SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

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SARS传播的数学模型
(轩辕杨杰整理)

摘要



本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理 性与实用性，认为该模
型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病< br>人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果
不够准确；第三， 模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.
针对早期模型的不足，在系统分析了SARS 的传播机理后，把SARS的传播过
程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段 影响SARS
传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，
预测SARS 患者累计2514人，与实际情况比较吻合.
应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效 果进行分析，得出结
论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情< br>持续时间.
在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来
不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模
型进行了预测，估算出 SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，
并预计北京海外旅游人数在10月以前能 恢复正常.
最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.
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1．问题的重述
SARS（严重急性呼吸 道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认
识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控 制传染病蔓延创造条件，具有
很高的重要性.现需要做以下工作：
（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.
（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的 原因；说明怎样才能建立一
个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样 做
的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，
估计对疫情传 播的影响.
（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS对社会经济的
影响.
（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.


2．早期模型的分析与评价
题目要求建立SARS的传播模型，整个工作的关键是建立真正能 够预测以及
能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求
评价 一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：
合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.
实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.
所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控
制提供足够的信息.

2.1早期模型简述
早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时
刻的病例数为
N
0
，
平均每病人每天可传染K
个人（
K
一般为小数），K代表某种社会环境下一
个病人传染他人的平 均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施
有关.整个模型的K值从开始到高峰期间保持 不变，高峰期后 10天的范围内K
值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.
平均每个 病人可以直接感染他人的时间为
L
天.整个模型的
L
一直被定为20.
则在
L
天之内，病例数目的增长随时间
t
(单位天)的关系是：
N(t)?N
0
?(1?k)
t

考虑传染期限L的作用后 ，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用
半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发 直接传染的基数中去掉.

2.2早期模型合理性评价
根据早期模型对北京疫情的 分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1
日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通 过拟合起点和4月20日
以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情况 变化，即
10天范围内K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

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图1 早期模型计算值与实际值对比图


从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实
际值.
为 了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记
y
i
?
i
表示第i天计算累计病例.计算 表示第i天实际累计病例，
y
e
i
*
?
e
i
?
?
n
?
i
y
i
?y
?
,i
?
1,2,
?
,n

?
作为
?
的估计： 其中，用
?
?
?
?< br>?
y
i?1
i
?
i
)?(y
i
?y
n?2

做出标准化残差
e
i
*
的分布图，如图2：

图2 早期模型的标准化残差分布图
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可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于
实际值，说明预测值 确实逐渐偏离实际值.
通过以上分析得合理性评价：
1
从预测准确度上有失合理性 ，○虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较
好，但对后期情况的预测出现较大偏差.
2< br>尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.○
从这一点上看，该模型 还是切合实际的.
3
该模型选用公布数据直接拟合，○从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于 模
型本身的含义.因为模型中的
N(t)
实际代表的是
t
时刻全社会 的累计SARS患者，
而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如 果
把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不
明确.对于这 一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！

2.3早期模型实用性评价
模型的 实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导
实际.这里主要抓住早期模型的参数 设置情况进行实用性评价：
1
该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发 展的阶段没○
有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实
际 高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出
疫情中后期发展的趋势，模 型的实际应用范围受到限制.
2
参数
K
代表某种社会环境下一个病人每天传 染他人的人数，○与全社会的警
觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将
K
固定在一个比较
高的定值，在疫情高峰期过后，在10天内逐步调整
K
值到比 较小，然后保持不
变.但模型并没有给出
K
值的具体算法，只是不断地进行人工调整， 具有一定的
主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，可见该模型未对
北京 的实际情况进行充分的考虑.
3
参数
L
代表平均每个病人在被发现前后可以 造成直接传染的期限，○在此期
限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等 .该模
型把
L
的值固定为20，而实际的
L
应该随疫情发展趋势变化 而变化，固定
L
势
必使模型只能片面模拟真实情况.
综上，早期模型的一部 分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中
人工干预过多，实际应用范围受到了限制，实用性不 强.


3． SARS传播过程的分析
由于早期模型缺少对SARS传 播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测
病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详 尽的分析.
SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的
危机“四阶段说”.
第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时 间
才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未
引起注意.在 这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个
社会的发病率还较低.
第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪
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增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚 ，并未收到预期
效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增. 第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控
制，发病人数保持稳定， 处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产
生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大 ，社会发病率依然很高.
第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施< br>的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期
最短，社会发病率 低.疫情进入了4个阶段的最后时期.
有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的 发展过程，
并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经
典传 染病SIR模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS
的分段微分方程模型， 称为SARS传播的SIR改进模型.


4． SARS传播的SIR改进模型
4.1模型的假设
1．SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期内的城市人口的 自然出生率
和自然死亡率.
2．被SARS感染后经治疗康复的人群在SARS流行期不会被再次感染.
3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.
4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情的发展过程.

4.2模型的符号定义
S(t)
:易感类人群占城市人口总数的比例.
I(t)
:传染类人群占城市人口总数的比例.
R(t)
:排除类人群占城市人口总数的比例.
t时刻被隔离的SARS患者数

?
(t)
:SARS患者的就诊率
?
t时刻全社会SARS患者总数
?
：单位时间内一个传染者与他人的接触率 .
L
：平均传染期.

4.3传播机理分析
针对早期模型的 不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在
经典传染病模型SIR的基础上，通过机理分 析，用实际因素来描述SARS的传播
过程.
为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影 响，仅仅在一个封闭城市中
研究SARS的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：
S类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染
上传染病.
I类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员.
R类：称为排除类 或恢复类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，
或者死亡等.I类成员转化为R类后，立刻失去 传染能力.
S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例.
对于传播过程有3条基本假设：
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A
1
：人口总数为常数N，N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.
A
2
：人群中3类成员均匀分布，传播 方式为接触性传播.单位时间内一个传
染者与他人的接触率为
?
，则一个传播者在单位 时间内与S类成员的接触率为
?
S(t)
，因此，单位时间内I类成员与S类成员的接 触总数为
?
N?S(t)?I(t)
，这
就是单位时间内I类成员增加的数量 ，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性
函数.
A
3
：传播者的被 控制数正比于传染者的数量
NI(t)
，比例系数为
v
，
v
称为
被控制率，则平均传染期为
L?1v
.
?
?
?
v
为一个传染者在其传播期内与其他
成员的接触总数，称为接触数.
那么SARS的传播流程如图3：

?
NSI?传染vNS?控制
易感类NS(t)?????传染类NI(t)?????排除类NR(t)

图3 SARS传播流程图

在这个模型中，排除类
NR(t)
就是已确诊SAR S患者累计数，而
N?[1?S(t)]
是
全社会累计SARS患者数，包括已确诊的 和未被发现的两部分.

4.4模型的建立
有了以上的机理分析，建立起针对SARS的改进SIR模型：
?
dS
(1)
?
dt
??
?
SI
?
?
dI
?
?
SI?vI (2)
?
dt
?

?
dR
?vI
?
dt
?
I?R?S?1
?
?
S
0
?0,I
0
?0
?
?
R
0
?0

该模型中参数< br>?
和
v
在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显
的变化， 现分析如下：
1
参数
?
表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，○其与 全社会的警觉程度和
政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，< br>喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率
?
的值.
一般认为，< br>?
的数值随着SARS发展的4个阶段不断变化.在SARS初期，由
于潜伏期的存在和 社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起
重视，故
?
维持在一个 较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，
恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使
?
得到一定的控制，但效果不明显，此处
假设
?
呈线性形式缓慢衰减；在高峰 期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播
的有效接触率明显减少，可以认为
?
按天数 呈指数形式衰减；此后进入衰减期，
?
就维持在一个较低值附近.
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2
参数
v
表示传播者的被控制率.< br>L?1v
称为平均传染期，表示一个传播者在被○
隔离或者死亡之前具有传播能力的平均 时间.一般认为，SARS患者经过传染期
L
过后，将隔离治疗或者死亡，从I类成员变为R类 ，失去传播能力.
L
与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前
进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广范围的医疗手段，使更多的人接受有
效的治疗等， 都可以有效地降低平均传染期
L
的长度.因此这里将
L
直接抽象为
每 一时期SARS患者的就诊率
?
(t)
的函数.
平均传染期
L应随
?
(t)
的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS的认识
不 足，并没有采取有效控制措施，
L
的变化很小可以近似看作定值，这里我们
取SAR S病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐
步加强，使SARS患者的就 诊率
?
(t)
逐渐增加，而平均传染期
L
会逐渐减小并趋
于 一个定值，这里我们将SARS病毒平均潜伏期（约7天）定为
L
的最小值；在
此后的 高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，
L
的值会维持在7
天左右.

4.5针对北京疫情求解模型
首先采用数学推导的方法，确定参数
?
和
v
，并证明模型有唯一解.
1
确定
?
和
v
的关系 ○
令
?
?
?
v
，方程组中
(2)?(1)
得：
dI1
< br>??1?
dS
?
S
在病情刚开始时，
dI1
??1?
，由于
S(t)
是单调减少的，且
I(t)
最终趋近于0，
dS
?
S
0
则当
?
S?1
时，
I(t)< br>单调减少趋近于0；当
?
S?1
时，
I(t)
先单调增加达到 最大值，
然后单调减少趋近于0.
容易知道，当
?
S?1
时，才满 足SARS的传播规律，所以参数
?
和
v
的取值必
须满足这个条件.
2
证明模型有唯一解 ○
在初值条件下解微分方程组：
1
?
dI
??1?
?
?
S

?< br>dS
?
?
I
0
?S
0
?R
0
?1
得到关系式：
I(t)?1?R
0
?S?
1
ln(
S
)

S
0
?
1
1
得
???
，由○令
t?
0?1?R
0
?S
?
?
?
ln(
S< br>?
)

S
0
因为
S
?
?0
，所以令
f(x)? 1?R
0
?x?
1
?
ln(
x
)

S
0
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则
limf(x)???
，
f(S
0
)?1?R
0
? S
0
?I
0
?0

x???0
当
S
0
?
当
S
0
?
1
?
1
1
时，由于
f(x)?0
在
(0,S
0
)
范围内有根，因而 在
(0,)
内有根.
?
?
时，因为
f
'
(x)?
1?
?
x

?
x< br>当
x?
1
?
11
时，
f
'
(x)? 0
，所以
f()?f(S
0
)?I
0
?0
，因而< br>f(x)?0
在
(0,)
?
?
内也有根.
注意到当
0?x?
1
?
1
时，
f
'
(x)?0，故
f(x)?0
在
(0,)
内有唯一根.
?
1
所以，
S
?
在
(0,)
内有唯一解.
?
3
划分SARS传播的4个阶段 ○
由于SARS的传播经历了4个阶段， 所以，要以具体的指标划分这4个阶段.
因为在4个阶段中，日发病率
?
(t)??
N?S(t)?I(t)
是一个区分每个阶段特点的关
键特征，所以以日发病率 作为划分的指标.从第一个患者出现日开始：
征兆期：日发病率在10（人天）以下.北京疫情期的前40天.
d
?
爆发 期：从日发病率10（人天）到日发病率最大，即
?0
时.北京疫情期的
dt
第40天到第74天.
dI
高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即
?0
时.北京疫情期的第74天到
dt
第79天.
衰退期：患者数量最大点以后.北京疫情期第79天以后.
4
确定
?
和
v
○
根据北京最终SARS患者总数 2521人以及北京人口总数（约14000000人），得
25211v
S
?
?1??0.9998?1
，所以
??1
.
14000000
? ?
1
因为平均传染期
L?
，而
L
是SARS患者就诊率?
(t)
的函数，且
L?[7,19]
，
v
所以，这里 设计
L
函数为：
L?7e
1?
?
(t)

?
(t)
由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实
际情 况，推导出：
0?t?40
?
0
?
t?40
?
?< br>(t)?
?
log
10
(?1) 40?t?74

3.78
?
t?74
?
?
1
而接触率
?
与全社会 的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况
确定为：
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0?t?40
?
0.126
?
?
0.126?
t
40?t?74
?
3400
?
?
?

lnt
?
0.116? 74?t?79
?
33
?
0.0672 t?79
?

确定出所有的参数后，做出北京各时期累计全社会SARS患者 数和各时期累
计确诊SARS患者数预测图（图4）以及北京市预测确诊SARS患者累计和实际确诊SARS患者累计对比图（图5）.同时得到：北京SARS疫情的预测持续时间为
106天，预 测SARS患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR模型程序)

图4 北京市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图
图5 北京市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图
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5．改进SIR模型的分析与评价
5.1合理性评价
从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对
后期数据预测不准的 缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：

图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）

可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.
通 过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准
确，而且在预测后期病情的时候 也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.
该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型 优于早期模型的方面之
一.

5.2实用性评价
对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：
1
早期模型在没有对SARS 的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高○
峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期 的确定方法，模型的实际
应用范围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据 日发病
率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑
了每个阶 段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的
影响.
2
早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者○
人数，这样的做法不能对 防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能
准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发 现的患者人数，可以对防治工作
提供更有用的数据.
3
早期模型用参数
K< br>代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出
K
值○
的具体算法，只是不断 地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预
测北京的情况，未对北京的实际情况进行充分的 考虑.而改进SIR模型用参数
?
表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个 阶段内
?
的变化情
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况，给出了
?
的函数表达式.
4
早期模型用参数
L
代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的○
期限，并且把
L
的值固定在2 0天，就造成了后期预测值明显偏离实际值的结果.
而改进SIR模型中建立了
L
的分 段函数表达式，根据各个阶段的具体影响因素控
制
L
的大小.这样，在后期的预测上， 也与实际值相当吻合.
综上，改进SIR模型弥补了早期模型的不足，实际应用范围得到扩大，实用
性强.

5.3建立可靠、优良模型的困难
要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足 够的信息的模
型，存在着许多的困难，还有许多努力的方向.
1
缺乏详尽的，反映S ARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参○
数的具体取值.本文的模型计算与分析研究，主 要依据关于北京市的SARS疫情通
告的数据.这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式 不能满足模
型求解的要求.
2
需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构 与调整参数，○以及
估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果.
3< br>需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异性，○总结SARS传播与
控制的典型地域 性模式.


6．分析具体措施对SARS传播的影响
在SARS传播的 实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有
措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个 比较关键的因素，究竟这些因素对
疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下.
改变隔离开始的 时间通过对
L
调整实现，减小
L
的数值就提前了隔离时间；
而改变隔 离的强度通过对
?
调整实现，减小
?
的数值就提高了隔离的强度.
以北京的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测
不同控制措施下累 计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：


开

始
提前5天 延后5天 提前20天
时
隔
离
强
间
度
隔离强度100%
隔离强度 80%
1458人90天
2057人167天
4170人112天
5807人205天

304人69天
446天125天
表1 不同控制措施下的结果
分析表1，得出结论：
1
在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小. ○
2
在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短. ○
3
综上，○累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的
长短主要由隔离强度的大 小决定.

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所以，有关部门采取 的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，
早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离 ”能有效缩短疫情持续时间.


7．SARS对旅游业的影响
SARS 的流行会对国民经济带来一定的影响.现在题目提供了北京市接待海
外旅游人数的数据，要求根据这些数 据，预测SARS对北京市的旅游业所产生的
影响.

7.1预测正常情况下2003年的旅游人数
旅游业随着社会经济的发展，会有一个逐年提高 的趋势.如果没有SARS的流
行，那么，海外旅游人数会以一定的规律保持增长的趋势.
现 在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，采用季节性时间序列的半参
数回归模型进行预测.
一般的半参数回归模型是指：

Y ?
?
'
? g (T ) ? ? (3)

其中
(X,T)?R
P
?R
1
为随机向量或设计点列，T

的支撑集为有界闭集，
?
为
P?1
的未知参数向量，
g (?)
是定义于一有界闭集上的未知函数, E为随机误
差,
E(?)? 0,E( ?
2
)?
?
2
(未知),且
?
与
X,T< br>相互独立.
对季节性时间序列资料
X
ij
(i
?
1 ,2,
?
,n;j
?
1,2,
?
,l)
，其中n
为年份长度,
l

为季节长度.
根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回归模型
X
ij
?bi?g(j)?
?
j
(4)

其中
b
为模型参数, 主要反应时间序列在年度上的增长趋势.
g(j)
为未知函数,
2
主要反应 时间序列在季节上的效应,
E(
?
ij
)?0,E(
?
ij
)?
?
2
且
?
ij
相互独立.显然模
型中 不应包含常数项,因为常数项可包含在季节效应中.
在对旅游人数的估计时，因为采用了1997～2 002年的数据进行参数估计，所
以年份长度
n?6
，而季节上的效应实际上就是每个 月的效应，季节长度
l?12
.
参数估计如下：
1
把
b
看为已知时
g(j)
的最小二乘估计为使○
?
(X
ij?bi?g(j))
2
最小的解，即
i
n?1
(5)

2
?
(j)
也是
g(j)
其中，< br>X
j
?
?
X
ij
n
，即为所有数据在季节点
j
上的均数.显然
g
?
(j)?X
j
?b?gi
的一个临近估计.
2
将（5）代入（4）后
b
的最小二乘估 计为使○
??
(X
ij
?bi?(X
j
?b
ij< br>n?1
2
))
最小
2
n?1
~
~
的 解.作变换
X
ij
?X
ij
?X
j
,i?i?则
2
~
~
i?X
ij
?
?
?
ij
b (6)
~

l?
?
i
2
i
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在小样本条件下，误差的总体方差
?
2
估计为
nl
1~
2
?
~
?
?
?
(X?bi)
2 (7)
??
ij
nl?l?1
i?1j?1
将北京海外旅游人数1997～200 2年的数据代入式（5）、（6）、（7），得到：
?
?1.8245
?
?
b

?
2
?
?
?0.0044
?
?
?
(j)?(4.5642,13 .2808,12.5142,17.2142,17.9975,16.3975,16.0808,g

21.0808,20.7475,21.5808,18,1642,12.4642)

根 据这些参数，预测正常情况下2003年的旅游人数(计算程序见附件2：时间序列
程序)，结果如表2 （单位：万人）：

月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
份
人15.4 17.1 25.3 30.0 30.8 29.2 28.9 33.9 33.6 34.4 31.0 25.3
数
表2 正常情况下2003旅游人数预测

1997-2003年旅游人数的变化如图7所示：

图7 1997-2003年旅游人数的变化


7.2季节性时间序列半参数模型的检验
我们利用时间序列模型对1997～2002年的旅游人数进行拟合，再与实际值对
照，画出残 差图（图8）：

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图8 1997～2002年各月旅游人数估计值的标准化残差

图中，标准化 残差随机均匀分布在x轴周围，说明时间序列模型对1997-2002年旅
游人数的拟合程度比较高, 能够对2003年各个月份的旅游人数做出比较准确的预
测.

7.3预测2003年实际旅游人数
实际旅游人数受到SARS的影响，从3月开始下降，在5月达到最低点后开
始回升.
?
i
的百分比图，如图9： 做出实际旅游人数
y
i
占预测旅游人数
y
图9 实际旅游人数占预测旅游人数的百分比图

对5月以后旅游人数的回升用对数函数进行拟合：
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(t?10)
1.5< br>y
i
?(1.8e
?
i
, t?5

?1)y
根据这个函数预测出2003年实际旅游人数，如表3（单位：万人）：

月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
份
人15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 31.1 34.4 31.0 25.3
数
表3 2003年实际旅游人数预测

旅游人数在9月 1日时回复到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢复正常
水平.2003年的旅游总人数比预期减 少116.11万人.若平均每位旅游者花销2000
元人民币，则累计经济损失达到23.22亿元人 民币，比预计经济收入减少了
34.67%.
可以看出，SARS对旅游业的影响还是比较大的，使整个旅游业收入减少了3
成左右.


8．模型的改进方向
本文在传染病SIR模型的基础上，改进得到了S ARS传播模型.模型能够比较准
确地预测出累计病例数，还能隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析 ，具有很
好的合理性和实用性.但本模型还有一些可以完善的地方：
1
本模型不考虑 人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS的传播机理.可以○
增加参数
?
ij
表示第
i
个城市向第
j
个城市的人口流动率，定量地研究相邻的N
个
城市之间人口的流动.这样，就需要有关方面提供城市间人口流动数据来确定
参数
?
ij
.
2
对SARS最新研究表明，该病毒对小孩的影响远 远小于成年人.因此，可以将模○
型中
S(t)、I(t)、R(t)
改变为
S(a,t)、I(a,t)、R(a,t)
,分别表示t时刻时易感类、传
染类、恢复类按年 龄分布的密度函数.这样，模型就能研究不同年龄层次的病
情发展情况.


9．写给报刊的短文

小小“抗非典英雄”
2003年初，春意昂然，万 物复苏.没有人预料到，在一片安静祥和之中，一
场灾难却悄悄地笼罩在人类社会的上空.
不 起眼的咳嗽、发烧，竟然导致了大范围的快速传播，甚至引起死亡，专家
们似乎都对这个叫做“非典”的 病魔束手无策.一时间，人心惶惶，谣言四起，
大家都到了“谈非典色变”的地步.
但是，我 们岂会轻易服输?在这个关键时刻，科研工作者聚到一起，运用科
学这一有力的武器，向“非典”病魔做 出有力的反击.在党中央和国务院的领导
下，全国人民齐心协力，同舟共济.终于，在科学和团结面前， 嚣张一时的“非
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典”病魔低下了头.春回大地，举国欢庆.
亲爱的读者朋友，你是否知道，在这场“非典”攻 坚战中，一个叫做“传染
病数学模型”的工具，发挥了不可磨灭的作用吗？让我来介绍一下这位小小“抗
非典英雄”吧.
传染病数学模型，是科技工作者分析了这次非典爆发的部分数据后，建立的< br>一种研究病情传播规律的工具.这些模型使我们能够对疫情的发展情况做出预
测，并估计疫情发展 所处的阶段.
首先，传染病模型揭示了非典传播的规律，预测了病情发展的趋势.在那个
谣言 四起的时期，数学模型肯定地告诉我们，非典是可以战胜的.这颗定心丸的
出现，克服了人们的恐惧心理 ，维持了社会的安定.
其次，通过对模型的分析，我们发现，在病情蔓延时期，对传播源及早的发现、严格隔离，对整个病情发展的控制起到了至关重要的作用.于是，我们提出
了“早发现，早隔离 ” ，“加大控制力度”这些措施.事实证明，这是行之有效
的.数学模型对实际工作的指导意义也就显 现出来.
数学模型还能预测出“非典”对经济的影响，估计经济的恢复速度.
看，名不见经 传的传染病数学模型，竟然有如此重要的作用,让大家刮目相
看了吧.相信随着研究的继续深入，这位小 英雄还会发挥出它更大的本领.


10．参考书目
[1]寿纪麟，数学建模——方法与范例，
http:
，
2003年9月23日
[2]胡鞍钢，正确认识SARS危机，民主与科学，第3期：第5～8页，2003
[3] 王文昌等，季节性时间序列资料预测的半参数回归模型，中国卫生统计，14
卷第6期：第4～6页，1 997

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附件
附件1：SIR模型程序
function f=sor
S(1)=140000 00;I(1)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;
for i=2:74
%初期与爆发期

if i>=40&i<74
JU=JU-0.25;
end
if i>=40
na=na-0.0135;
%爆发期
?
缓慢减少

end
S(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)14000000;

%求解S，I，R

if i>L+2
R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);
else
R(i)=0;
end
if i>=51
F=F-0.5;L=fix(F);
if F==L
R(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1);
end
end
I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)14000000-R(i);
t=log(abs(14000001-S(i)))log(10);
o(i)=abs(14000001-S(i));p=log(o(i)-o(i-1))log(10);
plot(i+JU-19,t,'sr'),hold on,plot(i+JU-19,t,'sr'),
if p>0.1
plot(i+JU-19,p,'or'),plot(i+JU-19,p,'or')
end
end
h=na;g(1)=17;n=1;
for i=75:139
%高峰期与衰减期

n=n+1;
if i<80
na=h-log(i-73)35;
%在高峰期 急剧减少，此后为一定值

end
R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);
%求解S，I，R

S(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)14000000;
I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)14000000-R(i);
t=log(abs(14000001-S(i)))log(10);o(i)=abs(14000001 -S(i));
p=log(o(i)-o(i-1)+1)log(10);
plot(i+JU-19,t,'sr'),plot(i+JU-19,p,'or')
end

附件2：时间序列程序
function sjxl
X(1,:)=[9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6];
X(2,:)=[9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9];
X(3,:)=[10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5];
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X(4,:)=[11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5];
X(5,:)=[11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7];
X(6,:)=[13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9];
for i=1:12
y(i)=0;
for j=1:6
y(i)=y(i)+X(j,i);
end
y(i)=y(i)6;
end
?
、
g
?
(j)
和
?
?
for i=1:6

%计算
b
for j=1:12
Z(i,j)=X(i,j)-y(j);
end
end
for i=1:6
p(i)=i-3.5;
end
b=0;q=0;
for i=1:6
for j=1:12
b=b+p(i)*Z(i,j);
end
q=q+p(i)^2;
end
b=bq12;
for i=1:12
g(i)=y(i)-b*72;
end
si=0;
for i=1:6
for j=1:12
si=(Z(i,j)-b*p(i))^2;
end
end
si=sqrt(si59);
for i=1:12
X7(i)=7*b+g(i)+rand*si;
end


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%预测2003年无SARS情况下每个月的旅游人数