米勒定理与高考论文

米勒定理与高考
摘要 以几道高考试题为例，浅谈米勒问题（定理）在解决此
类高考题中的独特应用。
关键词 米勒问题（定理） 极值 高考 应用
米勒问题（定理）作为载入世界数学史上的第一个极值问题 ，
有着很广泛的应用，如欣赏一幅画的最佳角度、沿边线踢足球的最
佳射门点等，而且还在高考 中屡屡出现。本文就以几道高考题为例，
浅谈米勒问题（定理）在解决此类高考题中的独特应用。
1 对米勒问题和米勒定理的理解
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分 有趣的
问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什
么部位，视角最大？最 大视角问题是数学史上100个著名的极值问
题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提 出这类
问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问
题如下：
米 勒问题：已知点、是锐角的一边上的两个定点，点是另一边
上的动点，则当点在何处时，能使得最大.
对米勒问题有如下重要结论我们称之为米勒定理.
米勒定理：已知点、是锐角的一边上的两个 定点，点是另一边
上的动点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.
证明：如图1，设 点是边上不同于点的任意一点，连结，因为是
圆外角，是圆周角，易证小于，故最大.

图１
根据切割线定理得，，即.于是我们有：最大等价于的外接圆与
边相切于点等价于等价于.
2 米勒定理在解高考题中的应用
最大视角问题在历届高考中频频亮相，常常以解析几何、平 面
几何和实际应用为背景进行考查。下面举例说明米勒定理在解决此
类高考问题中的应用。 < br>案例1（1986年高考全国数学理科第5题）如图2，在平面直角
坐标系中，已知，试在轴的正 半轴上求一点，使取得最大值.
图２
分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背 景简单，
解题思路入口宽，解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求
解则可一步到位，轻 而易举地拿下此题。
解：设由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点c的坐标为。
案例2 (2005年高考天津数学理科第20题)某人在山坡处观看
对面山顶上的一座铁塔,如图3所示,塔高 ,塔所在的山高,,图中所
示的山坡可视为直线且点在直线上,与水平地面的夹角为,.试问此
人距离水平地面多高时,观看塔的视角最大(不计此人身高)?
图3
分析：这道高考试题即 米勒问题的典型应用，是一道难得的好
题。而且此题明显改造于1986年全国高考题,仿照其解法2可 以解
答此题(仿米勒问题证法的一种解法).

一般解法：解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，．
直线的方程为，即．
设点的坐标为，则（）
由经过两点的直线的斜率公式，．
由直线到直线的角的公式得
（）
要使达到最大，只须达到最小．
由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，
点的纵坐标为．
由此实 际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面60
米高时，观看铁塔的视角最大．
利 用米勒定理解法：如图,过点b，c作圆m且与直线l相切，
切点p的纵坐标即为所求.设直线l与y轴 交于点q，则易得q(0，
-100).
由切割线定理得
.
于是为所求.
点评:很显然,此题用米勒定理解答时较为简单.
案例3（2010 年高考江苏数学理科第17题）某兴趣小组要测量
电视塔的高度（单位：），如图4，垂直放置的标杆的 高度，仰角.
（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；
（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电

视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电
视塔的实际高度为，试问为 多少时，最大？
图6
分析：这道高考试题同样源于生活实际,借助米勒定理直接解决,
问题就变得相当简单。
解：(1)(略)
（2）设，由米勒定理知，当且仅当，即：①
此时即最大.又由∽得:②
由①②得:③
将③代入①得:
解之得:
故当时，最大.
点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，
本 解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求
解，综合性强,能力立意高,有一定难度 。
本文借用高考中的三个案例,启发我们在平时的解题教学中，要
引导学生进行解题反思，总 结解题规律、揭示问题本质、提炼思想
方法、归纳一般性结论，并有意识地加以运用，这样学生的解题能
力一定可以上一个新的台阶,达到较高的层次。
参考文献
[1]王金战、许永忠等. 数学是怎样学好的(魅力与方法篇)
[2]任志鸿. 2012最新 十年高考分类解析与应试策略