圆锥曲线离心率e论文

圆锥曲线离心率e
以往和同学们谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难，
解 析几何更是难中之难.现在不同了，随着新课改、新课程方案的
颁布，江苏的高考对解析几何的要求降低 ，纵观近几年的新高考，
通常考查一个填空题、一个中档题.填空题考查以圆锥曲线的定义
和离 心率为重点，大题目以椭圆环境下的直线与圆位置关系为重点.
所以现在解析几何题以中档题为主，是我 们大家拿分的题目.那么
我们高考复习要立足于基础知识和基本方法的掌握，但要避免简单
的重 复和罗列，要在提高上下工夫，因此复习时要凸现
启发性、概括性、综合性，要把关联知识综合起来复习 ，形成一个
较为完整的知识体系.
求与离心率e有关的问题是近几年江苏高考解析几何题常常 考
查的一类题，它涉及的知识面广，综合性强，所以难度也较大，且
能很好地考查学生的综合能 力和数学素养，但是学生往往因为建立
不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手.由离心率e=c[ ]a，
则要求离心率e,就要求a,b,c的关系.所以要在题目条件中寻找
a,b,c的关系 .
本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略.
一、利用圆锥曲线的定义求离心率
例1 （2009年全国卷ⅱ理）已知双曲线c:x
2[]b
2[]a2-y
2=1(a>0,b>0)的右焦点为f,过f且斜率为3的直线交 双曲
af=4fb,则双曲线的离心率为( ).线于a,b两点，若

a.6[]5 b.7[]5 c.5[]8 d.9[]5
解 设双曲线c:x2[]a2-y2[]b

2=1的右准线为l,
过a,b分别作am ⊥l于m,bn⊥l于n,bd⊥am于d,由直线ab的斜率
为3,知直线ab的倾斜角为60
,|ad|=1[]2|ab|.
,∴∠bad=60
由双曲线的第二定义有
| am|-|bn|=|ad|=1[]e(|
|=1[]2（|
af
af
=4
a
|+|
fb
.
fb
af|-|
|）.
fb|=5[]2|fb|,
fb|)=1[]2|ab
又 ∵,∴1[]e·3|
∴e=6[]5.故选
二、利用圆锥曲线的范围
例2 （20 09年重庆卷理）已知双曲线x
2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为f
若双曲线上存 在一点p使
2f
sinpf
2[]a2-y2[]b
1(-c,0),f1f2[]sin
2(c,0)，
pf
1=a[]c，则该双曲线的离心率的取值 范围是．
解 因为在△pf
pf2[]sin
1f
pf
2中，由正弦定理得
1f2=pf1[]sinpf2f
1.
则由已知，得a[]p1f2=c[]p1 f1，即apf1=cpf
2，且知点p在双曲线的右支上.
设点(x0,y0)，由焦点半径公式，得pf1=a+ex0,pf

2=ex
解得x
性质知x
0-a，则a(a+ex0)=c(ex0-a).
0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由双曲线的几何
0>a ,则a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1b>0)
与x轴正方向交于点a，如果 在这个椭圆上总存在点p使op⊥oa，
o为原点，求椭圆离心率e的范围.
解 设p（a

∵op⊥oa,∴b
cos
a
=cos
∴esinθ[]acosθ·bsinθ[]a
cosθ,bsinθ）θ≠kπ[]2,k∈z.< br>θ-a=-1.化简，得
2[]b2=cos
cos
cos
θ(1-
θ=a
θ.∴e
cos
2-c
θ)[]1-
2[]a
cos2θ
θ[]1+
2=1[]1+
2=1-e2.
2∈1[]2,1,∴e∈2[]2,1.
点评 本题关键在于建立e和三角函数的关系式， 再利用三角函
数的取值范围求出e的范围，是一种常见的求e的方法.
除以上三种常见的求离 心率e的解题策略，还有借助已知不等
式求解和借助一个参数的范围求解，在此不一一举例.
纵观近几年江苏高考对解析几何的考查会保持相对稳定，即在
题型、题量、难度、重点等方面不会有太大 的变化.我们江苏的考
查还应该以一个填空题、一个解答题为主，填空题考查圆锥曲线的
基本概 念，解答题以直线和圆的位置关系为主，可以简单与圆锥曲
线联系.