我国最牛的高中数学教材-高中数学表示取值范围
二项式定理中的数学思想方法
现代化的教育教学理念,要求学生能“综合与灵活的应用
所学数学知识、思想方法,进
行独立的思考、探索和研究问题,提出解决问题的思路,创造性地把问题解
决好”;因此我
们学习每一部分知识时,要善于回味、归纳、总结规律,从而提炼出精华的数学思想方法
,
将知识转化为能力,使所学知识得以升华.笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟,写
给
读者,希望能够起抛砖引玉的作用.归纳如下:
一、函数与方程思想
例1 已知
(1?x)?(1?x)
2
???(1?x)
n
?a
0
?
a
1
x?a
2
x
2
???a
n
x
n
,
若
a
1
?a
2
???a
n?1?29?n
,求
n
.
解析:
a
0
?1?1?
??1?n
,
a
n
?1
.令
x?1
,
则
2?2
2
?2
3
???2
n
?a
0
?a
1
?a
2
???a
n
,
2(1?2
n
)
∴
a
1
?a
2
?
?
?a<
br>n?1
??a
0
?a
n
?2(2
n
?1)?
n?1?2
n?1
?n?3
,
1?2
∴2
n?1
?n?3?29?n
,
∴n?4
.
点评:二项式定理的应用中,求系数
的取值总是列出方程,通过赋值求解,把二项展开
式看作x的函数
f(x)
,其系数问
题与函数值
f(1)
的展开式相联系.
二、转化与化归思想
例2
设a,b是两个整数,若存在整数d,使得
b?ad
,称“
a
整除
b
”,记作
a|b
.给
出命题:①
2|(n
2
?n?
1)
;②
100|(99
10
?1)
;③
5|(2
4n
?1)(n?N
?
)
,其中正确命题的题号是
.
解析:对于①,
∵n
2
?n?n(n?1)
必为偶数,
∴n
2
?n?1
为奇数,即
2|(n
2
?n?1)
不正确.
019
对于②,
(99
10
?
1)?(100?1)
10
?1?C
10
·100
10
?C
10
·100
9
???C
10
·100
,
∴
②正确.
01n?1
对于③,
2
4n?1
?(15
?1)
n
?1?C
n
·15
n
?C
n
·1
5
n?1
???C
n
·15
,
∴
③正确,故填②③.
点评:利用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除
数(或与除数密切关联的数)
与某数的和或差的形式,转化成便于操作的二项式的结构,这是解决问题的
关键,然后再用
二项式定理展开,只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.
例3
(上海高考题改编)求和:
n?1
1?a
0
1?a
2
1<
br>1?a
3
2
1?a
4
3n
1?a
n
.
C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?(?1)C
n
1?a1?a1?a1?a1?a
分析:这是一个与组合数有关的式子求和问题,通常进行合理变形,利用组合数的性质,
转化为二项式的
结构,再逆用二项式定理,将式子的值求出.
解:原式
1a
0123n0123n
[C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?<
br>?
?(?1)
n
C
n
]?[C
n
?aCn
?a
2
C
n
?a
3
C
n
?
?
?(?1)
n
a
n
C
n
]
1?a1?a
1aa(1?a)
n
nn
.
?(1?1)?
(1?a)?
1?a1?aa?1
点评:本例体现了分组求和,创设二项式定理的结构形式,逆
用、活用二项式定理的思
想;其中第二组的和可以推广为:若数列
?
a
n?
是首项为
a
1
,公比为q的等比数列,则:
0123na
1
C
n
?a
2
C
n
?a
3
C
n
?a
4
C
n
???(?1)
n
a
n?1
C
n
?a
1
(1?q)
n
.
0123n
a
1
C
n
?a
2
C
n
?a
3
C
n
?a
4
C
n
???a
n?1
C
n
?a
1
(1?q)
n
.
例4 求证:
3
n
?2
n?1
(n?2)(n?N?
,n
≥
2)
.
0n1n?12n?2n
证明:
3
n
?(2?1)
n
?C
n
2?C
n2?C
n
2???C
n
?2
n
?n·2
n?1
?2
n?1
(n?2)
.
点评:本题是一个与自然数有关的不
等式问题,当然可以考虑用数学归纳法证明,但是
与
(1?x)
n
的展开式进
行对照,只要令
x?2
,所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构,
再进行合理的
取舍,问题获证,这不失为一个快捷方法.
三、整体思想
1
??
例5 在
?
x?
3
?
的展开式中,哪一项的二项式系数最大?哪一项
的系数最大?
2x
??
8
解析:解决这类问题应注意二项式系数与项的
系数的区别,令
A
r
,A
r?1
分别为展开式的
第r项和第
r?1
项的系数,仿照研究二项式系数的变化规律的方法,我们来研究本展开式各
项系
数的变化规律.
∵A
r?1
?
1
??
1?
?C·
??
,
A
r
?C
8
r?1<
br>·
??
?
2
??
2
?
r
8
rr?1
,
18!
?
1
?
·
C·
??<
br>A
9?r
(r8)!
?
2
?
?
2r!?
∵
r?1
?
.
?
r?1
8!
A
r
2r
?
1
?
C
8
r?1
·??
(r?1)!(8?r?1)!
?
2
?
r
8
r
∵
当
1
≤
r
≤
3
时,<
br>A
r?1
A
≥
1
,即
A
r?1
≥<
br>A
r
,当
3?r
≤
8
时,
r?1
?
1
,即
A
r?1
?A
r
,
A
r
A
r
∴
?
A
n
?
的变化规律是先单调递增,后单调递减.注意到
r?3
时,
A
3<
br>?A
4
,故展开式的
第三、四项的系数最大.
点
评:二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具,此处用整
体思想考虑问题,观
察
?
A
n
?
的变化规律,做到胸中有全局,方向明确,脉络清楚,正
确得
结果.
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