高中数学向量 模 课件-高中数学竞赛需要学高等数学吗
例说构造法求数列的通项
武汉市东湖中学 涂阳树 卢昕
由递
推关系给出的数列,求其通项常用的方法有累加(乘)法或迭代法。但很多情况下可通
过构造化归为等差
或等比数列求其通项。下面就相邻两项或三项递推关系给出的数列求通项作一
些探究。
一
形如“
a
n?1
?ka
n
?f(n)
”型的数列
例1 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
,a
n?1
?
解析:设
a
n?1
?
?
?<
br>2
a
n
?2
,求
a
n
.
3
2
(a
n
?
?
)
,比较,得
?
??6<
br>,
3
22
则
a
n?1
?6?(an
?6),a
1
?6??5
,即数列
{a
n
?
6}
是首项为
?5
,公比为的等比数
33
2
n?1
2
n?1
列,
?a
n
?6??5?()
,即
an
?6?5?()
33
2
2
例2 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?a<
br>n
?n?2n
,求
a
n
.
3
2
2
2
解析:设
a
n?1
?A(n?1)?B(n?1)?C?(a
n<
br>?An?Bn?C)?①
3
1
2
11
2
则
?An?(2A?B)n?A?B?C?n?2n
,
333
比较系数,得
A??3,B?12,C??27
,代入①知,数列
{a
n?3n
2
?12n?27}
是首项为
?17
,公比为
2
的等比数列.
3
2
2
n?1
2
n?12
,即
a
n
?3n?12n?27?17?()
33
2
n
例3 已知数列
{a
n
}
满足<
br>a
1
?1,a
n?1
?a
n
?2
,求
a
n
.
3
243
n?1
?(a
n
?<
br>?
?2
n
)
,比较,得
?
?
?1,
?
??
, 解析Ⅰ:设
a
n?1
?
?
?2
334
3
n?1
2331
?(a
n
??2
n
),a
1
??2??
则
a
n?1
??2
43442
3
n
12
即数列
{a
n
??2}
是首项为
?
,公比为的等比数列.
43
2
3
n
12
n?1
3
n
12
n?1
?a
n
??2???(),即a
n
??2??()
423423
?a
n
?3n?12n?27??17?
()
解析Ⅱ:由
a
n?1
?
则
b
n?1
?
a
?1
1
a
n
1
a
n<
br>2
a
n
?2
n
,有
n
???,设b?
,
n
n?1nn
3
32
222
11
b
n
?
,仿例1求
b
n
从而求得
a
n
. <
br>32
解析Ⅲ:由
a
n?1
?
a
1a
n
a
2
1
n?1
a
n
?2
n
,有
n?
,设
b
n
?
n
,
?
??3
3
(
2
)
n?1
(
2
)
n
2
(
2
)
n
333
1
n?1
?3
,用累加法求
b
n
从而求得
a
n
.
2
则
b
n?1
?b
n
?一般地,由
a
1
?a,a
n?1
?ka
n
?f
(n)
给出的数列,当
f(n)?pa
n
?qn
2
?rn?
t
时,都可
通过分解
f(n)
构造
a
n?1
?Aa
n?1
?B(n?1)
2
?C(n?1)?D?k(a
n?1
?Aa
n
?Bn
2
?Cn?D)
再利用待定系数法确定A,B,C,D,从而转化为等比数列求其通项.
二 形如“
pa
n?2
?qa
n?1
?ra
n
”型的数列 例4.设数列
{a
n
}
满足:
a
1
?2,a<
br>2
?16,a
n?2
?16a
n?1
?63a
n,n?N
?
,求
a
n
.
解析:设
a
n?2
?
?
a
n?1
?(16?
?
)(a
n?1
?
?
a
n
)
,则
(16?
?
)
?
??63
,解得
?
??7或?9
取
?
??7,有a
n?2
?7a
n?1
?9(a
n
?1
?7a
n
),且a
2
?7a
1
?2,
则数列{a
n?1
?7a
n
}
是首项
为2,公比为9的等比数列,
a
n?1
?7a
n
?2?9
n
?1
再令
a
n?1
?k9
n
?7(
a
n
?k9
n?1
)
,比较,得
k??1
从而数列
{a
n
?9
n?1
}
是首项
为1,公比为7的等比数列
?a
n
?9
n?1
?1?7
n?1
即
a
n
?9
n?1
?7
n?1
一般地,由相邻三项的递推关系给出的数列,求其通项时,可通过分解中间项构造等比数
列转化为相邻两
项的递推关系,从而求其通项.
三 其它类型的数列
例5 已知数列
{an
}
满足:
a
1
??1,a
n?1
?a
n
?a
n?1
?a
n
,求
a
n
. 解析:
?a
1
??1,?a
n
?0
,由
an?1
?a
n
?a
n?1
?a
n
,有
1
a
n?1
?
1
??1
,
a
n
则数列
{
1
}
是首项为
?1
,公差为
?1
的等差数列,
a
n
?
1
1
??1?(n?1)(?1)??n
即
a
n
??
n
a
n
例6(06安徽)数
列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,已知
a<
br>1
?
1
,
S
n
?n
2
a
n
?n
(
n?
1)(
n?
1,2,3,
?
)
2
(n?2)
写出
S
n
与S<
br>n?1
的递推关系式,并求
S
n
关于
n
的表达式.
解析:当
n?2
时,
a
n
?S
n<
br>?S
n?1
,则有
S
n
?n
2
(S
n
?S
n?1
)?n(n?1), 即(n
2
?1)S
n
?n
2
S
n?1
?n(n?1)?①
n
2
n
?S
n
?
2
S
n?1
?
n?1
n?1
由①得
n?1nn?
1
S
n
?S
n?1
?1(n?2),设S
n
?b<
br>n
nn?1n
则有
b
n
?bn?1
?1(n?2)
,数列
{b
n
}
是首项为1,公
差为1的等差数列,
n?1
n
2
S
n
?n
,
即
S
n
?
?b
n
?1?(n?1)?1?n
, 从而
n
n?1
解本例的一般思路是由
S
n
与S
n?1
的递推关系
(n?2)
,先归纳,猜想
S
n
,再用
数学归纳法
证明。但如果仔细观察项与项数的关系,从中发现规律,从而构造新的等差数列求其通项S
n
,要
简单的多。
因此,对于较复杂的递推关系,只要善于
发现规律,亦可尝试构造新的等差(比)数列,便
可快捷求其通项.