高中数学说题论文1

x
2
y
2
题目： 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c，0)
，
ab
?
3
?
都在椭圆上，其中e为 椭圆的离心率．
e)
和
?
e，
F
2
(c，0)< br>．已知
(1，
?
??
2
??
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF
1
与直线
BF
2
平行，
y
A
P
B
F
1

O
F
2

x
AF
2
与
BF
1
交于点P．
6
（i）若
AF
1
?BF
2
?
，求直线
AF
1
的斜率；（ii）求证：
PF
1
?PF
2
是定值．
2

1．说题意
（第19题）
条件：①椭圆过已知点，且已知点与离心率有关；②焦点在x轴上的标准形式；
结论：求椭圆方程及焦半径的斜率以及与椭圆有关的定值问题；
涉及的知识点：①椭圆的标准 方程；②椭圆的简单几何性质；③椭圆的定义；④两
点间的距离公式；⑤直线方程.

2．说题目出处
本题出自2012年高考数学江苏卷第19题
3．说解法
在对第(1)小题做出解答，并总结了规律后，说题者重点对第(2)小题的解法 进行了详细
分析.具体如下：
c
1c
2
2
（1）由题设知
a?b?c
，
e?
，由点
?
1,e
?
在椭 圆上，得
2
?
22
?1,
解得
b?1
，
a
aab
222
?
3
?
e
2
3a
2
?13
2
??1,
于是
c?a?1
，又点
?e,
在椭圆上，所以
2
?
2
?1
，即解得
a? 2

?
4
?
2
?
a4ba4
??
22
x
2
2
?y
2
?1
， 因此，
e?< br>，所求椭圆的方程是
2
2

总结规律：求解椭圆方程一般采用待定 系数法，只要求出
a,b
就可以了，在求解过程中，注
意隐含条件
a?b?c
。
经探究发现第二小题有以下四种解法：

（2）法一：由(1)知F,0),F
2
(1,0),
又直线
AF
1
与
BF
2
平行,所以可设直线
AF
1
的方程为
1
(? 1
222
x?1?my,
直线
BF
2
的方程为
x? 1?my,
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),y
1
?0,y
2
?0
；
?
x
1
2
2
m?2m
2
?2
?
?y
1
?1
22
由
?
2
得
(m?2)y
1
?2my
1
?1?0
，解得
y
1
?

2
m?2
?
x?1?my
?
11
2(m
2
?1)?mm
2
?1
故
AF
1
?(x
1< br>?1)?(y
1
?0)?(my
1
)?y?
①
2
m?2
2222
1
2(m
2
?1)?mm
2?1
同理：
BF
2
?
②
m
2
?2
2mm
2
?16
2
m?2< br>，（ⅰ）由①②得
AF
1
?BF
2
?
，解得
?
2
m?22
A,B
点在
x
轴上方
?
m? 0
，故
m?2
；
所以直线
AF
1
的斜 率为
（ⅱ）因为直线
AF
1
BF
2
，
12
?
。
m2
?
PB?PF
1
BF
2
?AF
1
AF
1
PB
BF
2
?,于是?,故PF
1
?BF
1
，
PF
1
AF
1
PF
1
AF
1
AF
1
?BF
2
AF
1
22?BF
2
；
AF
1
?BF
2
由
B
点在椭圆上知
BF
1
?
1
?BF
2?22
，从而
PF
??
同理
PF
2
?
因此：
BF
2
22?AF
1

AF
1
?B F
2
??
PF
1
?PF
2
?
AF
1
BF
2
2AF
1
?BF
2
22?BF
2
?22?AF
1
?22?
，
AF
1
?BF
2
AF
1
?BF
2
AF
1
?BF
2????

又由①②知
AF
1
?BF
2
?
22
?
m
2
?1
?
m
2
?2m
2
?1
，
AF
1
?BF
2
?
2

m?2
所以
PF
1
?PF
2
?22 ?
232
；因此
PF
?
1
?PF
2
是定值 。
22
法二：(ⅰ)设
AF
1
的直线方程为：
y?k(x ?1)
，与椭圆方程联列消去
y
得：
1?2k
2
?2
；
(1?2k)(x?1)?2(x?1)?1? 0
，解得：
x
A
?1?
2
2k?1
22
? 1?2k
2
?2
同理设
BF
2
的直线方程为：
y? k(x?1)
与椭圆方程联列解得：；
x
B
?1?
2k
2
?1
2k
2
?16
?AF
1
?BF
2??
2k
2
?12
1
12k
4
?4k
2
?5?0,?k
2
?,
2
（
，
A,B点在轴上方 k?0,?k?
ⅱ）
2

2
设
AF
1
tt 11
?t,则PF
1
?BF?(22?BF),PF
1
?AF?(2 2?AF)
；
BF
2
t?1t?1t?1t?1
2AF
1
?PF
1
?PF
2
?22?;
t?1
2
x
A
?1
1?2k
2
?2
AF
1
BF
2
?t??,

2
x
B
?1
?1?2k?21?2k
2
?2
；
AF
1
?k?1
2
2k?1
2
1?2k
2
?2
2k?1
2
2k?1
?22?
2
?
32
为定值。
?PF
1
? PF
2
?22?
22
22k
2
?2
2
?1 ?2k
2
?2
解法三：(ⅰ) 由（1）知
F,0),F
2
(1,0)
，
a?
1
(?1
2,b?1,e?
2
， 设
2
A
?
x,
?

y
?
,
?
B
2
x
1
,y
12
则
AF
1
?a?ex
1
,BF
2
?a?ex
2
，