高中数学选修2-1大纲-高中数学推理知识点
近世代数的应用
1. 分子结构的问题:
设在苯环结构上结合CH3或H或NO2,问有多少种不同
的化合物?
这个问题可以
分成两种情况老考虑。第一种情况是如果把
苯环个连接键看成相同的,则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看
成不同,单键和双键交替是,则需要另外考
虑。
设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的,在每个
碳原子上结合H或CH3或NO
2,问可以形成多少种不同
的化合物?
解:这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群G,由
于
两个分子重合时,必须经过旋转后单键与单键重合,双键
与双键重合。孤:G={(1),(
135)(246),(153)(246),
(12)(36)(45),(14)(23)(56)
,(16)(25)(34)}
同构与D3。
全部有标号的分子数3的6次方。G作用于有标号的分子
结构上的不动点数计算如下:
群元素类同一类型X(g)
型 群元素个
数
∑X(g)
1(6)
3(2)
2(3)
∑
1
2
3
6
3(6)
3(2)
3(3)
3(6)
2*3(2)
3(4)
3(2)*92
所以N=16*3*92=138
即共可以形成138种不同的物质,此数把个项链看作等同时
要大,因为不对称性增加了。
2.开关的线路的计算问题:
每个开关的状态,由一个开关的变量来表示,
例如用A
表示一个开关变量,用0。1表示开关的两种状态,则开关
的取值是0或1。
由若干的开关A1。。。。。。AK组成的一个线路称为开关的线
路,一个开关线路也有两种状态,接
同用一表示。接同用一
表示,短开用1表示,他的状态由各个开关的状态决定,因
而可用一个函
数f(A1….AK)来表示,F的取值是0或1,称
F为开关函数,每个开关的对应一个开关函数。S
+{0,1},
则开关函数F(A1。。。AK)是S*。。。*S到S的一个映射。
不难看出
,K个开关的变量的开关函数共有2(2(K))个当
K=2时工有16个函数。
但是不同的开关可能对于于相同的线路,例如图1中的两个
开关线路对应两个开关函数,但是着两个
开关本质是相同
的。因此,我们的问题是由N个开关可以组成多少中本质上
下不同的开关线路?
设X={A1。。。。。。AN},G=SN是X上的对称群,令#
={F1。。。。。。FM
},M=2(2(N))是X上的所有开关函数的
集合,定义W∈G对F∈#的作用为W(F)=FW,
对任何
AI∈X有W(F)(Ai)=F(W(AI)),则由 W(F1)=W(F2),
可
以得到F(1)=F(2),故G是作用在#上的置换群,F(1),
(2)F,对应于本质相同的开关
线路的冲要条件它们在G的
作
用下在同一轨道上,因而本质上不同的开关线路的数目就是
轨道数。