人教a版高中数学必修一函数的基本性质教案-高中数学课本北师版必修一答案
高中数学 例说圆锥曲线有关最
值问题论文
例说圆锥曲线有关最值问题
中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何
及解析几何
各科之中,且与生产实际联系密切,最
值问题有两个特点:①覆盖多个知识点(如二次曲
线标准
方程,各元素间关系,对称性,四边形面积,
解二元二次方程组,基本不等式等)②求解过程牵
涉到的数学思想方法也相当多(诸如配方法,判别
式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大,<
br>能力要求高。
常见求法:
1、回到定义
例1、已知椭圆
x
2
y
2
??1
259
,A(4,0),B(2,2)是
y
B
P'
P
A
Q
椭圆内的两点,P是椭圆上任一
点,
求:(1)求
5
|PA|?|PB|
4
的最小
P
C
O
x
值;
(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解:(1)
A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于
点Q,则由椭圆的第二定义
|PA|
?e?4
,
|PQ|5
|PA|?|PB|?|PQ|?|PB|
.问题转化
为在椭圆上找一点∴
5
4
P,使其到点B和右准线的距离之和最小,很明显,
点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小
值为
17
。
4
(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,
则|PA|=2a-|PC|
∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)
根据
三角形中,两边之差小于第三边,当P运动到
与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。
即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P位置时,|PB|
-|PC|=|BC|
,|PA|+|PB|有最大值,最大值为
10+|BC|=
10?210
;当P到P
位置时,|PB|
-|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值,最小值为
10-
|BC|=
10?210
。
回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中
有类似应用。另外,(2)中的最小值还可以利用椭
圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光
线经过
椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程
总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法
例2、在抛物线
y?4x
上求一点,使它到直线y=4x-5
的距离最短。
解:设抛物线上的点
P(t,4t)
,点P到直线4x-y-5=0
2
2
的距离
1
2
4(t?)?4
4t?4
t?5
2
d??
1717
2
当
t?
1
时,
d
2
min
?<
br>4
17
,故所求点为
(
1
,1)
。
2,(1)设点A的坐标为
(
2
,0)
,
3
例3、已知一
曲线
y
2
?2x
求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离
|
PA|;(2)设点A的坐标为(a,0)a∈R,求曲线
上点到点A距离最小值d,并写出d=f(a
)的函数
表达式。
解:(1)设M(x,y)是曲线上任意一点,则
y?2x
(x?0)
2
2211
2
MA?(x?)
2?y
2
?(x?)
2
?2x?(x?)
2
?
3
333
MA
2
min
∵ x≥0
?
4
9
∴
所求P点的坐标是(0,0),相应的
距离是
AP?
2
3
(2)设M(x,y)是曲线上任意一点,同理有
MA?(x?a)?y?(x?a)?2x
?[x?(a?1)]?(2a?1)
x?0
2
22
2
2
综上所述,有
?
?
2a?1
(当a?1时)
d
?
?
(当a?1时)
?
?
a
3、运用函数的性质
例4、在△ABC中,
?C
的对边分别为a,b,c,
?A
,
?B
,
且c=10,
cosAb4
??
cosBa3
,P为△ABC内切圆上动点,求
点P到顶点A,B,C的距离的平方和最大值
与最
小值。
解:由
cosAbsinB
???sinAcosA?cosB
sinA?0?sin2A?sin2B
cosBasinA
∵
b4
??1
a3
∴
2A?
?
?2B
∴△
4
ABC为Rt△由C=10,且
b
?
知
a3
a=6 b=8
设△ABC内切圆半径为r,如图建立直角坐标系,
则
Rt△ABC的内切圆M的方程为:
(x?2)?(y?2)?4
设圆M上动点P(
x,y)(
0?x?4
),则P点到顶点A,
B,C的距离的平方和为
??PA?PB?PC?(x?8)?y?x?(y?6)?y?x
22
222
2
22222
?3[(x?2)?(y?2)]?4x?76
=88-4x
∵点P在内切圆M上,
0?x?4
,于是
??88?0?88
??88?16?72
?3x
2
?3y
2
?16
x?12y?100
22
max
min
例5、直线m:y=kx+1和双曲线
x
2
-y
2
=1的左支交
于A,B两点,直线L过点P(-2,0)
和线段AB
的中点M,求L在y轴上的截距b的取值范围。
略解:
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,M(x
0
,y
0
),将y=kx+1
代入x
2
-
y
2
=1得(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0,由题意,
△>0且
x
1
+x
2
<0,x
1
x
2>0,解之得
1?k?
k1
2
,且M
(,)
,又由P<
br>22
1?k1?k
1
2
b1
1?k
?
(-2
,0),M,Q(0,b)共线,得
2
?
k
,
2
?2k?k
?2
?2
1?k
2
即
b?
2
2
?2k?k?2
下面可利用函数f(k)=-2k
2
+k+2在
(1,
可得
b??2?2或b?2
。
例6、已知P是椭圆
x
2
?y
2
?1
4
2)
上是减函数,
在第一象限内的点,A(2,0),B(0,1),O为原点,求四边形OAPB
的面积的最大值。
略解:设P
(2cosθ,sinθ),(0<θ<л2),点P到直
线AB:x+2y=2的距离
|22
sin(
?
?)?2|
|2cos
?
?2sin
?
?2|22?2210?25
4
d????
5
555
?
∴所求面积的最大值为
2
本例利用三角函数的有界性。反过来,有些代
数最值问题可以转化为解析几何问题,利
用几何直
观来解决,如参考练习中的5。
4、判别式法
例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线
y?x
上移动,记线段AB的中点为M,求点M
到y轴
的最短距离,并求此时点M的坐标。
(x,y)
,解:设点A、B的坐标分别
为
(x,y)
,那么
x?y
,
x?y
①由题意,得
3?(x?x)?(y?y)
②,又AB的
2
2
1122
11
2
222
22
2121
中点M(x,y)到y轴的距离为
x?
x
代入② 整理得
4(yy)
实数,
12
2
1
?x
2
2
③,将① ③
y1
y
2
?2y
1
y
2
?3
2
?4x
2
?2x?0
④,∵ 为
故 △=
4?4?4(3
x
?
5
4
2
?4x
2
?2x)?0
又∵ x>0得<
br>x?
5
⑤,当
4
y
1
y
2
??1
4
时,△=0 由④解得
22
⑥,
⑦,
(y
1
?y
2
)
2
?y
1
?y
2
?2
y
1
y
2
?2x?
151
?2???2
242,可得
y?y
12
?2
由 ⑥,⑦可得
y
,
y
,由①即得相应的
x
,
x
。
12
1
2<
br>故AB的中点M距y轴最短距离为
x
,
的中点坐标为
(
54
2
)
2
,?
或
(
5
4
2<
br>)
2
2
0
?
5
4
,且相应
。
2
法二:
y
2
2
1
?x
1
2
y
2
?x
2
2
2
y
1
?y
2
?x
1
?x
2
22
∴
k?
y
1
?y
2
1
?
x
1
?x
2
2y
∴
3?[1?(2y)](y?y)?9?(1?4y)(y?y)
∵
2x?x?x?y?y
①
2y?y?y
②
由①-②
2
得
2x?4y??2yy
③
①+③得
4x?4y?(y?y)
④
1212
22
121212
2
12
22
12