高中数学 过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质论文

高中数学 过圆锥曲线焦点弦端
点切线的一个性质论文

过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质
经过 圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，
那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是 否也有很优美的结论呢？本人经过探
索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就 对标准位
置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。
我们先来研究抛物线的性质．
性质一：过抛物线焦点
F
的弦AB两端点的切线
l
1
,l
2
的交点
P
的轨迹是相应
?
的 准线,且
?APB
是定值．
2
p
证明：设抛物线的方程为
y
2
?2px
（
p?0
），过焦点
F(,0)
的焦 点弦为
AB
，
2
设
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)
，则过
A,B
两点的切 线
l
1
,l
2
的方程分别为
yy
1
?p(x?x
1
)
①
yy
2
?p(x?x
2
)
②
由①－②得
?y
2
?y
1
x(y
2
?y
1
) ?p(y
1
x
2
?y
2
x
1
)
.
2
y
1
2
y
2
因为
x
1
?,x
2
?,y
1
?y
2
??p
2
,y< br>1
?y
2
.
2p2p
p
所以
x??
.
2
又因为
k< br>1
?
p
,k
2
?
p
,y
1
?y
2
??p
2
.
y
1
y
2
所 以
k
1
?k
2
??1
，即
?APB?
?< br>.
2
当然证明
?APB?
?
，也可以用抛物线的
2
C
A
M
N
F
B
D
P
光学性质来证显得更为简洁.
过
A
作
AM
∥
x
轴，过
B
作
BN
∥X轴．
由抛物线的光学性质知：

?CAM??PAB,?DBN??PBA
．

?MAB??NBA?180
0
．

?180< br>0
?2?PAB?180
0
?2?PBA?180
0
．
即
?PAB??PBA?90
0
．
即
?APB?
．
2
利用平几知识及抛物线定义容易得到
PF?AB
.（证明略）
抛 物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索
后发现确实存在类似的性质． < br>性质二：过椭圆焦点
F
的弦
AB
（不与长轴重合）两端点
A, B
的切线
l
1
,l
2
的
2e
]
． 交点
P
的轨迹是焦点
F
相应的准线，且
?APB
的取值范围 为
(0,arctan
(
e
为
1?e
2
椭圆的离心 率)
?

性质三：若过双曲线焦点
F
的直线与双 曲线交于
A,B
两点,过
A,B
两点的双
曲线的切线
l1
,l
2
的交点
P
的轨迹是焦点
F
相应的准线 （除去该准线与渐近线的交
2e2a
点）,且当
A,B
在同一支上时
?APB
的取值范围为
[
?
?arctan
2
,
?
?arctan)
；
e?1b
2a
当
A,B
在两支 上时
?APB
的范围是
(0,arctan)
.(
e
为双曲 线的离心率)
b
先证明性质二：
x
2
y
2
设椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
的右焦点为
F(c,0)
，焦点弦
AB
（不与长轴 重
ab
合）两端点的坐标为
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，则过
A,B
两点的切线
l
1
,l
2
的方程分别为：
b
2
x
1< br>x?a
2
y
1
y?a
2
b
2
①
b
2
x
2
x?a
2
y
2
y? a
2
b
2
②







由①②得
b
2
x(y
2
x
1
?y
1
x
2
)?a
2
b
2
(y< br>2
?y
1
)
（*）
由
FA?(x
1
?c,y
1
)
，
BF?(c?x
2
,?y
2
)
．
∵
A,F,B
三点共线 ．
所以
y
2
x< br>1
?y
1
x
2
?c(y
2
?y
1< br>)
代入（*）
a
2
得
x?
，即
P
点的轨迹是焦点
F
相应的准
c
线．
2e
下面证明
?APB
的取值范围为
(0,arctan]
：
1?e
2
不失一般性设点
A
在
x
轴上方，点
B
在
x
轴下方,即
y
1
?y
2
．
则
?APB
即为
l
1
到l
2
的角. b
2
x
1
b
2
x
2
∵
kl
1
??
2
，
k
l
2
??
2
．
ay
1
ay
2
b
2
x
2
b
2
x
1
?
2
?
2
k
l
2
?k
l
1
ay
2
ay
1
?l
1
到l
2
的角
?APB
的正切值为
tan?APB?

?
b
4
x
1
x
2
1?k
l
1
k
l
2
1?
4
ay
1
y
2

a
2
b
2
(x
1
y
2
?x
2
y
1
)a
2
b
2
c(y
2
? y
1
)
=
4
．
?
444
ay
1
y
2
?bx
1
x
2
ay
1
y2
?bx
1
x
2
设
AB
所在直线为
x ?my?c
代入椭圆方程即得
b
2
(my?c)
2
?a< br>2
y
2
?a
2
b
2
化简整理得
y
2
(b
2
m
2
?a
2
)?2b
2
cmy?b
4
?0
．
2b
2
cmb
4
?y
1
?y
2
??
22
，
y
1
y
2
??
22
．
22
bm ?abm?a
4444
?ay
1
y
2
?bx
1x
2
?ay
1
y
2
?b(my
1
?c )(my
2
?c)

＝
(a
4
?b
4m
2
)y
1
y
2
?b
4
mc(y1
?y
2
)?b
4
c
2


1
44424242222
?
2
[?b(a?bm)?bcm?(? 2bcm)?bc(a?bm)]

22
a?bm

1
[?a
4
b
4
?b
8
m
2?2b
6
c
2
m
2
?a
2
b
4
c
2
?b
6
c
2
m
2
]

222
a?bm
1a
2
b
6
(1?m
2
)
26262
?
2
[?ab?abm]??
2
．
a?b
2
m
2
a?b
2
m
2
又
y
2
?y
1
??(y
1
?y
2
) ??(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
< br>?
4b
4
c
2
m
2
4b
4
1
4226224
??????4bcm?4bm?4ab
2222222222(bm?a)bm?abm?a
1

??
22
bm?a
2
2ab
2
2
4bam?4ab??
22
1?m
．
bm?a
2
42224
a
2
b
2
c?2ab
2
1?m
2
2ac1

?tan?APB?
．
??
2
a
2
b
6
(1?m
2
)b
2
1?m
1
2ac12ac
?1
∴
tan?APB?
2
??(0,
2
]
．
0?
bb
1?m
2
1?m
2
?
因为
y? tan
?
在
(0,)
是增函数．
2
2ac2e
故
?APB
的取值范围是
(0,arcta n
2
]
即
(0,arctan]
．
b1?e
2
下面证明性质三：
x
2
y
2
设双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为
F(c ,0)
，过焦点
F(c,0)
的直线
ab
与双曲线交于两点的坐标为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)
，过
A,B
两点的切线分别为
l
1
,l
2< br>，
其方程分别为：
b
2
x
1
x?a
2y
1
y?a
2
b
2
①
b
2
x
2
x?a
2
y
2
y?a
2
b< br>2
②
由①②得
b
2
x(y
2
x
1
?y
1
x
2
)?a
2
b
2(y
2
?y
1
)
（*）
由
FA?(x
1
?c,y
1
)
，
BF?(c?x
2
,?y
2
)
．
∵
A,F,B
三点共线 ，
所以
y
2
x< br>1
?y
1
x
2
?c(y
2
?y
1< br>)
代入（*）
a
2
得
x?
（
y??ab
）．即
P
点的轨迹是焦点
F
c
c
相应的准 线（除去准线与渐近线的交点）．
下面证明
?APB
的取值范围：
(1) 当
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)
在同一支上时，不失一
A
P
F
B
般性设点
A
在
x
轴上方，点
B
在
x
轴下方，即y
1
?y
2
,则
?APB
即为
l
2< br>到
l
1
的角.如
图所示．
b
2
x
1
b
2
x
2
∵
k
l
1
?
2
，
k
l
2
?
2
．
ay
1
ay
2

b
2
x< br>1
b
2
x
2
?
22
k
l
1
?k
l
2
ay
1
ay
2

l2
到
l
1
的角
?APB
的正切值为
tan?A PB??
4
b
xx
1?k
l
1
k
l
2
1?
4
12
ay
1
y
2

a
2
b
2
(x
1
y
2
?x
2
y
1
)a
2
b
2
c(y
2
? y
1
)
=
4
．
?
444
ay
1
y
2
?bx
1
x
2
ay
1
y2
?bx
1
x
2
设
AB
所在直线为
x?my?c
, 因为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在同一支上,所以< br>a
0?m?
，将
x?my?c
代入双曲线方程化简整理得
b
y
2
(b
2
m
2
?a
2
)?2 b
2
cmy?b
4
?0
．
2b
2
cmb
4
?y
1
?y
2
??
22
，
y
1
y
2
?
22
．
bm?a
2
bm?a
2
?a
4
y
1
y
2
?b
4
x
1
x
2
?a
4
y
1
y
2
?b
4
(my
1
?c)(my
2
?c )

＝
(a
4
?b
4
m
2
)y< br>1
y
2
?b
4
mc(y
1
?y
2< br>)?b
4
c
2

1
?
22
[b4
(a
4
?b
4
m
2
)?b
4
cm?2b
2
cm?b
4
c
2
(b
2
m
2
?a
2
)]

2
bm?a
1< br>?
22
[a
4
b
4
?b
8
m
2
?2b
6
c
2
m
2
?b
6
c
2
m
2
?a
2
b
4
c
2
]

2
bm?a
1a
2
b
6
(1?m2
)a
2
b
6
(1?m
2
)
2626 2
?
22
[?ab?abm]??
22
?
2
． < br>bm?a
2
bm?a
2
a?b
2
m
2
又
y
2
?y
1
??(y
1
?y
2
)??(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
4b
4
c
2
m
2
4b
4
1
??????4b
4
c
2
m
2
?4b
6
m
2
?4a
2
b
4

222222222 2
(a?bm)a?bma?bm
1
??
2
a?b
2
m
2
2ab
2
2
4bam?4ab??
2
1?m
．
22
a?bm
42224
a
2
b
2< br>c?2ab
2
1?m
2
2ac1

?tan?APB??
．
???
2
a
2
b
6
(1?m
2
)b
2
1?m
2ac12ac2a
a
?[?
2
,?)
．
0?m?
，∴
tan?APB??
2
?
bbb
b
1?m
2
?
因为
y?tan
?
在
(,
?
)
是增函数，
2
2ac2a
故
?APB
的取值范围是
[
?
?arctan
2
,
?
?arctan)
即
bb
2e2a
[
?
?arctan
2
,
?
?arctan)
．
e?1b
(2)当
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
不在在同一支上时， 不失一般性设点
A
在右支、点
B
在左支，根据对称性先考虑
k
AB
?0
的情况，则
?APB
即为
l
2
到
l
1
的角，如图所示：
b
2
x
1
b
2
x
2
∵
k
l
1
?
2
，
k
l
2
?
2
．
ay
1
ay< br>2
l
2
到
l
1
的角
?APB
的正切 值为

b
2
x
1
b
2
x
2
?
22
k
l
1
?k
l
2
ay
1
ay
2

tan?APB??
4
b
xx
1?k
l
1
k
l
2
1?
4
12
ay
1
y
2

a< br>2
b
2
(x
1
y
2
?x
2
y
1
)a
2
b
2
c(y
2
?y
1
)
=
4
.
?
444
ay
1
y< br>2
?bx
1
x
2
ay
1
y
2
?bx
1
x
2
设
AB
所在直线为
x?my?c
, 因为
a
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在两支上 且
k
AB
?0
，所以
m?
.
b
将
x?my?c
代入双曲线方程化简整理得
y
2
(b
2
m
2
?a
2
)?2b
2
cmy? b
4
?0

2b
2
cmb
4
?y
1
?y
2
??
22
,
y
1
y
2
?
22
.
bm?a
2
bm?a
2
?a
4
y
1
y
2
?b
4
x
1
x
2
?a
4
y
1
y
2
?b
4
(my
1
?c)(my
2
?c )

262
ab(1?m)
＝
(a
4
?b
4
m
2
)y
1
y
2
?b
4
mc( y
1
?y
2
)?b
4
c
2
?
2< br>
22
a?bm
又
y
2
?y
1
??(y
1
?y
2
)??(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2

P
F
A
B < br>4b
4
c
2
m
2
4b
4
1
4226224
??????4bcm?4bm?4ab

2222222222(a?bm)a?bmbm?a
??
1
b
2
m
2
?a
2
2ab
2
4bam?4ab??
22
1?m
2
.
2
bm?a
42224
a
2
b
2
c?2ab
2
1?m
2
2ac1

?tan?APB?
.
??
2
a
2
b
6
(1?m
2
)b
2
1?m
2ac12a
a
?(0,)
.
m?
,∴
tan?APB?
2
?
bb
b
1?m
2
?
因为
y?tan
?
在
(0,)
是增函数， 故
?APB
的取值范围是
2
2a
(0,arctan)
．
b
根据对称性知当
m??
a
时上述结论也成立．
b
所以当
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在两支上时
?APB
的取值范围是
(0,arctan
2a
)
．
b
通过上述证明我们还可以得到下面一个推论：
过圆锥曲线
C
的准 线
l
上一点作
C
的两条切线,则两切点与准线
l
相应焦点< br>共线．
证明略．