初中数学教学论文 《方程》大盘点

x
2
?110
2
?1
?
猜想出方程的解。
x10
5某水果批发市场香蕉价格如下表：
购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请 问张强第一次，
第二次分别购买香蕉多少千克？
类型二：二元一次方程（组）
知识点归纳：
一 定义：
⑴含有两个未知数，并且所含未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程；
⑵含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组；
⑶二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
温馨提示：①二元一次方程的每一组解都是一对数值，而不是一个数值，应用“﹛”表示；
②在没有非负性限制或取整要求的情况下，一个二元一次方程的解有无数种；
③二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个
数也可以超过两个，其中有 的方程可以是一元一次方程；但在二元一次方程组
的各个方程中，相同的字母必须代表同一个数量，否则 不能将两个方程合起来。
二 二元一次方程组的常用解法：
⑴代入消元法，在求解时应注意 ：①先观察方程组未知数的系数，选择系数为1（或–1）
的方程进行变形比较简单；②当方程组中的两 个方程有某个未知数的系数相同或相反时，
可进行整式代入；③当求出一个未知数后，把它代入变形后的 方程
y?ax?b
求出另一个
未知数的值比较简单；
⑵加减消元法，即若方 程组中有同一个未知数的系数相同或互为相反数时，将两个方程两
边分别相加或相减，消去一个未知数， 但要注意当方程组不能直接加减消元时，应根据等
式性质把方程两边同时乘以一个适当的数，使方程组中 的某一个未知数的系数相等或互为
相反数，再把方程进行加减消元。
三 列二元一次方程解应用题问题：
⑴列二元一次方程组解实际问题时，一般情况下，有几个未知量就列几 个方程，所列方程
应满足：①方程两边表示的是同类量，②同类量的单位要统一，③方程两边所表示的数 量
要相等；
⑵列二元一次方程组解应用题的关键是认真审题，把握题意，找出等量关系。
⑶求解后要对求出的解进行验证，看它是否使实际问题有意义。
四 典题训练：
1下列不是二元一次方程组的是（ ）
1
x?y?2
x??1
A

B

y
x?y?1
x?1
C
x?y?1

D

x?0
y?1

用心 爱心 专心
2

2已知方程组
y?2x?m
的解
x,y
满足2x?y?0
，则
m
的取值范围是（ ）
2y?3x?m?1
4
44
A
m??

B
m?

Cm?1

D
??m?1

3
33
3若方程
x?y?3
，
x?y?1
和
x?2my?0
有公共解，则
m
的取值为 _____
4解方程组：⑴
5x?7y?1
5x?14y?17
⑵
3x?2y?8
2x?5y??1

5定义运算“< br>?
”：
A?B?
xy
，已知
1?2?3,2?3?4
，求
3?4
的值
?
A?B(A?1)(B?1)
6阅读下列解方程 组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组
19x?18y?17
时，我们 如果直接考虑消元，那将是繁不胜繁的，而采用下面的
17x?16y?15
方法则是轻易而举 的。由①－②得
2x?2y?2
即
x?y?1
③，由③×16得
16 x?16y?16
④，再由②－④得
x??1
，从而得
y?2
，所以 原方程组的解为
x??1
y?2

请你用上述的方法解方程组
2004x?2003y?2002
，并猜测关于
x,y
的方程组
2002x?2001y?2000
(a?2)x?(a?1)y?a
（
a?b
）的解是什么？并利用方程组的解加以验证。
(b?2)x?(b?1)y?b
7为庆祝“ 六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演。甲、乙两所学校共92人（其中
甲校人数多于乙校人数， 且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服
装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
每套服装的价格
1套至45套
60元
46套至90套 91套及以上
50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元
⑴如果甲、乙两所学校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
⑵甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？
⑶如果甲校有10名同学抽去参加书法绘画比 赛不能参加比赛，请你为两所学校设计一种最
省钱的购买服装方案。
类型三：一元二次方程
知识点归纳：
一 定义：
1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元一次方程，其一般形
2
2
式为
ax?bx?c?0
（< br>a,b,c
为已知数，且
a?0
）。其中
ax
叫做二次项，< br>bx
叫做一次项，
用心 爱心 专心
3

c
叫做常数项，
a,b
分别是二次项和一次项的系数。
温馨提示：在一元二次方程的一般式中要注意
a?0

2使方程左右两边成立的值相等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根）。
二 一元二次方程的根存在情况与系数的关系：
1一元二次方程
ax
2
?bx? c?0(a?0)
是否有实数根，关键由
??b?4ac
的值的符号来
确定。 我们把
??b?4ac
叫做一元二次方程的根的判别式。
2一元二次方程的根的存在情况与判别式的关系：
⑴当
??b?4ac?0
时，方程有两个不相等的实数根；
⑵当
??b?4ac?0
时，方程有两个相等的实数根；
⑶当
??b?4ac?0
时，方程没有实数根；反之亦然。
温馨提示：若一元二次方程有实根，则有
??b?4ac?0

3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
若
x
1
,x2
是一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个根， 则有
2
2
2
2
2
2
bc
x
1< br>?x
2
??
，
x
1
?x
2
?

aa
三 一元二次方程的解法：
⑴直接开平方法，即利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法。
温馨提示：这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，
即形如
(x?m)?n(n?0)
的方程。
⑵配方法，即以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项的系数为1，即方程两边同时除以二次项的系数；
②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边是常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
④化原方程为
(x?m)?n
的形式；
⑤如果
n?0
就可 以用开平方来求出方程的解；如果
n?0
，则原方程无解。
温馨提示：①配方法适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程。
②配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。
⑶因式分解法，即用分解因式的方法求一元二次方程的根的方法。
因式分解法的步骤：①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式之积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
温馨提示：①用因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元
用心 爱心 专心
4
2
2

一次方程，从而得到一元二次方程的解。
②用因式分解法解题的理论依据是：若
a?b?0
，则
a?0
或
b? 0
。
⑷公式法，即用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
?b?b
2
?4ac
2
一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的求根公式 是
x?(b?4ac?0)

2a
2
温馨提示：用求根公式求一元二次方程的解时应注意：
①先化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定
a,b,c
的值，并求出
b?4ac
的值；
③若
b
2
?4ac?0
，代入求根公式求出
x
1
, x
2
的值；若
b
2
?4ac?0
，则原方程无解。
四 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
⑴审清题意，明确问题中的已知量、未知量以及各种量之间的关系；
⑵设未知数，有直接设未 知数和间接设未知数两种，无论怎样设未知数，一定要注意题目的
未知量必须用所设的未知数表示出来；
⑶列方程，找出题目中的相等关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式即方程；
⑷解方程，并对求出的解进行检验，看是否符合题目中的实际意义；
⑸作出答案。
五 典题训练：
1方程
x?x?0
的解是（ ）
3
2
A
0,1

B
1,?1

C
0,?1

D
0,1,?1

2若关于
x
的方程
x?2x?k?0
有实数根，则（ ）
2
A
k?1

B

k?1

Ck??1

D
k??1

2
3若
t
是一元二次方程
a x?bx?c?0(a?0)
的根，则判别式
??b?4ac
与完全平方式
2
M?(2at?b)
2
的关系是（ ）
A??M

B??M

C
??M

D
大小关系不能确定
4已知
a,b
为一元二次方程
x?2 x?9?0
的两个根，那么
a?a?b
的值为（ ）
22
A
?7

B
0

C
7

D11

5若方程x?(m?1)x?m?0
的两根互为相反数，则
m
的取值为_____
6已知关于
x
的方程
2x?kx?1?0
的一个解与方程
2
2
2
2x?1
?4
的解相同，
1?x
⑴求
k< br>的值；⑵求方程
2x?kx?1?0
的另一个解。
7已知下列
n(n 为正整数）
个关于
x
的一元二次方程：⑴
x?1?0
；⑵
x ?x?2?0
；
2
⑶
x?2x?3?0
；…；(n)
x?(n?1)x?n?0

2
22
用心 爱心 专心
5

㈠请解上述一元二次方程⑴、⑵、⑶、…(n)；
㈡请你指出这
n
个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
类型四：分式方程
一 知识点归纳：
1分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2解分式方程的基本思想：设法将分式方程转化为整式方程。
3解分式方程的基本方法——去 分母法，即在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约
去分母，使分式方程转化为整式方程。
4用去分母法解分式方程的一般步骤：
⑴化简，找出最简公分母； ⑵去分母，将分式方程转化为整式方程；
⑶解所得的整式方程； ⑷验根作答。
温馨提示：⑴解分式方程时，必须将整式方程得到的解代入原方程进行检验，如果最简< br>公分母等于0，它就是原方程的增根，必须舍去；⑵增根有两个重要特征：①增根能使最
简公分母 等于0，②增根是通过去分母所得到的整式方程的根，但不是原方程的解；⑶有
些分式方程，如按常规用 去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，
有时甚至会转化成高次方程，更让人束手 无策，对于其中一部分在构造上有一定特点的
分式方程，我们可以采用换元法求解。
5列分式方程解应用题的一般步骤：
⑴审题；⑵设未知数；⑶找出能够表示全部意义的相等关 系，列出分式方程；⑷解分式方
程；⑸验根:先检验是否有增根，再看是否符合题意；⑹写出答案。
二典题训练：
1如果
x?2
x?x?6
2
?0
，则
x
等于（ ）

A?2

B?2

C
2

D3

2已知方程
1k
?2?
有增根，则
k?_____

x?2
4?x
2
3若
1
2
2
的值为，则
?______

22
4
4y?6y?1
2y?3y?7
1 111
x??2
??3??2
的值为________ 的值为8；当时，
33
bxbx
axax
111
2
5已知 实数
x
满足
x?
2
?x??0
，那么
x?
的值是（ ）
xx
x

A
1
或
?2

B?1
或
2

C
1

D?2

AB5x?4
??
2
6如果，则
A?_____
,
B?_____

x?5x?2
x?3x?10
mxx?1
??
7当
m
为何值时，关于
x
的方程
2
的解是正值？
x?x?2
x?1x?2
4当
x?2
时，
8小明和小刚 两位是好朋友，一个月里两次同时到一家粮油商店买油，两次的油价有变化，
其中第一次的油价为
x
元千克，第二次的油价为
y
元千克，但他们两人的购买方式不一
样，小明 每次总是买相同重量的油，小刚则每次只拿出相同数量的钱来买油，请问两种买
油方式，哪一种更合算？

用心 爱心 专心
6