食饵——捕食者数学模型论文 精品

食饵——捕食者数学模型论文
食饵——捕食者数学模型


摘要
：
在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式 。种
群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为

了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据

它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模

型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察

猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性

关键词
：
自滞作用 数值解matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性

食饵——捕食者数学模型论文









一、 问题重述

自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富< br>的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为了分析他们
之间数量的变化关 系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实
际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论 分析的正确性，并用matlab软件画
出图形。



二，问题背景

一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时 捕捞），但是
其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题


三，问题分析
首先，在复杂的自然 界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵（食用
鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们 是呈J形增长的。现实情况中，由
于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件 matlab
求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，
验 证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。


四、基本假设
1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响
2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡
3，假设食饵 和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各
种措施一直维持这以结构
4，假设捕食者离开食饵无法生存
5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝


五，符号说明

食饵——捕食者数学模型论文

X（t）：食饵（食用鱼）在时刻t的数量
Y（t）：捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量
r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）
r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）
N1：食饵的最大容量
N2：捕食者的最大容量
?
1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为 单位甲（相对于N1）
消耗的供养甲食物量
?
1倍
?
2：单位数量 甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）
消耗的供养甲食物量
?
2倍
d：捕食者离开时独立存在的死亡率




六，模型建立
食饵（甲）数量x（t），捕食者（乙）数量y（t）
甲独立生存的增长率r
x
=rx
乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比
x
（t）=（r-ay）x=rx-axy （1）
.
.
a~捕食者掠取食饵的能力
乙独立生存的死亡率d
y
=-dy
甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比
y
（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy （2）
.
.
b~食饵供养捕食者的能力
方程（1），（2）无解析

6.1模型建立
我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型
x
1（t）=r1x1（1-
.
.
x1x2
?
-1） (3)
N2
N1
x1x2
-
) (4)
N1
N2
x
2(t)=r2x2(-1+
?
2
6.2 模型求解
利 用数学软件matlab分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。记食饵和捕

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食者的初始数量为
X（0）=x0 y（0）=y0求数值解
x
（t），
y
（t）及相轨线y（x），设r=1，d=0.5，
a =0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下：
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];
function xdot=shier(t,x)

ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,s],
plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),
pause,
plot(x(:,1),x(:2)),grid,

可得数值解
x
（t），
y
（t）及相轨线y（x
）

.
.
.
.

数值解
x
（t），
y
（t）的图形
.
.

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相
轨线y（x）的图形
根据图形和数值结果可以猜测，x（t），y（t）是周期函 数，相应的y（x）是封
闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3 和2.0，y
的最大值最小值分别为28.4和2.0.并且用数值积分容易算出x（t），y（t）在 一
个周期的平均值为
x
=25，
y
=10。
七、模型分析、评价及改进
7.1 平衡点及稳定性分析
首先求得（3），（4）方程的两个平衡点为
P（d|b，r|a），p’（0，0） （5）


对于p’，q﹤0，p’不稳定；

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对于p，p=0，q﹥0，
处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程，所以
用相轨线分析解决
7.2
用相轨线分析的稳定性



消去dt得



取指数，
c由初始条件确定
为了从理论上验证y（x）是封闭曲线，记



↓ ↓
f（x） g（y）
可以用软件画出它们的图形，将它们的极值点记为，，极大值记为
，则

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时，无相轨线，以下设
相轨线f（x）g（y）=c




→x=
C﹤
存在
考察

存在
→Q3（x，y1）Q4（x，y2），x是
内任意点，所以相轨线是封闭曲线。

，设
,y=→相轨线退化为p点，p—中心
令→
使f（x1）=f（x2）→ Q1(X1,y0),Q2(X2,y0)
7.3，x（t）y（t）在一周期内的平均值
相轨线是封闭曲线，所以x（t）y（t）是周期函数，周期为T，
求x（t），y（t）在乙周期内的平均值
x
，
y
。

.
1
y
y
（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy→x（t）=（+d）
b
y
.
x
=
1
T
=
d

b

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y
（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy
.
r
y
=
a
轨线中心:

所以

x
=
y
=即x（t）y（t）的平均值正式相轨线中心p点的坐标。
7.4、模型的缺点与改进
1、多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡，而是趋向某个平衡状态即存在稳
定平衡点
Volterra模型
改写：


加logistic项

有稳定平衡点
2、 相轨线是封闭曲线，结构不稳定，一旦离开某一条闭轨线线，就进入另一
条闭轨线，不恢复原状。 3、自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部
制约使系统恢复原状 。

相轨线趋向极限环，所以结构稳定


八、参考文献
【1】、姜启源、谢金星、叶俊编《数学模型》第三版
【2】
ht tp:?from=rec&pos=0&we

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ight=15&lastweight=6&count=5
【3】
http: ?from=rec&pos=4&weight=6&las
tweight=6&count=5

附：

r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];
function xdot=shier(t,x)

ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,s],
plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),
pause,
plot(x(:,1),x(:2)),grid,
function xdot=shier(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];

>> ts=0:0.1:15

ts =

Columns 1 through 7

0 0.1000 0.2000 0.3000

Columns 8 through 14

0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

Columns 15 through 21

1.4000 1.5000 1.6000 1.7000

Columns 22 through 28

2.1000 2.2000 2.3000 2.4000

Columns 29 through 35

2.8000 2.9000 3.0000 3.1000
0.4000 0.5000
1.1000 1.2000
1.8000 1.9000
2.5000 2.6000
3.2000 3.3000
0.6000
1.3000
2.0000
2.7000
3.4000

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Columns 36 through 42

3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000

Columns 43 through 49

4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.7000 4.8000

Columns 50 through 56

4.9000 5.0000 5.1000

Columns 57 through 63

5.6000 5.7000 5.8000

Columns 64 through 70

6.3000 6.4000 6.5000

Columns 71 through 77

7.0000 7.1000 7.2000

Columns 78 through 84

7.7000 7.8000 7.9000

Columns 85 through 91

8.4000 8.5000 8.6000

Columns 92 through 98

9.1000 9.2000 9.3000

Columns 99 through 105

9.8000 9.9000 10.0000

Columns 106 through 112

10.5000 10.6000 10.7000
5.2000 5.3000
5.9000 6.0000
6.6000 6.7000
7.3000 7.4000
8.0000 8.1000
8.7000 8.8000
9.4000 9.5000
10.1000 10.2000
10.8000 10.9000
5.4000 5.5000
6.1000 6.2000
6.8000 6.9000
7.5000 7.6000
8.2000 8.3000
8.9000 9.0000
9.6000 9.7000
10.3000 10.4000
11.0000 11.1000

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Columns 113 through 119

11.2000 11.3000 11.4000 11.5000 11.6000 11.7000 11.8000

Columns 120 through 126

11.9000 12.0000 12.1000 12.2000 12.3000 12.4000 12.5000

Columns 127 through 133

12.6000 12.7000 12.8000

Columns 134 through 140

13.3000 13.4000 13.5000

Columns 141 through 147

14.0000 14.1000 14.2000

Columns 148 through 151

14.7000 14.8000 14.9000

>> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

ans =

0 25.0000 2.0000
0.1000 27.0818 2.0041
0.2000 29.3344 2.0170
0.3000 31.7689 2.0394
0.4000 34.3961 2.0726
0.5000 37.2258 2.1178
0.6000 40.2673 2.1767
0.7000 43.5012 2.2534
0.8000 46.9360 2.3503
0.9000 50.6072 2.4683
1.0000 54.5301 2.6106
1.1000 58.6999 2.7819
1.2000 63.0917 2.9891
1.3000 67.6604 3.2411
12.9000 13.0000
13.6000 13.7000
14.3000 14.4000
15.0000
13.2000
13.9000
14.6000
13.1000
13.8000
14.5000

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1.4000 72.3409 3.5484
1.5000 77.0479 3.9238
1.6000 81.6759 4.3819
1.7000 86.0996 4.9391
1.8000 90.1732 5.6140
1.9000 93.7311 6.4268
2.0000 96.5873 7.4000
2.1000 98.5360 8.5577
2.2000 99.3055 9.9234
2.3000 98.6143
2.4000 96.2851
2.5000 92.2472
2.6000 86.5853
2.7000 79.5349
2.8000 71.5364
2.9000 63.0848
3.0000 54.6236
3.1000 46.5441
3.2000 39.1860
3.3000 32.7932
3.4000 27.3368
3.5000 22.7375
3.6000 18.9134
3.7000 15.7771
3.8000 13.2354
3.9000 11.1873
4.0000 9.5278
4.1000 8.1758
4.2000 7.0684
4.3000 6.1592
4.4000 5.4185
4.5000 4.8129
4.6000 4.3124
4.7000 3.8967
4.8000 3.5500
4.9000 3.2601
5.0000 3.0181
5.1000 2.8154
5.2000 2.6460
5.3000 2.5047
5.4000 2.3872
5.5000 2.2898
5.6000 2.2099
5.7000 2.1455
11.5085
13.3067
15.2882
17.3947
19.5427
21.6225
23.5300
25.1819
26.5163
27.4921
28.0978
28.3766
28.3764
28.1426
27.7178
27.1426
26.4556
25.6911
24.8740
24.0245
23.1580
22.2853
21.4162
20.5582
19.7164
18.8948
18.0961
17.3219
16.5735
15.8515
15.1562
14.4875
13.8454
13.2295
12.6393

食饵——捕食者数学模型论文
5.8000 2.0953 12.0740
5.9000 2.0578 11.5330
6.0000 2.0317 11.0154
6.1000 2.0162 10.5207
6.2000 2.0106 10.0479
6.3000 2.0143 9.5964
6.4000 2.0270 9.1653
6.5000 2.0483 8.7539
6.6000 2.0781 8.3614
6.7000 2.1164
6.8000 2.1632
6.9000 2.2188
7.0000 2.2833
7.1000 2.3573
7.2000 2.4410
7.3000 2.5351
7.4000 2.6401
7.5000 2.7566
7.6000 2.8855
7.7000 3.0276
7.8000 3.1837
7.9000 3.3549
8.0000 3.5424
8.1000 3.7478
8.2000 3.9723
8.3000 4.2174
8.4000 4.4847
8.5000 4.7761
8.6000 5.0937
8.7000 5.4398
8.8000 5.8171
8.9000 6.2283
9.0000 6.6766
9.1000 7.1653
9.2000 7.6978
9.3000 8.2781
9.4000 8.9100
9.5000 9.5980
9.6000 10.3468
9.7000 11.1620
9.8000 12.0494
9.9000 13.0153
10.0000 14.0665
10.1000 15.2102
7.9870
7.6300
7.2897
6.9654
6.6565
6.3622
6.0821
5.8155
5.5618
5.3204
5.0910
4.8729
4.6656
4.4688
4.2819
4.1046
3.9365
3.7773
3.6265
3.4838
3.3490
3.2217
3.1017
2.9888
2.8826
2.7831
2.6900
2.6032
2.5225
2.4479
2.3794
2.3166
2.2596
2.2084
2.1629

食饵——捕食者数学模型论文
10.2000 16.4541 2.1233
10.3000 17.8063 2.0898
10.4000 19.2755 2.0627
10.5000 20.8708 2.0422
10.6000 22.6016 2.0287
10.7000 24.4779 2.0228
10.8000 26.5102 2.0249
10.9000 28.7093 2.0355
11.0000 31.0844 2.0558
11.1000 33.6416
11.2000 36.3982
11.3000 39.3680
11.4000 42.5598
11.5000 45.9776
11.6000 49.6205
11.7000 53.4829
11.8000 57.5539
11.9000 61.8180
12.0000 66.2549
12.1000 70.8428
12.2000 75.5222
12.3000 80.1900
12.4000 84.7213
12.5000 88.9686
12.6000 92.7622
12.7000 95.9102
12.8000 98.1986
12.9000 99.3910
13.0000 99.2287
13.1000 97.4360
13.2000 93.8972
13.3000 88.6885
13.4000 82.0129
13.5000 74.2204
13.6000 65.7971
13.7000 57.2540
13.8000 49.0238
13.9000 41.4342
14.0000 34.7062
14.1000 28.9351
14.2000 24.0660
14.3000 20.0105
14.4000 16.6759
14.5000 13.9650
2.0875
2.1308
2.1869
2.2573
2.3447
2.4525
2.5849
2.7468
2.9441
3.1834
3.4692
3.8129
4.2348
4.7545
5.3918
6.1658
7.0955
8.1995
9.4962
11.0036
12.7384
14.6791
16.7638
18.9151
21.0377
23.0201
24.7617
26.1948
27.2791
28.0016
28.3802
28.4610
28.2919
27.9181
27.3821

食饵——捕食者数学模型论文
14.6000 11.7742 26.7239
14.7000 9.9982 25.9788
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食饵——捕食者数学模型论文



数学系 09(3) 2
李蕊玲