均值不等式专题论文

均值不等式的专题
摘要：文章把重点知识专题化，难点知识分散化。与学生一起
分析 知识结构特点，应用范围，应用技巧，易出错误和知识与知识
之间的横向联系及纵向联系，指出与高考怎 样连接，点击高考题型
和解题技巧！
关键词：均值不等式；灵活运用
中图分类号：g633.6文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）
11-223-02

—、什么是均值不等式
定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当
a=b时,取等号﹞
即均植不等式:（a+b）／2≥√ab
证明:∵（a-b)2≥0
∴a2+b2≥2ab
又∵a,b均为正数,
∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b
a+b≥2√ab
即:（a+b）／2≥√ab
1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.
2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.
3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.
√ab叫做a,b的等比中项.
4.几何解释:半径不小于半弦.
5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
二、均值不等式的灵活运用
均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常< br>用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定
值。正确应用定理把握三点：⑴ 正，⑵定，⑶相等。
例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值
分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,
但其积不是定值 ,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等
式求其最值.
解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3
又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0
∴y≥2 +3=5
当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”
∴y的最小值是5
例⒉求函数y=x（8-3x） （0＜x＜8／3）
分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此
将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.
解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）
（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0
y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3
∴y的最大值是16／3
点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（ ）2，
a，b均为正数。
例3：求函数y= （x>1）的最小值。
解：y= = = ==x+1+
=x-1++2
∵x>1，即x-1＞0 ，＞0
y≥2+2=8
当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）
∴y的最小值等于8
点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为
定值。
有些分式函数可 以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和
一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数， 若部分
项积为定值，且使定理成立方可！
例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域
解：∵x>-1， ∴x+1 >0
∴f（x）==
= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－ －1时取“=”。
又因为x>-1，故－ －1舍去，所以x= －1时取“=”。
∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】
点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有
快捷！
例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。
证明：∵a>b>0，即a-b>0
∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3
当a-b=b= 时，a=2，b=1
∴ a+的最小值为3
点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则
a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”
例6：求函数y=x（1-x2） （00
又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）
≤ （ ）3
= × =
当2x2=1-x2，x= ，y2=
y>0 ，x= ，y的最大值等于
点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然
后求最大值。
例7：求函数y=3x2-2x3 （00， 3-2x>0
所以y=xx（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1
点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=xx，使其和为定值，可用
均值不等式。
三、学生易犯错误
1，不注意条件均正。
2，和或积不为定值。
3，取不到最值，也看成了最值！
具体情形—省落
四、点击高考
199 9，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问
题。最值问题和我们的生活密切 相关，学习就是为了指导我们解决
生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！
今后高考展望：
1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加
新颖。
2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！
3、更加突出在解决实际问题中的价值！！！