数学分析实践论文

由初等数学到高等数学引发的思考





数学与信息技术学院


由初等数学到高等数学引发的思考


题 目：由初等数学到高等数学引发的思考
专 业：数学与应用数学专业
班 级：12级数本一班
学生姓名：焦翠玲
指导教师：石秀文




日 期：2013年1月5日



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由初等数学到高等数学引发的思考
由初等数学到高等数学引发的思考

摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。可是现< br>阶段初等数学与高等数学的脱节问题严重，初等数学与高等数学的衔接问题成为我们关注的
首要的 和基本的问题，当前在校大学师范生亦然也认为高等数学的学习对以后的就业来说完
全没有必要。为了转 变当前大学生对高等数学的“无用论”问题的看法，更好的来学习高等
数学，并用高等数学解决初等数学 中的问题，希望可以通过本文，将初等数学与高等数学紧
密的联系起来。

关键字
：
初等数学、高等数学、衔接、解决、“无用论”
前言：数学是一门 概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立
的学科与自然科学、社会科学并 驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非
常科学的。因此有人把它叫做思维的体操，也 有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学
会基 本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高 等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充
满生机、古老的学科的庞大的 体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特
性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课
程中 的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有
什么帮助。“用” 的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数
学之间的联系，加强高等数学对 初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是
本课题研究的重点和关键问题。
高 等数学是初等数学的延伸和发展，而初等数学却是高等数学的基础。作为学习和研究
数学的步骤，无疑应 该是先学习和掌握初等数学，然后才能学习和应用高等数学。反之，学
习高等数学能加深对初等数学的理 解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能
力。但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知 识直接衔接，使我们中的不少人一接触到
“数学分析”、“高等代数”等这些数学课程，就对数学专业课 产生了畏难、抵触情绪。而
且高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多大学师范毕业生对如何运用高 等数学理论指
导中学数学感到迷茫，毫无头绪，进而产生了高等数学学习的“无用论”观点，为了解决上
述长期存在的问题，我认为研究高等数学与初等数学的衔接问题是一项有效的措施，并使大
学生 可以尽快地转变自己对待高等数学学习的的观点。
一、初等数学与高等数学的衔接问题
（一）高中数学新教学大纲对教学内容的调整
1.删除的内容
A.命题、数学归 纳法与数学归纳法应用举例、直线方程的参数式、曲线的交点、利用评
一个化简圆锥曲线方程。即原大纲 限定选修课供文科、理科选用部分

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B.选修一中（即原大纲限定选修课供文科 、理科选用部分）删去了瞬时速度以及复数单
元的全部内容。
C.选修二中（即原大纲限定选 修课供理科选用部分）删去了连续型随机变量的概率分布、
两个重要极限、导数的定义、二阶导数、二阶 导数的物理意义、直接积分法、第一类变量代
换法、极坐标、极坐标系中的平面图形的面积。
2.降低学习要求的内容
A.极限中只讲描述性的定义，删去了“数列极限中了解的定义”， 并将数列极限的“四
则运算”与“函数极限的四则运算”合并成“极限的四则运算”，只要求利用法则求 某些极
限。
B.将“随机变量的期望值和方差”改为“离散型随机变量的期望值和方差”，将 “用样
本方差估计总体方差、用概率分布估计总体分布、累计频率分布等”改换为“总体的估计、
正态分布、线性回归”。
C.“直线、平面、简单几何体”有7处“掌握”级要求降为“了解”级要 求，特别是论
证方面，删去了“利用有关概念进行论证和解决有关的问题”的要求，将“三垂线定理及其
逆定理”由“掌握”级改为“了解”级要求，淡化了几何论证的要求。
D.降低了“”四种命 题、函数的奇偶性和单调性的概念的教学要求，把椭圆、双曲线、
抛物线的“几何性质”都改为“简单的 几何性质”。
（二）高中数学与高等数学教学的建议
1.集合、函数与基本初等函数
在高中新课标数学教材中共用了52课时讲解这部分内容，是 高中数学的教学重点，
高考要求也较高，学生掌握也比较牢固。高等数学中应将重复的内容略去不讲或让 学生课下
自学，而将教学重点放在中学教材不讲或略讲的内容上，如反三角函数部分、复合函数等，另外有意识地培养学生运用数学符号与数学语言的能力，这是初等数学与高等数学教学上的
一个难点 。
2.一元函数微分学
A.导数的定义
高中数学对导数的定义是通过大量实例， 让学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现
实问题的过程，从而了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想与内涵，通过函数图象是学
生只管了解导数的几何意义。高等数学导数定义要从实际问题抽象出一半 的数学定义，用极
限定义倒数，将导数看做是增量比的极限，数学体系上更讲究严谨性与完整性。
B.导数的运算
倒数的运算部分高中只要求根据导数的定义会求简单函数的导数，能利用给出 的基本初
等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。高等数学要求在此基础上掌握初等函数的一、二阶导数的

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求法， 会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的反函数导数，了解高阶导数的概念，
会求简单函数的n 阶导数，了解微分的概念与四则运算以及在近似计算中的应用。
3.导数的应用
高中教材是 借助集合直观，并通过实际的背景和具体应用实例是学生了解函数的单调性
与导数的关系；结合函数图象 ，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数
求不超过三次的多项式函数的最大最小值； 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问
题，体会导数在解决实际问题中的应用。在高等数学教学 中对于导数的几何意义，导数的四
则运算法则，及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函 数极值等问题，因为
在高中都是要求的重点，是重点强化训练的知识点，所以应一点而过，有关导数的几 何意义
及简单函数的一阶导数的例题讲一题即可，函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二
充分条件及函数最大值最小值求法和实际应用是高等数学的教学难点。
3.一元函数积分学
这部分内容高中数学新课标要求“通过实例从问题情境中了解定积分的实际背景；借助
几何直观体会定 积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例直观了解微积分基本定
理的含义”。对定积分的计算 仅要求会求基本初等函数的积分，对定积分的应用，要求能计
算几何中曲边梯形的面积以及物理中变速直 线运动的位移和变力做功等基本问题。高等数学
教材则是通过定义原函数引出不定积分的数学定义，然后 给出不定积分的性质、换元积分法、
分部积分法等，对于定积分是从几何与力学问题出发引出定积分的定 义，给出定积分的性质，
自然引出微积分基本原理，在不定积分和定积分之间搭建桥梁。
二、用高等数学解决初等数学问题
（一）柯西——施瓦兹不等式应用
柯西——施 瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。
设欧式空间，令，，则。（等 号当且仅当线性相关时成立）在标准内积下，即，
若，则得。
例设都是正数，且。求证：
证明：在中，使用标准内积。设，，则
由柯西不等式，得，（等号当且仅当线性相关时成立）
使用柯西——施瓦兹不等式重要的是构造一 个合适的欧式空间，特别是构造內积运算，
并找到两个适当的向量。做到这一点是有困难的，但是只要完 成这个构造，余下的问题便很
容易解决。构造法就是在解决某个问题时，先构造一种数学对象，这种构造 物有时看来与题
意无关，但实际上恰与问题有内在的联系，而且在某种条件下正是题目所求，或者使我们 可
以用另一种方法求解问题，这时构造物就成了一种桥梁。
（二）矩阵的应用
要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质

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和定理。
例.已知（1）。能不能用一个显式表达呢？
在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以 求出通项。而用初等数学的方法解
的话，则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目 了然。
（三）微积分的应用
若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手， 将不等号两边相减或相除来证都
是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此 题便迎刃而解。
例．??这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题），是有关抽象函 数不等
式的证明题，认真分析研究该题中的（2），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个问题推广：
由试题中函数满足的条件（ii）可联想到高等数学中的itz条件：
对于上定义的函数和正数，若存在正常数使不等式
对都成立，则称函数在上满足阶的itz条件。
显然试题中的函数满足阶的itz条件。下面进一步将其推广到满足阶的
itz条件
推广2. 函数定义在上，，且满足阶的itz条件，即存在正常数，使得对于任意
的，都有，则必有
（四）实例应用
例：设
a?0,b?0,x
1
,x2
均为正数，且
a?b?1
，若
y
1
?ax
1
?bx
2
，
y
2
?bx
1
?ax
2
，
求证：
y
1
y
2
?x
1
x
2

证法1：
y
1
y
2
?
?ax
1
?bx
2
??
ax
2
?bx
1
?

?

?
?
a

?
?
a
证毕.
2222

?x
1
?x
2
ab?a?bx
1
x
2

2
2
???
?b
2
?
x
1
x2
?2abx
1
x
2

?2ab?b
2
?
x
1
x
2


?x
1
x
2

证法2：
lgy< br>1
?lg
?
ax
1
?bx
2
?
?a lgx
1
?blgx
2


lgy
2
?lg
?
bx
1
?ax
2
?
?blg x
1
?algx
2

两式相加, 得
lgy
1
?lgy
2
?
?
a?b
??
lgx
1
?lgx
2
?
?lgx
1
?lgx
2


lgy
1
y
2
?lgx
1
x
2


y
1
y
2
?x
1
x
2
证毕.
从中我们不难看出初等数学与高等数学有着如下的联系：


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三、浅谈当代大学生认为高等数学的“无用论”问题
数学的威力 有多大？国防科技大学理学院用实践给出了最好的答案——他们创造性地
运用一个个公式、算法、方程， 破解制约部队战斗力提升的现实问题，推动了战斗力生成模
式转变。
一个公式改变了一支部队的执勤模式
“雷达站为什么要建在偏远山区？”最初，当国防科大理 学院数学教授提出这个问题
时，不免让人觉得有点“太业余”了。
一般来说，担负测控任务的 部队，运用的是“测距+测速”国际通用的测控方法，将雷
达站建在大山中正是因为“测距”的需要。
“如果抛开测距，仅通过测速来定位不行吗？”不行。国际上早有结论：仅凭速度数据
无法计算 出飞行器的具体位置。
然而，该院数学教授却“异想天开”：如果能突破这一传统理论，不仅可以改变 部队传
统的测控方法，还能让官兵搬出偏远山区。
不久，部队送来一次导弹试验的测量参数， 请他们帮助进行数据分析处理。当他们将几
组测距、测速数据放到计算机中进行运算时，发现其中一个测 距雷达并未测到应该测到的数
据。
怎么办？数学教授们又想到了抛开测距定位的创新思路。于 是，他们尝试性地将一个相
应的测速参数替代这个测距参数，再算。奇迹出现了——得出了准确的弹道精 度。
举一反三，他们将这一创新成果应用于一支测控部队，改变了传统雷达测控体制。如今，
这支部队的测距雷达站全部搬出偏远山区，遂行测控任务时，官兵们只需用一台车载测速雷
达到达指定地 点就可以了。
一个方程将卫星图像质量提高30%
卫星翱翔太空，需要有一双明察秋毫的慧眼。但以前我国遥感卫星的图像质量却有待改
进。 < br>一个偶然的机会，该校理学院的数学专家了解到这一情况。要解决图像质量问题，首先
要了解成像 原理。于是，团队成员抱来一大摞成像方面的书籍进行系统学习，又到卫星研制
单位、用户单位及各相关 部队进行实地调研。渐渐地，他们掌握了遥感成像的原理和特点。
专家们将卫星图像质量不高的问题， 描述成数学语言，并将误差扩散过程转换为一个二
维方程，然后对这个方程进行求解，从而使受到噪声斑 点污染的图像恢复本来面目。
理论上看似行得通，实践中却难以实现。攻关一度陷入困境，但他们没有 放弃。经过分
析他们发现，光学图像处理方法是将噪声斑点抹掉，而雷达图像的噪声斑点抹掉后，图像信

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息的保真度不高，质量自然也就不清晰，传统的二维方程也就无法求解。
于是，他们先对二维 方程进行改造，建立起一个全新的方程。就是这个方程，一举将图
像质量提高了30%，达到国内领先、 国际先进水平。
一个算法挽救一台武器装备
2008年，某型号装备在演示验证中，目标测 量数据出现严重误差，使该型号装备研制
陷入困境。
提起“数据”这个词，研制单位立即想到 了该院数据分析技术创新团队。求援电话打过
去，3名教授犹如战士接到了出征的命令，立即动身赶赴试 验现场。
这是一个十分棘手的问题，国内研究单位攻关十余年未能取得突破，国际上也没有现成
方法可供参考。
专家们深知，如果问题得不到解决，装备研制人员多年攻关的成果将功亏一篑。3名 数
学专家在条件艰苦的试验场安营扎寨，心无旁骛开始攻关。
60多个日日夜夜，经历数不清 的挫折和失败，他们终于从纷繁复杂的数据中，锁定了
影响目标测量预报的关键参数，找到了解决问题的 突破口，并创造性地提出了一个新的算法，
彻底解决了数据预报误差问题，让这台武器装备获得“新生” 。
一个软件将定轨精度提高一个量度
分布式卫星的定轨精度，是衡量一个国家空间技术发展 水平的重要标志。由于我国在这
方面起步较晚，定轨精度与国际先进水平相比还有差距。
为改 变这一现状，我国组织多领域专家经过10余年联合攻关，各分系统有关定轨精度
的技术指标取得了重大 突破。然而，当总体单位将各分系统“组合”起来进行整体试验时，
却出现了令专家们惊诧的结果：精度 与当初的设计要求相差甚远。
问题出在哪里？参与联合攻关的该校理学院一位年轻博士突生灵感。经过 连续几天的试
验数据分析，他隐隐约约地发现：精度误差随着时间呈一定规律性变化。
他像哥 伦布发现新大陆一样兴奋，立即着手进行数据误差分析，并将时间处理程序嵌入
到一个相关软件中，经过 实验验证后，再用这个改进后的软件进行有关数据处理时，精度完
全达到要求。
研制单位大喜 过望，按照他改造的这个软件，用来校准卫星时钟精度和进行卫星轨道参
数处理，难题迎刃而解，精度被 提升了一个量级。
一本名叫《数学之美》，讲了数学在各种软件技术中的支柱作用。 如果没有线性代数（特
别是矩阵分析），大电网的建设就必须另寻途径 ；组合数学，尤其是图论，谁又 敢说在计算
机中没用？算法方面，如果没有坚实的数学基础做支撑，很多问题根本不知道如何解决；要< br>想编程编得好，数学基础不可少；数据挖掘，图形图像，机器学习这些领域，核心问题基本
都是高 等数学问题。或许大学里数学的一部分知识在平常的编程方面用得比较少，但不能够
说大学数学“无用论 ”。

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综上，初等数学与高等数学紧密相连，在学习上要注重高等数学与初等数学学习的两大
原则，一 是比较性原则，二是发展性原则。作为一名准中学教师，仅仅懂一点初等数学是远
远不够的，他必须具备 较好的数学专业知识，观点越高，事物越显得简单，例如，再实数域
里不好理解的某些东西，从复数域的 观点看就清楚了；在欧式空间里某些无法解释的现象，
从摄影空间的观点看，就有满意的说明；中学的最 值问题，用导数来理解就清楚多了。在现
阶段，我们无法忽略高等数学的学习，何不趁此机会，大捞一把 ，使自己的知识更加丰富点！
参考文献：
2012年4月9日《解放军报》——数学的威力
宁波东钱湖旅游学校数学组王琴芳《高等数学与初等数学的结合在数学解题中的应用》
山东济南职业学院曹爱民《高职高专高等数学课程改革中与高中数学内容衔接的问题研
究》






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