隐函数的定理及其应用论文原稿

隐函数的定理及其应用
摘 要
：
本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.

关键词
：
隐函数 隐函数组 可微性 导数

引言 我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合
里的每一个 元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函
数,其表达式大多是自变 量的某个算式,如
y?x
2
?1,u?e
xyz
(sinxy?s inyz?sinzx)

这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形 式的函数,它的自变量与因
变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程

F(x,y)?0
, ①
确定
y
为
x
的函数
y?f(x)
,即
F( x,f(x))?0
,就称
y
是
x
的隐函数.
1.关于隐函数的一些定理
1.1 隐函数存在惟一性
若(1)函数
F< br>在以
P
0
(x
0
,y
0
)
为内点的 某一区域
D?R
0
上连续；
(2)
F(x
0
,y
0
)?0
(通常称为初始条件)；
(3)在
D
内存在连续的偏导数
F
y
(x,y)
；
(4)
F
y
(x
0
,y
0
)?0
,
则在点
P
0
的某邻域
U(P
0
)?D
内,方程
F(x,y)?0
惟一地确定了一个定义在某区间
(x
0
?
?
,x
0
?
?
)
内的函数(隐函数)
y? f(x)
,使得
(1)
f(x
0
)?y
0
,< br>x?
(x
0
?
?
,x
0
?
?
)
时
(x,f(x))
?
U(P
0
)
且
F(x,f(x))?0
；
(2)
f(x)
在
(x
0< br>?
?
,x
0
?
?
)
内连续.
需要 注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程
y?x?0
在点
(0,0)
不满足条件

1
33

(4)(
F
y(0,0)?0
),但它仍能确定惟一的连续函数
y?x
.当然,由于条件(4) 不满足,往往会导致
定理结论的失效.
事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在
P
0
的某一邻域,在此邻域内
F
关于变量
y
是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：
F
在
P
0< br>的某邻域内关于
y
严格单调.
采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应 用中便于检验.
如果把定理的条件(3)和(4)改为
F
x
(x,y)连续,且
F
x
(x
0
,y
0
)?0
, 这时结论是存在惟一的连
续函数
x?g(y)
.
1.2 隐函数的可微性定理
设
F(x,y)
满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-( 4),又设在
D
内还存在连续的偏导数
F
x
(x,y)
,则 由方程①所确定的隐函数
y?f(x)
在其定义域
(x
0
?
?
,x
0
?
?
)
内有连续导函数,且

f(x)??
'
F
x
(x,y)
. ②
F
y
(x,y)
若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程① 应用复合求导法得到隐函数的导数,
因为把
F(x,f(x))
看作
F(x, y)
与
y?f(x)
的复合函数时,有
F
x
(x,y)? F
y
(x,y)y
'
?0

当
F
y
(x,y)?0
时,由它即可推得与②相同的结果.
对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数
F
存在相应的连< br>续的高阶偏导数.
我们可以类似的推出由方程
F(x
1
,x
2
,?,x
n
,y)?0
所确定的
n
元隐函数的概念.
1.3
n
元隐函数的惟一存在与连续可微性定理
0000
若(1) 函数
F(x
1
,x
2
,?,x
n
,y)
在以点
P
0
(x
1
,x
2
,?,x
n
,y)
为内点的区域
D?R
n?1
上 连
续；
0000
(2)
F(x
1
,x
2
,?,x
n
,y)?0
；
(3) 偏导数
F
x
1
,F
x
2
,?F< br>x
n
,F
y
在
D
内存在且连续；
(4)
F
y
(x
1
,x
2
,?,x
n
, y)?0
,

2
0000

则在点
P0
的某邻域
U(P
0
)?D
内,方程
F(x
1
,x
2
,?,x
n
,y)?0
惟一地确定了一个定义在Q
0
(x
1
0
,x
2
0
,?,xn
0
)
的某邻域
U(Q
0
)?R
n
内 的
n
元连续函数(隐函数)
y?f(x
1
,x
2
, ?,x
n
)
,使
得
(1) 当
(x
1
, x
2
,?,x
n
)?U(Q
0
)
时,
(x
1
,x
2
,?,x
n
,f(x
1
,x2
,?,x
n
))?U(P
0
)
,且
F(x
1
,x
2
,?,x
n
,f(x
1
,x
2
,?,x
n
))?0
,
y
0
? f(x
1
0
,x
2
0
,?,x
n
0
)
.
(2)
y?f(x
1
,x
2
,?,x< br>n
)
在
U(Q
0
)
内有连续偏导数：
fx
1
,f
x
2
,?f
x
n
,而且

f
x
1
??
例1 设方程
F
x
1
F
y
,f
x
2
??
F
x
2< br>F
y
,?,f
x
n
??
F
x
nF
y
.
1
F(x,y)?y?x?siny?0
③
2
1
由于
F
及
F
x
,F
y< br>在平面上任一点都连续,且
F(0,0)?0
,
F
y
(x,y )?1?cosy?0
,故依上述定
2
理,方程③确定了一个连续可导隐函数
y?f(x)
,按公式②,其导数为
f
'
(x)??
F
x
(x,y)
12
.
??
F
y
(x,y)
1?
1
cosy
2? cosy
2
上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组. < br>设
F(x,y,u,v)
和
G(x,y,u,v)
为定义在区域
V?R
4
上的两个四元函数.若存在平面区域
D
,对于
D
中每一点分别有区间
J
和
K
上惟一的一对值
u?J,v?K
,它们与
x,y
一起满足方
程组

?
2
?
F(x,y,u,v)?0
④
G(x,y,u,v)?0
?
则说方程组④确定了两个定义在
D?R
上,值域分别落在
J
和
K
内的函数.我们称这两个函数
为由方程组④ 所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为
u?f(x,y)
,
v?g(x,y),则在
D
上成
立恒等式
y?y(u,x)
,
v?v(u ,x)
.
为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数
F
和
G
是可微的,

3

而且由④所确定的 两个隐函数
u
与
v
也是可微的.那么通过对方程组④关于
x,y分别求偏导数,得
到
?
F
x
?F
u
u
x
?F
v
v
x
?0

?
⑤
G?Gu?Gv?0
uxvx
?
x
?
?
Fy
?F
u
u
y
?F
v
v
y
? 0

?
⑥
G?Gu?Gv?0< br>?
uyvy
?
y
要想从⑤解出
u
x
与
v
x
,从⑥解出
u
y
与
v
y
,充分条件 是它们的系数行列式不为零,即

F
u
F
v
G
u
G
v
?0
⑦
⑦式左边的行列式称为函数
F
和
G
关于变量
u
,
v
的函数行列式(或雅可比Jacobi行列式),
亦可记作
?(F,G)
.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当.
?(u,v)
1.4 隐函数组定理

若(1)
V
和G(x,y,u,v)
在以点
U(Q
0
)
为内点的区域
V?R
4
内连续；
(2)
F(x
0
,y
0
,u
0
,v
0
)?0
,
G(x
0,y
0
,u
0
,v
0
)?0
(初始条件)；
(3) 在
V
内
F
,
G
具有一阶连续偏导数；
(4)

?(F,G)
?(u,v)
?0
在
P
0
点不等于零,
P
0
则在点
P
0
的某一(四维空间 )邻域
U(P
0
)?V
内,方程组④惟一确定了定义在点
Q
0
(x
0
,y
0
)
的某一
(二维空间)邻域
U(Q
0
)
内的两个二元隐函数
u
0
?f(x
0
,y
0
)
,
v
0
?g(x
0
,y
0
)
,使得
(1)
u
0
?f(x
0< br>,y
0
);v
0
?g(x
0
,y
0
)
且当
?
x,y
?
?U(Q
0
)
时
(x,y,f(x,y),g(x,y))?U(P
0
)
,
F(x ,y,f(x,y),g(x,y))?0
G(x,y,f(x,y),g(x,y))?0
( 2)
f(x,y),g(x,y)
在
U(Q
0
)
内连续；
(3)
f(x,y),g(x,y)
在
U(Q
0
)
内有一阶连续偏导数,且


4

?v1?(F,G)?v1?(F,G)
,,
????
?x J?(x,v)?xJ?(u,x)
?v1?(F,G)?v1?(F,G)
,.
? ???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为< br>?(F,G)
?0
,则方程组④所确定的隐函数组相
?(u,v)
P< br>0
应是
y?y(u,x),v?v(u,x)
；其他情形均可类似推得.总之, 当我们遇到由方程组定义隐函数组及
隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是 因变量,然后再进行有关讨论
和运算.
2. 隐函数在几何方面的应用
2.1 平面曲线的切线与法线


设平面曲线由方程①给出,它在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在< br>P
0
附
近所确定的连续可微隐函数
y?f(x)
或(
x?g(y)
)和方程①在
P
0
附近表示同一曲线,从而该曲
线在点
P
0
处存在切线和法线,其方程分别为
y?y
0
?f'
(x
0
)(x?x
0
)
(或
x?x
0
?g
'
(y
0
)(y?y
0
)
)
与
y?y
0
??
11
(或
(x? x)x?x??(y?y
0
)
)
00
f
'
(x< br>0
)g
'
(y
0
)
F
y
F
x
'
由于
f??
(或
g??
),所以曲线①在点
P
0
处的切线和法线方程分别为
F
y
F
x
'
切线：
F
x(x
0
,y
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
)(y?y
0
)?0
, ⑧
法线：
F
y
(x
0
,y
0
)(x?x
0
)?F
x
(x
0
,y
0
) (y?y
0
)?0
. ⑨
例2 求笛卡儿叶形线
2(x?y)?9xy?0
在点
(2,1)
处的切线与法线.
33
2
解 设
F(x,y)?2(x?y)?9xy
,于是
F
x
?6x?9y
,
F
y
?6y?9x
在全平面连 续,且
33
2
F
x
(2,1)?15?0
,
Fy
(2,1)??12?0
.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点
(2,1)处的切线与法
线方程分别为
15(x?2)?12(y?1)?0
即
5x?4y?6?0
,

5

?12(x?2)?15(y?1)?0
即
4x?5y?13?0
.
2.2 空间曲线的切线与法平面

下面我们讨论由参数方程

L
：
x?x(t),y?y(t),z?z(t),
?
?t?
?
⑴
)
的切线和法平面方程,其中表示的 空间曲线
L
上的某一点
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
处
x
0
?x(t
0
)
,< br>y
0
?(t
0
)
,
z
0
?(t0
)
,
?
?t
0
?
?
,并假定⑴式中 的三个函数在
t
0
处可导,且
[x
'
(t
0)]
2
?[y
'
(t
0
)]
2
?[z
'
(t
0
)]
2
?0
.
则曲线
L
在
P
0
处的切线方程为

x?x
0
y?y
0
z?z
0
. ⑵
?
'
?
''
x(t
0
)y(t
0)z(t
0
)
由此可见当
x
'
(t
0
)
,
y
'
(t
0
)
,
z
'
(t
0
)
不全为零时,它们是该切线的方向数.
过点
P
0
可以作无数条直线与切线
l
垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L
在
P
0
处的法平面
n
.它通过点
P
0
,且以为它的法线,所以法平面
n
的方程为
x
'
(t< br>0
)(x?x
0
)?y
'
(t
0
)(y?y
0
)?z
'
(t
0
)(z?z
0
)?0< br>
当空间曲线方程
L
由方程组

L
：
?
?
F(x,y,z)?0
⑶
G(x,y,z)?0
?
给出时,若它在点
P
0
(x< br>0
,y
0
,z
0
)
的某邻域内满足隐函数定理条件( 这里不妨设条件(4)是
?(F,G)
?(u,v)
?0
),则方程组⑴在点
P
0
附近所能确定惟一连续可微的隐函数组
x?
?
(z)< br>,
y?
?
(z)
,
P
0
使得
x0
?
?
(z
0
),y
0
?
?
(z
0
)
,且
?(F,G)?(F,G)
dx
?(z,y )
dy
?(x,z)
,.
????
?(F,G)?(F,G)dzdz
?(x,y)?(x,y)
L
在
P
0
附近的参 数方程为

6

x?
?
(z),y?
?
(z),z?z

那么由⑵式曲线在
P
0
处的切线方程为
x?x
0
y?y
0
z?z
0

??
dxdy
1
dz
P
0
dz
P
0
即
x?x
0
y?y
0
z?z
0
??
. ?(F,G)?(F,G)?(F,G)
?(y,z)
P
0
?(z,x)
P
0
?(x,y)
P
0
曲线在
P
0
处的法平面方程为
?(F,G)?(F,G)?(F,G)
(x?x
0
) ?(y?y
0
)?
?(y,z)
P
0
?(z,x)
P
0
?(x,y)
同理我们可以推得：当
(z?z
0
)?0

P
0
?(F,G)?(F,G)
或在
P
0
处不等于零时,曲线在点
P
0
处的切线与法
?(y,z)?(z,x)?(F,G)?(F,G)
,
?(y,z)
P
0
?(z,x)< br>,
P
0
平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当
?(F,G)
?(x,y)
不全为零时,它们是
P
0
空间曲线⑶在
P
0
处的切线的方向数.
例3 求平面
x?y?z?50
与锥面
x?y ?z
所截出的曲线在点
(3,4,5)
处的切线与法
平面方程.
解 设
F(x,y,z)?x?y?z?50
,
222
222222
G(x,y,z)?x
2
?y
2
?z
2
.
它们在点
(3,4,5)
处的偏导数和雅可比行列式之值为：
?F
?F?F
?8
,
?6
,
?10
, < br>?y
?x?z
?G
?G
?G
?8
,
?6,
??10

?y
?x
?z

?(F,G) ?(F,G)?(F,G)
??160
,
?120
,
?0
.
?(y,z)?(z,x)?(x,y)

7

所以曲线在点
(3,4,5)
处的切线方程是：
x?3y?4z?5
,即
??
?1601200
?
3(x?3)?4(y?4)?0
. ?
z?5
?
法平面方程为
?4(x?3)?3(y?4)?0(z?5) ?0
,即
4x?3y?0
.
2.3曲面的切平面和法线
设曲面由方程

F(x,y,z)?0
⑷
给出,它在点
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设
F
z
(x0
,y
0
,z
0
)?0
).于是方程⑷
在点< br>P
0
附近确定惟一连续可微的隐函数
z?f(x,y)
使得
z
0
?f(x
0
,y
0
)
,且
F
y
(x,y,z)
F
x
(x,y,z)
?z
?z
? ?
,.
??
F
z
(x,y,z)
?xF
z
(x,y,z)
?y
由于在点
P
0
附近⑷与
z?f(x, y)
表示同一曲面,该曲面在
P
0
处有切平面与法线,分别是
F< br>y
(x
0
,y
0
,z
0
)
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)
z?z
0
??(x?x
0
)?(y?y
0
)

F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
与
x?x
0
y?y
0
z?z
0
??
. F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)
?1
?
?
F
z
(x
0
,y
0
,z
0< br>)
F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
它们也可写成如下形式：
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0

与
x?x
0
y?y
0
z?z
0
??
. F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
这种形式对于
F< br>x
(x
0
,y
0
,z
0
)?0
或< br>F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)?0< br>也同样合适.
例4 求椭球面
x?2y?3z?6
在
?
1, 1,1
?
处的切平面方程与法线方程.
222
222
解 设
F(x,y,z)?x?2y?3z?6
.由于
F
x
?2x
,F
y
?4y
,
F
z
?6z
在全空间上处处连< br>续.在
?
1,1,1
?
处
F
x
?2
,
F
y
?4
,
F
z
?6
.因此由上面的公 式可得出切平面方程
2(x?1)?4(y?1)?6(z?1)?0
,

8

即
x?2y?3z?6

和法线方程
x?1y?1z?1
.
??
123

结语
从初 中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的
都是很明显的函数 ,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究
的隐函数.
历 史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可
以说是作用非 凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的
应用.当然隐函数在其 它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.

参考文献
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