
c
2
?
c
a
2
?
a
b
2
，即
a?b?c
时成立.
于是
4< br>?
a
4
+b
4
?c
4
?
?4
?
b
2
c
2
?c
2
a
2
?a< br>2
b
2
?

变形得
a
4
?b4
?c
4
?2b
2
c
2
?2c
2a
2
?2a
2
b
2
?3
?
2b
2
c
2
?2c
2
a
2
?2a
2
b
2
?a
4
?b
4
?c
4
?

即
?
a
2
?b
2
?c
2
?2
?3?16S

故有
a
2
?b
2
? c
2
?43S
，当且仅当
a?b?c
时等号成立.
例11 在三角形ABC中，证明
?
33
2
?sinnA?sinnB?sinnC ?
33
2
.
证明 由柯西不等式
?
sinnA?si nnB?sinnC
?
2
?
?
1?sinnA?1?sinnB?1 ?sinnC
?
2
?
?
1
2
?1
2
??1
2
??
sin
2
nA?sin
2
nC?s in
2
nC
?

即

?
si nnA?sinnB?sinnC
?
2
?3
?
sin
2nA?sin
2
nB?sin
2
nC
?
(4)
因为
sin
2
nA?sin
2
nB?sin2
nC?1?cos
2
nA?
1?cos2nB1?cos2nC
2
?
2
?2?cos
2
nA?
1
2
?< br>cos2nB?cos2nC
?
?2?cos
2
nA?cos
?
nB?nC
?
cos
?
nB?nC
?

?2?cos
2
nA?cos
?
nB?nC
?
cos
?
nB?nC
?
?2?cos
2
nA?cos
?
nB?nC
?
故

sin
2
nA?sin
2
nB?sin
2
nC?2?cos
2
nA?cos
?
nB?nC
?
（5）
又因为
2< br>2?cos
2
nA?cos
?
nB?nC
?
?2?c osnA
?
1?cosnA
?
?2?
?
?
cosn A?
?
1?cosnA
?
?
?
?
2
??
?
因而

2?cos
2
nA?cosnA?2?
1
4
?
9
4
（6）
将（5）代入（4）得
sin
2
nA?sin
2
nB?sin
2
nC?
9
4
（7）
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
9

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
将（6）代入（3）得
?
sinnA?sinnB?sinnC
?
?3?
即
2
9

4
3333
?sinnA?sinnB?sinnC?
.
22
4.6 利用柯西不等式解方程
9
?
222
?
x?y?z?
例12 在实数集内解方程
?
.
4
?
?
?8x?6y?24z?39
解 由柯西不等式，得

x?y?z
所以
x?y?z
2
2< br>?
222
?8
?
?
?
??
2
222
?6
2
?
?
?24
?
?
?
??8x?6y?24z
?

?
?
222
?
?
?
?8
?
?6
2
?
?
?24
?< br>?
2
?
9
?
?
64?36?576
?
?39
2
（8）
4
又
?
?8x?6y?2 4z
?
?39
,即（7）式取等号.由柯西不等式取等号的条件有
xyz
??
（9）
?86?24
6918
将（8）式与
?8x?6y?24z?39< br>联立，则有
x??,y?,z??
.
132613

4.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数
在《概率论与数理统计》一书中，在线性回归中有样本相关系数

r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
?
x?x
?
?
?
y?y?
2
ii
i?1j?1
nn

2
并指出
r?1
且
r
越接近于1，相关程度越大；
r
越接近于0.则相关程 度就越小.现在可用柯西不等
式解释样本线性相关系数.
记
a
i
? x
i
?x,b
i
?y
i
?y
，则
r??
ab
i?1
n
2
i
n
i?1
nii
，由柯西不等式有
r?1
，当
r?1
时，
2
i
?
a
?
b
i?1
?
?
a
i< br>b
i
?
i?1
n
2
?
?
a
i?1
n
2
i
?
b
i
2
此时，
i ?1
n
y
i
?yb
i
??k
，k为常数。点
?
x
i
,y
i
?
i?1,2,
x
i?x
a
i
,n
均在
直线
y?y?kx?x
上，当
r?1
时，
??
?
?
ab
?
ii< br>i?1
n
2
?
?
a
i?1
n
2i
?
b
i?1
n
2
i

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
10

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 即
?
?
ab
?
?
?
a
?
b< br>ii
2
i
i?1i?1i?1
n
2
nn
2< br>i
?0
,而
n
2
nn
?
?
ai
b
i
?
?
?
a
?
b
i2
??
?
?
a
i
b
j
?a
j
b
i
?
2
i
i?1i?1i?11?i?j?n
1 ?i?j?n
2

?
?
a
i
b
j
?a
j
b
i
?
?0?a
i
b
j
? a
j
b
i
?0?
2
y?yb
i
b
i
?k,
k为常数
i
??k
，k为常数.
a
i< br>x
i
?x
a
i
点
?
x
i
, y
i
?
均在直线
y?y?kx?x
附近，所以
r
越 接近1，相关程度越大；当
r?0
时
?
a
i
,b
i
?
不
具备上述特征，从而找不到合适的常数k使点
?
x
i< br>,y
i
?
都在直线
y?y?kx?x
附近.所以
r< br>越接
近于0，则相关程度越小.
??
??
5 中学数学中柯西不等式的应用技巧
在上文柯西不等式的应用中可以看出,柯西不等式不仅在高等数学中 是一个十分重要的不等式,
而且它对初等数学也有很好的指导作用,利用它能方便地解决一些中学数学中 的有关问题.下面我们
以柯西不等式证明不等式为例，谈谈此类问题的解题技巧.

5.1 巧拆常数
例13 设
a
,
b
,
c< br>为整数且各不相等，求证：
2229
.
???
a?bb?cc?aa ?b?c
11
??
1
++
?
?9
而
a?b b?cc?a
??
分析 因为
a
,
b
,
c
均为正，所以为证结论正确，只需要证
2
?
a+b+c
?
?
2
2
?
a?b?c
?
?
?
a+b
??
?
b?c
?
?
?
c?a
?
又9?
?
1?1?1
?
再进行简单地变换就可以证明要证明的
结论 .
5.2 重新安排某些项的次序
例14
a
,
b
为非负数，
a?b?1,x
1
,x
2
?R
?
求证 ：
?
ax
1
?bx
2
??
bx
1
?ax
2
?
?x
1
x
2

分析 不 等号左边为两个二项式的和，
a
,
b
为非负数，
x
1
,x
2
?R
?
,每个两项式可以使用柯西不
等式，直接做得不到预 想结论.当把两个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.
5.3 改变结构
例14 若a>b>c，求证：
114
??
.
a?bb?ca? c
1
??
1
a?b?b?c?
??
????
??< br>?
a?bb?c
?
?4
.
??
分析 初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可能使用柯西不等式了结论改为
5.4 添项
例15
a,b,c?R
求证：
?
abc3
???
.
b?cc?aa?b2
11
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
分析 左端变形
abc11
??
1
?1??1??1?
?
a?b?c
?
?
??

?
b?cc?aa?ba? bc?ab?c
??
所以只需要证此式大于等于
9
即可.
2
参考文献
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[5]罗增儒 .柯西不等式的证明与应用(上)[J].中学数学.2008（11）.
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[11]Jean Dieudonn'e. On some applications of the Schwarz lemma. (Sur quelques applications du lemme de
Schwarz.). [J].C. R. 190, 716-718 (1930).1930.
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J. Inequal. Pure Appl. Math.,2006,7(2).



The application and popularization of Cauchy inequality


Abstract：T
his paper mainly introduces several famous inequalities -- Cauchy the inequality proof method and its
application in elementary mathematics problem solving. At the same time, the promotion in other fields are briefly discussed,
and some problems in the middle school mathematics teaching are discussed, the application of Cauchy inequality in high
school mathematics problem solving in the extensive forensics and proved, which affirmed its importance in high school
mathematics learning .
Keyword：
Cauchy inequality; the value function; trigonometric function to prove inequality teaching


同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
12