微分中值定理的证明及其应用 数学毕业论文

2014届本科毕业论文（设计）


题目：微分中值定理的证明及其应用



学 院：数学科学学院
专业班级：数学09-3班
学生姓名：
指导教师：
答辩日期：2014年 5月8 日





新疆师范大学教务处

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
目 录
1. 引言....................................... ...................... 3
⒉ 微分中值定理............. ........................................ 3
2.1 罗日（Rolle）中值定理..................................... ... 3
2.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 ................................ 3
2.3 柯西（Cauchy）中值定理 ...................................... 4
3. 微分 中值定理的证明........................................... .... 4
3.1罗日（Rolle）中值定理的证明.................... .............. 4
3.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明 .......................... 5
3.3 柯西（Cauchy）中值定理的证明 ................................ 7
4. 微分中值定理的几何解释.............................. ............. 8
4.1罗日（Rolle）中值定理的几何解释......... ..................... 8
4.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的几何解释 ...................... 9
4.3 柯西（Cauchy）中值定理的几何解释 ............................ 9
5. 微分中值定理的应用... ............................................ 9
6.总结............................................. ................ 13
参考文献...................... ..................................... 14
致谢... ............................................ 错误！未定义书签。

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
微分中值定理的证明及其应用
摘要：在本文中主要讨论了微分中值定理，即：Rolle中值 定理、Lagrange
中值定理、Cauchy中值定理。在这里我首先分别用了图形法，行列式法， 积分
法给出了它们的证明和几何解释，其次对这些微分中值定理在等式的证明，不等
式的证明， 方程根的存在性及其求近似值等中的应用技巧作了系统的总结，最后
通过给出几个应用例子来进一步讨论 了微分中值定理在解题、证题中的作用和应
用技巧。

关键词：
辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；

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新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
1. 引言
微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。微分
中值定理是在 数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的
作用，是研究函数在某个区间内的整体 性质的有力工具。
微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工
具。本文是以罗尔中值 定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究
对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用 。
⒉ 微分中值定理
2.1罗日（Rolle）中值定理
若函数
f(x )
满足如下条件：（ⅰ）
f(x)
在闭区间
?
a,b
?上连续。（ⅱ）
f(x)
在
开区间
?
a,b
?
内可导。（ⅲ）
f(a)?f(b)
,则在
?
a,b
?
内至 少存在一点
?
，使得
f
?
(
?
)?0

2.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数
f(x)
满足如下 条件：（ⅰ）
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续。（ⅱ）
f(x)
在
f(a)?f(b)

a?b
注：拉格朗日中值 定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式。可
根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用 ：
开区间
?
a,b
?
内可导,则在
?
a,b?
内至少存在一点
?
，使得
f
?
(
?
)
=
①
f(b)?f(a)?f
?
(
?
)
?
b?a
?

?
?
?
a,b
?

②
f(b)? f(a)?f
?
?
a?
?
?
b?a
???
b?a
?

0
＜
?
＜1
③
f(a?b)?f(a)?f
?
(a?
?
h)h

0
＜
?
＜1
3

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
2.3 柯西（Cauchy）中值定理
设函数
f(x)
和
g(x)
满足 ：（ⅰ）在
?
a,b
?
上都连续。（ⅱ）在
?
a,b
?
内都可导。（ⅲ）
f
?
(x)
和
g
?
(x)
不同时为零。（ⅳ）
g(a)?g(b)
，则存在
?
?
?
a,b
?
使得
f
?
(
?
)f(b)? f(a)
。
?
?
g(
?
)g(b)?g(a)
3. 微分中值定理的证明
3.1罗日（Rolle）中值定理的证明
证法一：根据条件在闭区间
?
a,b
?
上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理，
若函数< br>f(x)
在闭区间上连续，则函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上能取到最小值
m
和最
大值
M
.既在区间
?
a,b
?
上存在两点
x
1
和
x
2，使
f(x
1
)?m
,
f(x
2
)?M
,且对任意
x?
?
a,b
?
有
m?f(x)?M
。
下面分两种情况讨论：
⑴如果
m?M
，则
f(x)
在?
a,b
?
上是常数，所以对
?x?
?
a,b
?
有
f
?
(x)?0
，既
?
a,b
?内任意一点都可以作为
?
，使
f
?
(
?
)?0

⑵如果
m
＜
M
，由条件
f(a)?f(b)有
f(x)
在
?
a,b
?
上两个端点
a
与
b
的函数值
f(a)
与
f(b)
不能同时一个取最大值 一个取最小值，既在开区间
?
a,b
?
内必定至少
存在一点
?
，函数
f(x)
在点
?
取最大值或最小值，所以
f(x)
在点
?
必取局部极值，
由费马定理，有
f
?
(?
)=0
证法二：分三种情况讨论
⑴
f(x)?k
,（
k
是常数） 图3.1.2（a）中
f
?
(x)?0
,
?
a,b
?
中任何一点都满足定 理的要求。
4

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⑵图3.1.2（b）,(c) 中,对于
?
a,b
?
中某些
x
，有
f(x)
＞
f(a)
。
根据最大最小值定理，< br>f(x)
在区间
?
a,b
?
中
有最大值。
因为
f(a)?f(b)
，所以函数
f(x)
一定是在
区间
?
a,b
?
中某一点
c
达到最大值。
因此
f(x )
在点
c
有极大值。由
f(x)
在点
c
可微的，根 据费马定理可知
f
?
(c)?0

⑶图3.1.2(c),(d) 中,对于
?
a,b
?
中某些
x
有
f(x)
＜
f(a)
。根据最大最小值定理,
f(x)
在区间
?
a,b
?
中有最小值。
因为< br>f(a)?f(b)
，所以函数
f(x)
一定是在区间
?
a, b
?
中某一点
c
达到最小值。因
此
f(x)
在点< br>c
有极大值。由
f(x)
在点
c
可微的，根据费马定理可知< br>f
?
(c)?0
。
3.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明
证法一：构造函数
构造辅助函数
F (x)?f(x)?kx
.其中
k?
f(a)?f(b)
.
a?b
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道
F(x)
在闭区间
?
a,b
?
上是连续的，
在开区间
?
a,b
?
内是可 导的，并且还有
F(a)?F(b)
，所以我们可以根据罗尔定理
就可以得到函数F(x)
在开区间
?
a,b
?
内至少存在一点
?
，使得
F
?
(
?
)?f
?
(
?
)?k?0
?

f
?
(
?
)?k?
f(a)?f(b)
.
a?b
证法二：行列式法
构造辅助函数
F(x)
=
f(a )
a
1
f(b)
b
1
f(x)
x
1
，则
F(x)
=
f(a)
a
f(b)f(a)
-
ba
f(x)f(b)
+
xb
f(x)

x
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?bf(a)?af(b)?xf(a)?af(x)?xf(b)?bf(x)

?
?
a?b
?
f(x)?x
?
f(a)?f(b)
?
?
?
bf(a)?af(b)
?
由此可得
f(b)
b
1
F(x)
在闭
f
?
(b)
b
?
1
?
区间
?
a,b
?
f(b)
b
1上连续。
f
?
(a)
F
?
(x)?
a
?
1
?
f(a)
=
a
1
f(b)
b
1
f(x)f(a)
x
+
a
11
f(x)f(a)
x
+
a
11
f
?
(x)
x
?

1
?
f
?
(x)
f(b)
x
?
=
b
1
?
f
?
(x)f(a)
-
1a
f
?
(x)

1
=
f(b)?bf
?
( x)?f(a)?af
?
(x)
=
?
a?b
?
f< br>?
(x)?
?
f(a)?f(b)
?
。
由此可得
F(x)
在开区间
?
a,b
?
内可导。
f(a)f(b)
b
1
f(a)
a
1
f(a)?0
，
F(b)
=
a
1
f(b)
b
1
f(b)
b
=
0
可得
1
又由
F(a)
=
a
1
F(a)?F(b)?0
.
综上所述，可知
F(x)
满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点
?
?
?
a,b
?
使得
f
?
(
?
)?
?
a? b
?
f
?
(
?
)?
?
f(a)?f(b)
?
?0
故
F
?
(
?
)?
证法三：积分法
把需证之式变式
f(a)?f(b)

a?b
?
f(b)? f(a)
?
?
?
b?a
?
f
?
(
?
)?0
对应改写成
?
f(b)?f(a)
?
?
?
b?a
?
f
?
(
x)?0
(把
?
换成
x
)
证明上述方程在
?
a,b
?
内存在根，将上式左边对
x
积分，有
?
[
f(b)?f (a)?
?
b?a
?
f
?
(x)
]
dx< br>=
?
f(b)?f(a)
?
x?
?
b?a
?
f(x)?c
故取
F(x)?
?
f(b)?f(a)
?
x?
?
b?a
?
f(x)
，则
F(x)
在
?
a,b
?
上连续，在
?
a,b
?
内可导 且
F(a)?F(b)
=
af(b)?bf(a)
。由罗尔中值定理知，至 少存在一点
?
（
a
＜
?
＜
b
）
使
F
?
(x)?0
既
?
f(b)?f(a)
?
?
?
b?a
?
f
?
(
?
)
=< br>0

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3.3 柯西（Cauchy）中值定理的证明
证法一：构造函数
构造辅助函数
L(x) ?f(x)?kg(x)
其中
k?
f(b)?f(a)

g(b)? g(a)
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道
L(x)
在闭区间
?
a,b
?
上是连续的，
在开区间
?
a,b
?
内是可导的，并且还有
L(a)?L(b)
，所以我们可以根据罗尔定理
就可以得到 函数
L(x)
在开区间
?
a,b
?
内至少存在一点
?
，使得
L
?
(
?
)?f
?
(
?
)?kg
?
(
?
)?0
?

k?
f
?
(
?
)
f
?
(x)f(b)?f(a)
故证得
?
?
?
g(
?
)
g(x)g(b)?g (a)
证法二：行列式法
构造辅助函数
G(x)?
f(a)
g(a )
1
f(b)
g(b)
1
f(x)
g(x)
1 ，则
F(x)
=
f(a)
g(a)
f(b)f(a)
-
g(b)g(a)
f(x)f(b)
+
g(x)
g(b)
f(x)

f(x)
?g(b)f(a)?g(a)f(b)?g(x)f(a)?g (a)f(x)?g(x)f(b)?g(b)f(x)

?
?
g(a)?g (b)
?
f(x)?g(x)
?
f(a)?f(b)
?
?< br>?
g(b)f(a)?g(a)f(b)
?
由此可得
f(b)
g(b)
1
在闭区
f
?
(b)
g
?
(b)
1
?
间
?
a,b
?
上
f(b)
g (b)
1
连
f
?
(x)
g
?
(x)

1
?
续。
f
?
(a)
G
?
( x)
=
g
?
(a)
1
?
f(a)
=
g(a)
1
f(b)
g(b)
1
f(x)f(a)
g(x )
+
g(a)
11
f(x)f(a)
g(x)
+
g (a)
11
f
?
(x)
f(b)
g
?
(x )
=
g(b)
1
?
f
?
(x)f(a)
-
g
?
(x)g(a)
f
?
(x)

g?
(x)
?f(b)g
?
(x)?g(b)f
?
(x) ?f(a)g
?
(x)?g(a)f
?
(x)
?
?
g(a)?g(b)
?
f
?
(x)?
?
f(a)?f(b)
?
g
?
(x)
。
f(a)
由此可得在开区间?
a,b
?
内可导。由
G(a)
=
g(a)
1
7
f(b)
g(b)
1
f(a)
g(a)
=0

1

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f(a)
G(b)
=
g(a)
1
f(b)
g(b)
1
f(b)
g(b)
=
0
可得
G(a)?G(b)?0< br>.
1
综上所述，可知
G(x)
满足罗尔中值定理的条件，则至少存 在一点
?
?
?
a,b
?
使得
G
?(
?
)?
?
g(a)?g(b)
?
f
?
(
?
)?
?
f(a)?f(b)
?
g
?
(
?
)?0
故
证法三：积分法
f
?
(
?
)
f(b)?f(a)
=
?< br>g(
?
)
g(b)?g(a)
把需证之式变式
?
f( b)?f(a)
?
g
?
(
?
)?
?
g(b )?g(a)
?
f
?
(
?
)?0

对 应改写成
?
f(b)?f(a)
?
g
?
(x)?
?
g(b)?g(a)
?
f
?
(x)?0
(把
?< br>换成
x
)，证明上述方
程在
?
a,b
?
内存 在根，将上式左边对
x
积分，有
?
?
f(b)?f(a)
?
g
?
(x)?
?
g(b)?g(a)
?
f
?
(x)
dx

=
?
f(b)?f(a)
?
g(x)?
?
g(b)?g(a)
?
f(x)?c

故取
F(x)
=
?
f(b)?f(a)
?
g(x)?
?
g(b)?g(a)
?
f(x)
，则
F(x)
在
?
a,b
?
上连续，在
?
a,b
?
内可导且F(a)?F(b)?g(a)f(b)?g(b)f(a)
。由罗尔中值定理知，至少存在一点< br>?
（
a
＜
?
＜
b
）使
F
?
(x)?0
既
?
f(b)?f(a)
?
g
?(
?
)?
?
g(b)?g(a)
?
f
?
(
?
)?0
；
通过以上证明可知，“积分法”的关键步聚也是构造辅助函 数，其基础方法是：
⑴将需证之式整理，使等式右边为零，左边的
?
改写成
x
；⑵对等式左边关于
x
积
分；⑶对应积分值写成
F(x)
； 这种方法最大优点在于其规律性，不需要过多的
考虑步聚。而只需根据规律就可步步得出证明，已掌握和 运用。
4. 微分中值定理的几何解释
4.1罗日（Rolle）中值定理的几何解释
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点
高度相等，
则至少存在一条水平切线。（图4-1）
图4-1

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4.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的几何解释
在满足定理条件的曲线
y?f(x)
上至少存在一点
p
（
?
，
f(
?
)
）, 设曲线在该点处的切线平行于
曲线两端点的连线
AB
（图4-2）

图4-2
4.3 柯西（Cauchy）中值定理的几何解释
?
x?f( x)
在曲线
?
(其中
x
为参数，
a
＜
x< br>＜
b
)存在一点，
?
y?g(x)
使曲线过该点的切线平行 于过曲线两端点
A
?
f(a),g(a)
?
,
B
?
g(a),g(b)
?
的弦 （图4-3） 图4-3
综上所述，这三个中值定理归纳起来，用几何解释为：在区间
?
a,b?
上连续且除
端点外每一点都存在不垂直于
x
轴的切线的曲线，它们有个 共同的特征
y?f(x)
在曲线上至少存在一点，过该点的切线平行于曲线端点的连线。

5. 微分中值定理的应用
三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性，等式证明，不等 式证明，求近似值
等；以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用。
⑴罗尔中值定理的应用
n
?
且满足
a
0
?
例1：设
a
i
?
R
?
i?1,2,3......
a
1
a
2
a
??......?
n
?0
。证明：方程
23n?1
a
0
?a
1
x?a
2x
2
?......?a
n
x
n
?0
在
?
0,1
?
内至少有一个实根。
证：作辅助函数
F(x)?a
0
x?
F(1)?
a
0
?
a
12
a
2
3
a
x?x?......?
n
xn?1
则
F(0)?0
，
23n?1
a
1
a< br>2
a
??......?
n
?0
，
F(x)
在
?
0,1
?
上连续，在
?
0,1
?
内可 导，故满足
23n?1
罗尔中值定理条件。因此存在
?
?
?
0,1
?
，使
F
?
(
?
)?0
又
9

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文 < br>F
?
(x)?
a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?......?a
n
x
n
?0
由此 即知原方程在
?
0,1
?
内至少有一个实根。
例2：设函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续，在
?
a,b?
内可导，且
f(a)?f(b)?0
。试证：
在
?
a ,b
?
（
a
＞
0
）内至少存在一点ξ使
f
?
(
?
)?f(
?
)
；
证：选取辅助函数F(x)?
f(x)e
?x
，则
F(x)
在在
?
a,b
?
上连续，在
?
a,b
?
内可导，
F(a )?F(b)?0
。由Rolle定理知，至少存在一点
?
?
?
a, b
?
使
F
?
(
?
)?f
?
(?
)e
?
?
?f(
?
)e
?
?
?
?
f
?
(
?
)?f(
?
)
?
e
?
?
?0

?e
?
?
＞
0
即
f
?
(
?
)?f(
?
)?0

?
f
?
(
?
)?f(
?
)
。 < br>例
1
?
1
xsin
0?x?
?
3：试讨下列 函数
f(x)?
?
x

?
在指定区间内是否存在一< br>?
x?0
?
0
点ξ使
f
?
(
?)?0
；
解：
limf(x)?
limxsin
x?0
x?o
1
?
1
?
?0?f(0)
故
f(x)< br>在
?
0,
?
上连续，且
x
?
?
?< br>f
?
(x)?sin
1111
?
1
?
?1
?
?cos

x?
?
0,
?
，
f(0)?f()?0
从而f(x)
在
?
0,
?
上满足
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
罗尔定理的 条件，即
?
?
?
?
0,
?
使
f
?
(
?
)?0
；
?
?
?
⑵拉格朗日中值定理的应用
例1：设
f(x)为
?
a,b
?
上二阶可导函数，
f(a)?f(b)?0
，并存在
c?
?
a,b
?
使得
f
?
c
?
＞
0
，试证：至少存在一点
?
?
?
a, b
?
使得
f
??
?
?
?
＜
0；
证：由
f(x)
为
?
a,b
?
上二阶可导 函数，则
f(x)
在
?
a,b
?
，
?
c, d
?
上均二阶可导。由
Lagrange中值定理得
?
?
1
?
?
a,c
?
使得
f(
?
1
)?
f(
?
2
)?
f(c)?f(a)
＞
0
，
?
?
2
?
?
c,b
?
使得
c?a
f(b)?f(c)
＜
0
而
f
?
(x)
在
?
?
1
,
?
2
?
?
?
a ,b
?
，
b?c
同样推得
f
??
?
?< br>?
=
f
?
(
?
2
)?f
?
(
?
1
)
＜
0
；
?
2
?
?
1
10

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
例2：应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
b?abb?ax
⑴＜
ln
＜ 其中
0
＜
a
＜
b
⑵＜
ln
?
1?x
?
＜
x
其中
x
＞
0

baa1?x
证：⑴设
f(x)?lnx

x?
?
a,b
?
显然
f(x)
在
?< br>a,b
?
上满足拉格朗日中值定理条
件，且
f
?
(x )?
1
b?a
f(b)?f(a)1
故
?
?
?
?
a,b
?
使
?f
?
(
?
)?

?
f(b)?f(a) ?
x
?
b?a
?
?lnb?lna?
b?a
?
?
ln
b
b?a
11b?a
1
b?a
b?a
?
而＜＜ 故有＜＜
ababa
??
?
即
b?abb?a
＜
ln
＜；
baa
⑵设
f(x )?ln
?
1?x
?
，则
f(x)
在
?
0 ,x
?
上满足拉格朗日中值定理条件，
f
?
(
?
) ?
1ln
?
1?x
?
?ln
?
1?0
?< br>ln
?
1?x
?
??

?
?
?
0,x
?

1?
?
x?0 x
11ln
?
1?x
?
1
＜＜1
?
＜＜1
1?x
1?
?
1?x
x
又 因为1＜
1?
?
＜
1?x

?
?
x＜
ln
?
1?x
?
＜
x
；
1?x
例3：求
0.97
的近似值；
解：
0.97
是
f(x)?x
在
x?0.97
处的值，令
x
0
?1

x?x
0
??x?0.97
则
?x?x?x
0
?0.97?1??0.03

由Lagrang e中值定理，存在一点
?
?
?
0.97,1
?

f
?
(
?
)?
近似计算得
0.97
?1?
f(1)?f(0.97)
可取
?
?1

0.03
?x
?
?
?
?
?0.03
?
?1?
1< br>.?
?
?0.03
?
?0.985
；
2
⑶柯西中值定理的应用
例1：设
0
＜
?
＜?
＜
?
sin
?
?sin
?
?cot
?
； ，证明：存在
?
?
?
?
,
?
?使得
2
cos
?
?cos
?
证：设
f(x)? sinx

g(x)?cosx

x?
?
?
,
?
?
则
f(x),g(x)
在
?
a,b
?
上满足柯西中值
定理条件，故
??
?
?
?
,
?
?
使得
sin
?
?sin
?
f
?
(
?
)co
?
s
????co
?
t
即
?
co
?
s? co
?
sg(
?
)?sin
?
11

新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
sin< br>?
?sin
?
?cot
?
，
?
?
?
?
,
?
?
；
cos
?
?cos
?
例2：设函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续，在
?
a,b
?
上可导，试证：存在
?
?
?
a ,b
?
使得
f(b)?f(a)?
?
f
?
(
?
)ln
b
；
a
证：设
g(x)?lnx
显 然它在
?
a,b
?
上与
f(x)
一起满足柯西中值定理条件 ，所以存
在
?
?
?
a,b
?
使得
b
f(b)?f(a)f
?
(
?
)
?
整理后既得
f (b)?f(a)?
?
f
?
(
?
)ln
；
1
a
lnb?lna
?
例3：设
x
＞
0
对
0
＜
?
＜
1
的情况，求证
x
?
?
?
x?1?
?
；
证：当
x?1
时结论显然成立 ；当
x?1
时，取
?
x,1
?
或
?
1,x
?
，在该区间设
f(x)?x
?

F(x)?dx
由Cauchy定理得
f(x)?f(1)f
?
(
?
)
< br>?
?
?
x,1
?
或
?
?
?
1,x
?
即
?
F(x)?F(1)F
?
(
?)
x
?
?1
x
?
?1
??
?
?1
?
?1
?
?1
??
?
；当
x
＞
1
时，
?
?
?
x,1
?

?
＞1即＞
1

?
x?
?
?
x ?
??
又
?
x?
?
?
?
?
x?1
?
＜
0
故
x
?
?1
＞
?
x?
?
即
x
?
?1
＜
1?
?
； 当
x
＞
1
时
?
?
?
1,x
?，
?
?
?1
＜
1
即
?
x?
?
?
?
?
x?1
?
＞
0
故
x?
?1
＞
?
x?
?
即
x
?
? 1
＜
1?
?
；
例4：设
?
＞
e
，
0
＜
x
＜
y
＜
t
?
证明：< br>a
y
?a
x
＞
?
cosy?cosx
?a
x
lna
成立；
2
证：
令
f(t)?a

g(t)?cost
由题设条件可知，
f(t),g(t)
在
?
x,y
?
上满足 Cauchy
f(x)?f(y)f
?
(
?
)
a
y
?a
x
a
?
lna
定理的条件，于是有即
?< br>?
g(x)?g(y)g
?
(
?
)
cosy?cos xsin
?
（
0
＜
x
＜
?
＜
y< br>＜
?
） 故
2
1
＞
?
cosy?cosx
?
a
?
lna
＞
?
cosy?cosx
?
a
x
lna

sin
?
a
y
?a
x
＞
?
cosy?cosx
?
a
?
lna
即
a
y
?a
x
＞
?
cosy?cosx< br>?
a
x
lna

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新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
6.总结
本文的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学
科内容知识的学习， 并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊，
报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对 这些内容的理解，还通过多方面的
了解和研究，且在和老师及同学们一起探讨下，了解到微分中值定理的 内在联系，
也对微分中值定理深层进行了探讨，还对微分中值定理的应用做了归纳总结；
微分 中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心，有着
少泛的应用。本文主要是对微分中 值定理等式的证明，不等式的证明，方程根的
存在性以及求近似值等的应用。应用微分中值定理证明命题 的关键是构造辅助函
数，构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论。


























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新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系 编．数学分析上册[M] 北京：高等教育出版社 第三版，2001年
[2] 欧阳光中，朱学炎，复旦大学数学系．数学分析上册[M] 北京：高等教育出版社
第三版，2007年
[3] 芬尼（FINNEY）,韦尔（WEIR）,杰尔当诺（GIURDANO） 叶其孝，王耀东，唐克 译
托马斯微积分. 高等教育出版社 第十版，2003年
[4] James stewart .白峰杉 主译 . 微积分上册 高等教育出版社 第一版，2004年
[5] 刘章辉．微分中值定理及其应用[J] 山西大同大学学报（自然科学版），2007年
[6] 杨耕文. 用行列式法证明微分中值定理[J] 咯阳大学学报，2006年
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2006年
[8] 张则曾，周湘泉等. 微分中值定理的推广[J] 山东师大学报，1998年




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