高考数学 浅析高考数列求和题的解题方法论文

浅析高考数列求和题的解题方法
数列求和是数列的重要内容，也是高考的重 点考察对象。本文归纳近几年高考求数列
{an}前n项和题的解题方法，供同学们参考。
一、直接求和法
等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
例1（2009 年湖南卷文）设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，已知
a
2
?3
，
a
6
?11
，则
S
7
等
于【 C 】
A．13 B．35 C．49 D． 63
解: < br>S
7
?
7(a
1
?a
7
)7(a
2
?a
6
)
7(3?11)
???49.
故选C.
222
?
a
2
?a
1
?d?3
?
a?1< br>?
?
1
,
a
7
?1?6?2?13.
< br>?
a
6
?a
1
?5d?11
?
d?2
或由
?
所以
S
7
?
7(a
1
? a
7
)
7(1?13)
??49.
故选C.
22
二、分组求和法
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数 列，可采用分组分别求
和的方法。
例2（2008年浙江文）已知数列
?
x
n
?
的首项
x
1
?3
，通项
x
n
?2
n
p?nq
（
n?N,p,q
为
?
常 数），且
x
1
,x
4
,x
5
成等差数列，求：
（Ⅰ）
p,q
的值； （Ⅱ）数列
?
x
n
?的前
n
项的和
S
n
的公式。
解：（Ⅰ）由
x
1
?3,得

2p?q?3,
又x
4
?2
4
p?4q,x
5
?2
5
p?5q ,且x
1
?x
3
?2x
4
,得
3?2p?5q?2 p?8q,
解得

p
=1,
q
=1
(Ⅱ)
S?(2?2
2
?
?
?2
n
)?(1?2?
?
?n)
n
55


n(n?1)
?2
n?1
?2?.

2
三、裂项相消法
某些数列的通项，可拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，一般情况下剩下
正负项个数相同。
例3（2010山东理数）已知等差数列
?
a
n
?
满足：< br>a
3
?7
，
a
5
?a
7
?26，
?
a
n
?
的前
n
项和
为
S
n
．（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
；
< br>（Ⅱ）令
b
n
=
1
*
(
n
?
N)，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T< br>n
．
2
a
n
?1
用心 爱心 专心
1

解：（Ⅰ）设等差数列
?
a
n
?
的公差为d，因为
a
3
?7
，
a
5?a
7
?26
，所以有
?
a
1
?2d?7< br>，解得
a
1
?3,d?2
，
?
2a?10d?26
?
1
所以
a
n
?3?（2n?1)=2n+1
；< br>S
n
=
3n+
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
n
?2n +1
，所以
b
n
=
n(n-1)
?2
=
n
2
+2n
。
2
111
1
11
1
?(-)
，==
=< br>?
a
n
2
?1
（2n+1)
2
?1
4n(n+1)
4nn+1
所以
T
n
=
11111111< br>n
?(1-+?+?+-)
=
?(1-)=
，
4223nn +14n+1
4(n+1)
即数列
?
b
n
?
的前< br>n
项和
T
n
=
n
。
4(n+1)
四、错位相减法
若数列{an}{bn}分别为等差数列和等比数列， 求数列{an·bn}的前n项和就可以用这一
方法。
例4(2008年陕西文)已知数列< br>{a
n
}
的首项
a
1
?
（Ⅰ）证明：数列< br>{
（Ⅱ）数列
{
2
2a
n
，
a
n? 1
?
，
n?1,2,3,
…．
3
a
n
?1
1
?1}
是等比数列；
a
n
n
}
的前
n
项和
S
n
． < br>a
n
2a
n
a?1
1111
解：（Ⅰ）
?< br>
a
n?1
?
，
?

?
n
???
，
a
n?1
2a
n
22a
n
a
n
?1
2
111
11

?

?1?(?1)
，又
a
1
?
，
?
?1?
，
3
a
n?1
2a
n
a1
2
11
1

?
数列
{?1}
是以为首项，为公比的等比数列．
22
a
n
1111nn
11
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
?1??
n?1?
n
，即
?
n
?1
，
?
?
n
?n
．
a
n?1
222a
n
2
a
n
2
123n
设
T
n
??
2
?
3
?
…
?
n
， ①
222
2
1 12n?1n
则
T
n
?
2
?
3
?
…
?
n
?
n?1
，②
22222
由①
?
②得
11
(1?)
n
111
1nn1n
22

T
n
??
2
?
…
?
n
?
n?1
??
n?1
?1?
n
?
n?1
，
1
222
22222
1?
2
用心 爱心 专心
2

1nn(n?1)
1?2?3?
??n?
．又…．
2
n? 1
2
n
2
2?nn(n?1)n
2
?n?4n?2
n
??
n
．
?
数列
{}
的前
n
项和
S
n
? 2?
n
?
2222
a
n
?
T
n
? 2?
此外还有一些数列求和方法，比如倒序相加法、待定系数法、数学归纳法等等，相应
的技巧 也应重视。

用心 爱心 专心
3