高斯定理 数学专业毕业论文

高斯定理

摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重 要的应用，而
且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定
理， 并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的
几个问题，从中可以发现高斯 定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把
高斯定理推广到万有引力场中去。

关键词：高斯定理；应用；万有引力场

Gaussian theorem

Abstract:

Gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. It not
only has important application in electrostatic field, but also is an important equation
in Maxwell electromagnetic field theory. This thesis introduces the Gaussian theorem
in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and
the direct proof method also introduces the several problems that we should pay
attention to when we apply and use Gaussian theorem. It can be found convenient
when we use the Gaussian theorem to solve the problems related to the
electromagnetism. The last part of this thesis is to introduce the Gauss Theorem to the
Gravitational Field.

Key words: Gaussian theorem; Application; Gravitational field


1

目 录

1 高斯定理的表述 .................................... .................................................. ................. 3

1.1数学上的高斯公式 .......... .................................................. .................................. 3

1.2静电场的高斯定理 .................................. .................................................. .......... 3

1.3磁场的高斯定理 .................. .................................................. .............................. 4

2.1.1静电场的高斯定理 ................................ .................................................. ......... 5

2.1.2磁场的高斯定理 ................. .................................................. ............................ 6

2.2高斯定理的直接证明 ................................. .................................................. ....... 7

2.3高斯定理的另一种证明 .................. .................................................. .................. 8

3 高斯定理的应用 ........... .................................................. .................................... 10

. .................................................. ................... 13

4将高斯定理推广到万有引力场中
4.1静电场和万有引力场中有关量的类比 ....... .................................................. ... 13

4.2万有引力场中的引力场强度矢量 ................. .................................................. . 13

4.3万有引力场中的高斯定理 ...................... .................................................. ........ 14

5 结束语......................... .................................................. ........................................... 14

参考文献 ......................................... .................................................. .......................... 15

谢辞.......... .................................................. .................................. 错误！未定义书签。











2

引言
高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究 方面，应用非常广泛，应用
高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度 或
者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在
一些局限性， 所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定
理有一定的了解。
1 高斯定理的表述
1.1数学上的高斯公式
设空间区域
V
由分片光 滑的双侧封闭曲面
S
所围成，若函数
P,Q,R
在
V
上连< br>续，且有一阶连续函数偏导数，则

?
?P?Q?R
?
??
??
dxdydz?
???
?x?y?z
?
V
?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

1－1
S
其中
S
的方向为外发向。1－1式称为高斯公式
[1]
。
1.2静电场的高斯定理
一半径为
r
的球面
S
包围一位于 球心的点电荷
q
，
在这个球面上，场强
E
的
方向处处垂直于 球面，且
E
的大小相等,都是
E?
q
S
q
4
??
0
r
2
。
通过这个球面
S
的电
通量 为
?
e
?
??
S
E?dS?
??
4??
0
r
?dS?
2
q
4
??
0r
2
??
S
dS?
q
4
??
0
r
2
?4
?
r?
2
q
?
0
< br>其中
??
dS
是球面积分，等于
4
?
r
2< br>。
从此例中可以看出，通过球面
S
的电通量只与
S
其中的电量
q
有关，与高斯面的半径
r
无关。若将球面
S
变为任意闭合 曲面，由
电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为
q
?
0
。
3

若闭合曲面
S
内是负电荷
?q
，< br>则
E
的方向处处与面元
dS
取相反，可计算穿
过
S< br>面的电通量为
?q
?
0
。
若电荷
?q
在闭合 曲面
S
之外，它的电场线就会穿入又
穿出
S
面，通过
S面的电通量为零
[2]
。
如果闭合面
S
内有若干个电荷
q
1
,q
2
,q
3
……q
n
，
由场强叠加原理可知，通过
S
面的电通量为
?
e
?
??< br>S
E?dS?
??
?
E?dS?
?
??
S< br>i
i?1i?1
nn
S
E
i
?dS?
1?
0
?
q

i
i?1
n
此式表明，在 真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该
面内的所有电荷的代数和的
?
0
分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲
面
S
称为高斯面 ，对于连续分布的电荷，电荷体密度为
?
，
则上式可以表述为
?e
?
??
S
E?dS?
1
?
0
?V
?
dV

1.3磁场的高斯定理

由于磁力 线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会
从曲面内部出来，否则这条磁力线就不 会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义
向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量 为正，那么就可
以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，
因此也称为高斯定理。用式子表示：
??
B?dS?0

S
与静 电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于
自然界中存在着独立的电荷，所以 电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的
正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场 是有源场；而在磁场
中，由于自然界中没有单独的磁极存在，
N
极和
S
极是不能分离的，磁感线都是
无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无 源场
[2]
。
2 高斯定理的证明

2.1高斯定理的数学证明

4

2.1.1静电场的高斯定理
静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：
(a)点电荷在球面中心，点电荷
q
的电场强度为
E?
1
S
1
4
??
0
?
q
r
球面的电通量
r
3
q

2－1

为

??
S
E?dS?
??
4
??
0
?
q1
?r?dS?
r
3
4
??
0< br>r
2
??
S
dS?
1
4
??
0r
2
?4
?
?r?
2
?
0
(b)点电 荷在任意闭曲面外，闭曲面
S
的通量为
??
?
S
E?dS ?
q
??
1
S
4
??
0
?
qq< br>?r?dS?
r
3
4
??
0
1
??
S
r
3
(xdydz?ydxdz?zdxdy)
111
xdydz ?ydxdz?zdxdy
333
??
S
4
??
0
rrr

2－2
根据高斯公式
?
?P?Q?R
?
??
??
dxdydz?
???
?x?y?z
?
V
?
并考虑到
P?
??
?
Pdydz?Qdzdx?Rd xdy
?

2－3

S
xyz
,Q? ,R?
在
S
内有连续一阶偏导数，故2－2式可以用高斯
r
3
r
3
r
3
公式计算。将2－2式代入2－3式得
??
?
?
S
E?dS?
q
q
??
1
S
4
??
0
?
q
?r?dS
r
3
1
x dydz?ydxdz?zdxdy
?
3
?
??
S
4
??
0
r
11
?
1
?
xdydz?ydxdz? zdxdy
??
4
??
0
??
S
?
r3
r
3
r
3
?

?
?
x??
y
??
z
?
?
???
?
3
??
3
?
??
?
r
3
?
q
r< br>?????
r
?
?
dxdydz?0
?
???
4
??
0
???
?x?y?z
?
V
?
? ?
??
(c)点电荷在任意闭曲面内
在任意闭曲面
S
内以点电荷< br>q
为球心作一辅助球面
S
1
，其法向朝内，根据2
－1式可知 点电荷
q
在闭曲面
S?S
1
的电通量为零，即：
??
S
E?dS?
??
S
1
E?dS?0

5

??
S
E?dS??
??
E?dS??
??
E?dS?
S
1
S
2
q
?
0

2－4
其中式2－4中
S
1
和
S
2
大小相等，法向相反。
(d)点电荷系在闭曲面内外
设闭曲面内的点电荷为
q,q
2
,q
3
……q
n
；闭曲面外的点电荷为
q
n?1
……；
根据上
述讨论可得
??
E?dS?
S
???
E?dS?
?
??
S
i
i?1i?1
nn< br>S
E
i
?dS?
1
?
0
?
q

i
i?1
n
这就是静电场中的高斯定理
[3]
。
2.1.2磁场的高斯定理
磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：
(a)电流元
Idl
在球面中心
由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律
dB?
?
0
Idl?r
0
为了方便，把
dB
简写
?
4
?
r
2
为
B
，
则
可
得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为
??
S
B?dS?
?0
Idl?r
0
?
0
I
??dS?
??
S
4
?
r
2
4
?
r
0
?dS< br>??
S
r
2
?dl

因为
r
0dS
，
所以
??
B?dS?0

S
(b)电流元
Idl
在任意闭曲面外
电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为

? ?
B?dS?
S
?
0
Idl?r
0
??
S
4
?
?
r
2
?dS

因为
r?x i?yj?zk
，
并设
dl?dlk
，
则
dl?r??yd li?xdlj

代入原式得
??
B?dS?
S
?
0
Idl?r
?
0
Idl
??dS?
??
S
4
?
r
2
4
?
x
?
?y?
dydz?dxdz
?

22
??
S
?r
?
r
?
?
?P?Q?R
?
根据高斯公式
???
?
??
?
dxdydz?
?x?y?z
?< br>V
?
??
?
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
?

S
6

同理可得
??
B?dS?
S
?
0
Idl?r
?
0
Idl
??dS?
??
S
4
?
r
2
4
?
x
??y
?
dydz?dxdz
?
?0

22
??
S
?
rr
??
(c)电流元
Idl
在任意闭曲面内
以此类推，在闭曲面
S
内，以电流元为球心作一辅助球面
S
1
，因为
??
S
B?dS?
??
S
1
B?dS?0

S
1
所以

??
B?dS??
??
B?dS?0

S
(d)电流元
Idl
在闭曲面上
由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即
??
B?dS?0

S
这正是磁场的高斯定理
[4]
。
2.2高斯定理的直接证明


图1
如图1所示，电荷量为
Q
的带电体中任一点处的 电荷密度为
?
(r
1
)
,
则由电场
强度定义知该带 电体在空间
r
点产生的电场强度为
E?
?
V
1
?
(r
1
)
?RdV
1

2－5
3
4
??
0
R
式中
r
1
为原点位矢，
R?r?r
1
为原点到场点的位矢。将
E
对任 意闭合曲面
S
求面
7

积分，即得
??
由2－5式可得
??E?
1
4
??
0
??
?
S
E?dS?
?
??EdV
1

2－6

V
?
(r
1
)
V
1?
?
(r
1
)
?
RdV
1
??
?
R
?
dV
1

R
3
4
??< br>0
?
V
1
?
R
3
?
1
由于 算符
?
是对
r
的微分算符，与
r
1
无关，故 < br>?
R
?
1
??E?
?
(r)??dV?
??
11
3
4
??
0
?
V
1
4
??
0
?
R
?
1
?
1
4
??< br>0
?
V
1
?
(r
1
)
?
? ?
2
?
?
?
1
?
?
dV
1
R
?
?
V
1
?
(r
1
)?4
? ?
R?dV
1
?
1
?
0
?
V
1< br>?
(r
1
)?
?
(r?r
1
)dV
1
?
?
(r
1
)
?
0


2－7

式中最后一步用到了
?
函数的筛选性，将式2－7代入式2－5中得：
??
S
E?dS?
?
V
?
(r
1
)
d V

?
0
(1)当电荷
Q
包含在闭合曲面
S
内时，则
??
E?dS?
?
SV
?
(r
1
)
Q
dV?

?
0
?
0
(2)当电荷
Q< br>的不包含在闭合曲面
S
内时，则
??
由此高斯定理得证。
2.3高斯定理的另一种证明
S
E?dS?
?
V
?
(r
1
)
dV?0

?
0

图2
如图2所示，设有一电量为
q
孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，
8

任意
r
为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E ?
q
4
??
0
r
3
?r
方向沿径
向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为
?
e
?< br>??
S
E?dS?
??
q
S
4
??
0
r
?r?dS?
3
q
4
??
0
r
2
??
S
dS?
q
4
??
0
r
2
?4
?
r?
2
q
?
0
与半径
r
无
关。
这一结果根据电通量的定义表明, 电量为
q
的正点荷发出
q
?
0
条电场线,
由于电通量与半径无关, 说明电场线是不间断的；若
q
为负电荷, 则表明有
q
?
0
条电场线汇集到这个负点电荷上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电
场线是不间断的, 面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们 设想这个点电荷
不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的
电通量亦为
q
?
0
。现在我们进一步设想, 电量为
q
的点电荷不是位于球面内而是
位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这个闭合曲面的电通量
q
?
0
。
若一闭合曲面内包含
N
个点电荷, 其中
M(M?N)
个是正的,

N?M
个是负的。
设
M
个正点电荷所带的总电量为
Q
M
, 则这
M
个点电荷发 出
Q
M

?
0
条不间断的
电场线；
N?M< br>个负点电荷所带的总量为
Q
N?M
，
则这
N?M
个 负点电荷汇集
Q
N?M
?
0
条不间断的电场线，据电通量的定义,发 出的即穿出闭合曲面为正, 汇
集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭合曲面的电通量为
?
e
?
??
S
E?dS?
Q
M
?
0
?
|Q
M?N
|
?
0

即
?
e
?
??
S
E?dS?
Q
M
? Q
M?N
?
0

这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿 出闭合曲面而直接汇
集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。
因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电 荷为
q
1
,q
2
,???q
n
，
则
9

穿过这个闭合曲面的电通量为
?
e
?
由此，高斯定理得证
[5]
。
??
S
E?dS?
1
?
0
?
q

i
i?1
n
3 高斯定理的应用

高斯定理的一个重要应用 ，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高
斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时 有很大的局限性，只对那
些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应
1
场强
E
是面积元
dS
处的
E
，随
dS
的不同，
E
也不同；○
2
场强
E
是全部注意 ：○
n
带电体系中（无论在高斯面内还是在高斯面外）所有电荷产生的总场强，而
?< br>q
i
i?1
只是对高斯面内的电荷求和，这是因为高斯面外的电荷对总通量?
e
没有贡献，
3
高斯面内所包围的电荷等于零时，
E
不一定等于零，但不是对场强没有贡献；○
4
高斯定理虽由库仑定律引申而来，只说明通过高斯 面
S
的电通量等于零；○但它
的适用范围广，而不论对静止电荷还是运动电荷都适用， 但应用时，必须在电场
5
在应用高斯定理时，除应具有某种对称性时（球、轴、面对称），才有 可能；○
注意到场强具有对称性外，对高斯面的选取还应注意到：所选高斯面应平行电场
线或垂 直电场线；当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强
E
的大小应处
处相等，这样
E
可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。
利用高斯定理求场强的一般步骤：
（1）进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性，
判断能否用高斯定理 来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、
面对称性等），这是解题的关键，也是解题 的难点；
（2）根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应
在此高斯 面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算；一般地，高斯面各面元的法
线矢量
n
与E
平行或垂直，
n
与
E
平行时，
E
的大小要求 处处相等，使得
E
能提
到积分号外面；
（3）计算电通量
??E?dS
和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯
10

定理求出场强。
应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单 的，但一般情
况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体
情 况选用。利用高斯定理，可简捷地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆
柱形、无限长和无限大平板 型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的
闭合曲面——高斯面。
高斯定理的应用举例
例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为
?
。

图3
解法一：（利用库仑定律求解）
如图3所示，我们选择电荷元
dq
为长度
dl
上所带电量，即
dq?
?
dl
，
dq
在
点
P
产生的元场强的大小
dE?
?
dl

2
4
??
0
r< br>为计算该积分，首先必须统一积分变量。为便于计算，将变量

l
和
r
统一
?
又可以得用
?
表达。由图3可知，
r?Rsec?
，
l?Rtan
?
，由
l?Rtan
2
dl ?Rsec
?
d
?
，代入
dl
及
r
后，可 得
dE?
?
d
?

4
??
0
R
对于每一个正

Y
轴上的dl
长度，一定存在另一个对称的负
Y
轴上的
dl
，这
两个长度上的电荷元在点
P
产生的场强
Y
分量相互抵消，因此求总场强时我们 只
需对
dE
x
积分。注意
dE
x
?dEcos?
，积分限为
?
?
2
和
?
，则有
2
?
?
???
2
2

E?
?dE
x
?cos
?
d
?
??
sin
?
??
?
?
?
?
4
??
0
R
?
2
4
??
0
R2
??
R
0
2
11

图4
解法二：（利用高斯定理求解）
带电直线的电场分布具有轴对称性，考虑离直线距离为
R
的一点
P
处的场强< br>E
（如图4所示）。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所以
电场分布 具有轴对称性，因而
P
点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿
径向，并且和< br>P
点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的场强大小也都相
等，而且方向都沿径向 。
作一个通过
P
点，以带电直线为轴，高为
l
的圆筒形封闭面为高 斯面
S
，通
过
S
面的电通量为
?
e
?
??
S
E?dS?
??
S
1
E?dS?
? ?
E?dS?
??
E?dS

S
t
S
b< br>在
S
面的上、下底面（
S
t
和
S
b
）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右
侧后面两项等于零。而在侧面（
S
1< br>）上各点
E
的方向与各该点的法线方向相同，
所以有
??
E?dS?
S
?
s
1
E?dS?E
?
dS?E?2
?
Rl

s
1
此封闭面内包围的电荷
?
q
int
?
?
l

由高斯定理得
E?2
?
Rl?
?
l
由此得
E?
?
0

?

2
??
0
R
由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可知，当条件允
许时，利用 高斯定理计算场强分布要简便得多。
12

4将高斯定理推广到万有引力场中
4.1静电场和万有引力场中有关量的类比

静电学中的库仑定律：
F?
q
1
q
2
?e
r

4－1
4
??
0
r
2
1
m
1< br>m
2
?e
r

4－2


r
2
牛顿万有引力定律：
F?G?
1
电学以上4－1、4－2两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结 论：○
中
1
4
??
0
相当于力学中的
G
， 为了记忆的方便，我们记为
1
1
4
??
0
?G
（下 同）于是
有
?
0
?4
?
G

4－3
2
电学中电上式中
?
0
?8.85?10
?12
(C
2
?N
?1
?m
?2
),G?6.6 7?10
?11
(N?m
2
?kg
?2
)
○
荷
q
相当于力学中的质量
m
，
于是有
q?m

4－4
4.2万有引力场中的引力场强度矢量
静电场中点电荷在电场中受到的电场力为
F?qE

4－5

经典力学中质点在引力场中受到的重力为

P?mg

4－6

和电场强度类似，在万有引力场中定义一个引力场强度矢量（以下简称引力< br>场强）
g
，则

E?g

4－7

且规定：试探质点在引力场中某点受到的力
f
与其质量之比定义为引力场中
该 点的引力场强

13

g?
f

4－8

m
如果已知引力场中某点的引力场强
g
，则质点在 该处受到的引力可由下式
给出
f?mg

4－9

4.3万有引力场中的高斯定理
一般说来，引力场中的某点的g
是该点位置
r
的矢量函数，对于多个质点产
生的引力场，引力场强满足 叠加原理。有了万有引力场强的定义后，就可以仿照
电通量
?
e
的概念，在引 力场中定义引力场强通量
?
g
。
对某面积微元的引力场强
通量：d?
g
?g?dS?gdScos
?
。
其中
?
是引力场强
g
与面积微元
dS
的夹角，因
此，对某面
S的总引力场强通量为
?
g
?
??
S
g?dS

4－10

有了引力场强通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题 。
仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理。由4－3、4－4、
4－7式 ，并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后，不难得到穿过某闭
合曲面
S
的引力 场强通量应满足
??
S
E?dS?
1
?
0
?q
i
?
??
g?dS??4
?
g
?
m
i

4－11
S
上式称为万有引力场 中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形
式。根据散度的定义，我们可以将4－11式写成相 应的微分形式
??E?
?
???g??4
?
G
?

4－12

?
0
此式说明万有引力场是一种有源场，它的源可认为就 是质量分布
[6]
。
5 结束语
根据上述分析可知，对于电电磁学中重要 的基本定理之一的高斯定理，我们
可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电磁学中，当条件允许时， 利用高斯
14

定理可以很方便的解决相关的问题。

参考文献

[1] 高等数学第二册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1996年第3版：234—235
[2] 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）[M].北京：科学出版社，2008年第2版：< br>173—176 196—200
[3] 籍延坤.大连铁道学院学报[J].2004年9月第25卷第3期：13--15
[4] 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004年第二版：
14—24 182—185
[5] 郭慧成.吉林师范大学学报（自然科学版）[J].2006年5月第2期：103
[6] 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报[J].2008年12月第30卷第4期：354—358

15