近世代数的应用(论文)

近世代数的应用
1． 分子结构的问题：
设在苯环结构上结合CH3或H或NO2，问有多少种不同
的化合物？
这个问题可以 分成两种情况老考虑。第一种情况是如果把
苯环个连接键看成相同的，则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看
成不同，单键和双键交替是，则需要另外考 虑。
设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的，在每个
碳原子上结合H或CH3或NO 2，问可以形成多少种不同
的化合物？
解：这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群G，由 于
两个分子重合时，必须经过旋转后单键与单键重合，双键
与双键重合。孤：G={（1），（ 135）（246），（153）（246），
（12）（36）（45），（14）（23）（56） ，（16）（25）（34）}
同构与D3。
全部有标号的分子数3的6次方。G作用于有标号的分子
结构上的不动点数计算如下：
群元素类同一类型X（g）
型 群元素个
数
∑X(g)

1(6)
3(2)
2(3)
∑

1
2
3
6
3(6)
3(2)
3(3)

3(6)
2*3(2)
3(4)
3(2)*92
所以N=16*3*92=138
即共可以形成138种不同的物质，此数把个项链看作等同时
要大，因为不对称性增加了。

2．开关的线路的计算问题：
每个开关的状态，由一个开关的变量来表示， 例如用A
表示一个开关变量，用0。1表示开关的两种状态，则开关
的取值是0或1。
由若干的开关A1。。。。。。AK组成的一个线路称为开关的线
路，一个开关线路也有两种状态，接 同用一表示。接同用一
表示，短开用1表示，他的状态由各个开关的状态决定，因
而可用一个函 数f(A1….AK)来表示，F的取值是0或1，称
F为开关函数，每个开关的对应一个开关函数。S +{0，1}，
则开关函数F（A1。。。AK）是S*。。。*S到S的一个映射。
不难看出 ，K个开关的变量的开关函数共有2（2（K））个当
K=2时工有16个函数。

但是不同的开关可能对于于相同的线路，例如图1中的两个
开关线路对应两个开关函数，但是着两个 开关本质是相同
的。因此，我们的问题是由N个开关可以组成多少中本质上
下不同的开关线路？
设X={A1。。。。。。AN}，G=SN是X上的对称群，令＃
={F1。。。。。。FM }，M=2（2（N））是X上的所有开关函数的
集合，定义W∈G对F∈＃的作用为W（F）=FW， 对任何
AI∈X有W（F）（Ai）=F（W（AI）），则由 W（F1）=W（F2），
可 以得到F（1）=F（2），故G是作用在#上的置换群，F（1），
（2）F，对应于本质相同的开关 线路的冲要条件它们在G的 作
用下在同一轨道上，因而本质上不同的开关线路的数目就是
轨道数。