论文 对指数函数的认识

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训
练



对指数函数的认识




系 （部）： 信息与计算科学
专 业： 数学与应用数学
学 号： 2009031107
学生姓名： 谢明中
成 绩：








2012 年６ 月

对指数函数的认识
谢明中
长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022
摘要：本文分析了指数函数的一些特征，以及复变函数中指数函数的性质．讨论
了由指数函数导出的常数 的若干求法，探讨了指数函数的数值计算方法，并进
行了误差分析．求得通过 取有限项的近似计算的方法，达到要求精度所需的项数
或相应取值的大小．
关键词：指数函数，数值计算，近似计算

1 引言
指数函数有与其它函数不同的性质，尤其在复变函数中有着独特的性质．而
常数 与指数函数有 着很深的联系．本文简要给出了指数函数的一些性质，并重
点分析了数值计算中，指数函数的计算，以及 常数 的计算．

2文献综述
文献[1]研究了幂指数函数导数关系．文献[2] 是复变函数教材，包含了复变
函数的指数部分一些重要性质的证明．文献[3]详细给出了利用极限、利 用级数
和通过积分计算自然常数e的值的方法，并作出了误差分析．文献[4]主要介绍
了在二 进制的计算机运算系统中，针对指数函数的重要性质，提供了计算

函数
的方法．

3指数函数的基本性质
指数函数是初等函数中比较重要的函数，其一般形式为





，其中又
以底为常数 的函数最为特殊，其中常数 ．
定义1 形如





的函数称为指数函数，其中 、 ．

对于 ，




，若变换为






可以发现，由于




符号
不定，因此 , ，使得当






,有







若

， ，则 .因此指数函数





只有在 且 时
有意义．
指数有如下几个性质
性质1





．
性质2







．
若



为指数函数，则其反函数




为对数函数，记作






．中，
当 时，可以写成




．通过取对数的方法，可以对一般的指数函
数进行讨论．
定理1
[1]
对于任意





，可以表示成





的形式．
证明 因为





可以表示成





．
由于

．
因此





．
令 ，则





．
由此可以看出，一般的指数函数都可以通过





进行变换得到．只需
将横坐标进行拉伸(或压缩)到 倍．
已知常数 为底的指数函数，其导数等于本身，即






．显然，其导
数也是指数函数．现讨论一般函数的导数与





有什么关系．
定理2
[1]
对任意





，有






．
证明 因为





可以表示成





．
由导数性质知道















．

将 回代即可得到






．
由此可以知道，指数函数的基本形式为





．
定理3 指数函数





可以表示成







．




显然，将



求导以后得到







．

4 复变函数中的指数函数
指数函数自变量为复数时，不妨表示成





．自变量为复数时，指数函
数有如下性质：

性质3
[2]
令





，则



．
性质4
[2]
令 ，





，由性质1和性质3可以知道，













．
由定理3可以得到





可以变成和函数的形式：










．

因为

，所以

















．


与性质3的形式相同．
由定理1知道，





可以表示成





，因此在自变量取复数域中
的值时，





可以表示成





. 令 ，则可以将



表示成形
式








．

5 常数 通过指数函数导出的计算方法
在利用计算机进行数值计算时，指数函数运用非常广泛．而底为常数 的指
数函数更为普遍，因此有必要对常数 进行讨论. 前一节已经介绍，常数
.实际上常数 是无理数，显然不可能通过人工的方法指定到每一
位．

方法5.1
[3]
公式求解法
可以由下式得到



．


[3]
方法5.2 指数函数导出法
实际上， 还可以通过指数函数导出．不妨令 ，求得





的解．由
和函数可以得到








．

方法5.3
[3]
积分求解法
另外，对于常微分方程

．

其通解为

，因此令 ，通过积分得到

．利用计算机进行数值计
算时，很多时候利用求和代替积分，用 代替 ． 取一个值比较小的 ，
每一次循环都有

．由于

．

因此



．
由于

，
可以求得



．
由



可以求得







































．
其中





．
现要求精度达到




，即相对误差小于

．用计算机循环搜索，取
项数为 ，每一次进行误差判断，若超过允许范围，则 ，继续循环．于第三
种方法，取初始 ，进行误差判断，若超过允许范围，则将循环的步长缩短到一
半，即

, 继续循环．
计算方法：
(1)公式



．


(2)由函数导出








．

(3)由积分式导出







．
由于常数 是无理数，不可能准确给出，因此在上述误差分析过程中误差分
析可以进行改进．假设对于 ，





，则可以用

近似替代真实
值 ．而进行误差分析时，只需要对

与

进行分析，即用






作 为绝
对误差的近似值进行分析．但是需注意，这种方法求出的误差近似值是不准确的，
下面给出 了证明过程．
证明
(1)对于取极限的方法，可以参考函数



单调性，其中







．

对其求导,由于是复合函数，难以直接求导，不妨变成二元函数求全微分

．

．
其中





．



．

因此







．

显然有


．

而对于

．

令



．

则可以将上式通过换元变为



．
令
?








?



．
当 时
?



递增

?





因此对于 都有




．
接下来分析函数



的凹凸性，已知




．

只需求二阶导数.由于解析解的复杂性，不妨利用数值解．
















．

同时，由于误差项分析是取 ，因此可以将导数变为





．

此时










．













．

此时函数是下凸函数，对于

和

，绝对误差 ，有






．
因此用






作为误差近似值，实际误差会偏大．

(2)第 步得到值

，现计算得

，绝对误差 等于余项




．


．

而







而






．
因此用






作为误差近似值，实际误差会偏大．

(3)对于用求和代替积分而言，取 趋向于 ，则误差越小．因为对于

有


．
因此很显然， 是下凸函数，所以






．
因此用






作为误差近似值，实际误差会偏大．

由于无法精确获得常数 的真实值，因此这三种方法的误差检测方法虽然都
不能控制真实误差， 但是作为精度的下限是可以的，实际计算中，可以将此方法
计算时精度要求进一步提高．
用计算机计算后得到，方法(1)取 时可以达到精度要求，计算得
．方法(2)取 时可以达到精度要求，计算得 ．方
法(3)取

即可满足精度要求，计算得 ．
综合而言，方法(2)是比较优的计算方法．

6指数函数数值解的计算方法 相对于其它初等函数，指数函数的值更难求，因此利用计算机求解的过程实
际也是有误差存在的．若 不采取好的方法，则计算量大，甚至难以求出结果．

方法6.1
[4]
利用和函数求解．

第一节已经介绍过，指数的和函数形式，因此求指数函数的数值解， 不妨利
用和函数来求解，即







．



实际计算中取有限项，达到精度目标即可．

方法6.2
[4]
指数分数化求解．
若直接求解





，则指数 可能会导致计算困难，因此考虑将 变成分
数 的形式．由于 可以变成很多种 分数形式，因此必须要保证最终形式是最
优．因此在进行分数化的过程中遵循以下几个原则．
原则1 分母满足

．
由于自变量分数化以后，必须先进行乘方， 然后进行开方运算．计算机对数
据的开方仅有平方根这个指令和相应函数，因此分母必须要能最大程度适 应开平
方．故取

．
原则2 分子 与分母 的取值满足相对误差最小．
在自变量分数化的过程中，先确定分母的值，然后得出最接近的两个分子的
值

、

满足

,

．其中

、

为整数， 为相应真实值．对分母取不
同值时的

、

，计算其与相应真实值的相对误差，取最小的分子与分母．
其具体算法为：
算法 (1)从 开始，确定分子、分母的值 、 ．
(2)检测分式与真值的相对误差，若超过范围，则

．
(3)将函数乘方．
(4)对函数进行开平方运算．

同样对精度要求为




，即相对误差小于

．前者最终进行误差检
测，后者在自变量分数化的过程中进行误差检测．
取 ，现已知



．经计算，方法(1)求得 ，最终
结果为



, 相对误差

．而方法(2)将自变量分母化
以后结果为

，计算结果



，相对误差


．显然方法(1)利用和函数进行计算更好． < br>同时由于计算机的精度问题，方法(2)极易溢出，未必可行．并且方法(2)
步骤多，每一步都 存在迭代误差，因此相比起第(1)种方法并不可取．

7参考文献
[1] 李蕊，新“解”幂指函数的导数[J]信息科技，2009.(10)．
[2] 钟玉泉，复变函数论［M］．高等教育出版社，2003．
[3] 李鑫，王璐，林金花，韩冬，谷德 山，4中计算自然常数e的方法及精度比
较[J]东北师大学报，2010.42(4)．
[4] 王超，张玉明，单片机上一种新颖实用的ex函数计算方法[J]计算机测量与
控制， 2002.10(4)．

8附录
部分数值计算代码

n=1;

s1=0;

cntnu=1;

while cntnu==1

s0=s1;

s1=(1+1n)^n;

delt=abs(s0-s1)s1;

if delt<10^-4

cntnu=0;

else

n=n+1;

end

end

fprintf('方法1nn=%dne=%dn',n,s1);


n=1;

s1=0;

cntnu=1;

while cntnu==1

s0=s1;

k=1;

for a=1:n

k=ka;

end

s1=s1+k;

delt=abs(s0-s1)s1;

if delt<10^-4

cntnu=0;

else

n=n+1;

end

end

fprintf('方法2nn=%dne=%dn',n,s1+1);


dx=1;

s1=0;

cntnu=1;

while cntnu==1

s0=s1;

n=floor(1dx);

s1=(1+dx)^n;

delt=abs(s0-s1)s1;

if delt<10^-4

cntnu=0;

else

dx=dx2;

end

end

fprintf('方法3ndx=%dne=%dn',dx,s1);



n=1;

x=0.8;

real=exp(x);

s=1;

cntnu=1;

while cntnu==1

k=1;

for a=1:n

k=ka;

end

s=s+(x^n)*k;

delt=abs(s-real)real;

if delt<10^-4

cntnu=0;

else

n=n+1;

end

end

fprintf('n=%dnf(0.8)=%dn',n,s);

delt=abs(s-real)real



n=1;

x=0.8;

real=exp(x);

e=exp(1);

a=0;

n=0;

b=1;

while abs(ab-x)x>10^-4

b=2^n;

a1=floor(x*b);

a2=-floor(-x*b);

d1=abs(a1b-x)x;

d2=abs(a2b-x)x;

if d1
a=a1;

else

a=a2;

end

n=n+1;

end

s=e^(ab);

fprintf('n=%dnf(0.8)=%dn',n,s);

delt=abs(s-real)real