例谈求最小值问题论文

例谈求最小值的问题
摘要：从不同的角度利用不同的方法求最小值，灵活的运用不
同 的方法会迎刃而解有关求最小值问题。同时会用到数形结合的数
学思想，培养学生解决问题的综合能力。
关键词：最小值；数形结合。
中图分类号：g633.6文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）
11-183-01

在平面几何中， 将几何问题转化成代数的方法去解决，如果应
用恰当，往往能取得事半功倍的效果。同样，在代数中，将 代数问
题转化为几何的方法去解决，容易理解。对于具体的问题，如何找
到解决问题的切入点， 这是我们解决此类问题的关键，也是我们感
到最困难的问题。只要我们能充分地挖掘已知条件及蕴含在题 目中
的隐含条件，充分利用已学的定理和性质，找出题中条件的内在联
系，那么问题就迎刃而解 。常见求最小值的几种方法，如：用对称
法解决最小值问题; 用构图法解决最小值问题; 用二次函数法解
决最小值问题; 用公式法解决最小值问题; 用图象法解决最小值
问题。下面就其中二种求最小值问题举例说明。
1、用对称法解决最小值问题
例1 （08江苏南通）如图1，四边形abcd中，ad=cd， ，过点
d作 ，垂足为 ，de与ab相交于点e．
⑴ 求证： ；

⑵ 已知ab=15cm， bc=9cm，p是射线de上的动点．设
dp=xcm(x>0)，四边形bcdp的面积为 ．
① 求y关于x的函数关系式；
② 当x为何值时， 的周长最小，并求出此时y的值．
分析：⑴ 略；
⑵ ① 略；② 求 的周长最小，也就是求 的最小值。如果没有
弄清题目的思路，容易想到采用代数的方法，即用x表示pb,pc，
想法是好的，但表示不容易。其中 是已知条件，可以转化为求 的
最小值问题。
因为ad=cd， ，所以de垂直平分ac， 即点a与c关于直线de
对称。根据轴对称性质知，pc=pa，所pc+pb=pa+pb，根据两点 之间
线段最短知，点p与点e重合。由 ∽ 知， df=8。由 ，点f是ac
的中点得， ，所以 ．即 。当 时， 的周长最小，此时 。
从上述的例子可以发现：对于求两条线段或三条线 段和的最小
值，不能采用代数的手法，而应采用几何中对称的方法解决。这类
问题的特征：求两 个定点到一条直线上一动点距离之和的最小值问
题，作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点 构成的线
段就是所求的最小值。主要抓住两点之间线段最短。
2、用图象法解决最小值问题
例2阅读以下材料：对于2个数 、 ，用 表示a、b这2个数
的平均数，用 表示 、 这2个数中的最大的数。例如： ； 。
解决下列问题：

⑴ 填空： __________；
⑵ 如果 ，则 __________；
⑶ 如果 ，那么 ________ （填 、 的大小关系），并证明这个
结论；
⑷ 如图，在同一直角坐标系中作出函数 ， 的图象（不需列表
描点）。通过图象观察，可得： 的最小值为_________。
分析：⑴、⑵、⑶略；
⑷ 首先理解条件： 的最小值，两个函数 和 中最大的函数的
最小值。当 和x=2时， ，当 时，，此时 的最小值是 ；当 时，，
此时 的最小值是-1；当 时，，此时 的最小值是2；综上可知最小
值是-1。
从上述例子可以发现：此题的关键之处就是要充分的理解条件：
的最小值。本题采用的方法与 前面的方法都不同，也学生不容易想
到，采用函数图象的方法进行解决。
综上所述，我们遇到 求最小值问题时，要善于分析已知条件，
要判别到底是几何问题还是代数问题，能够灵活的运用上述的几 种
方法进行解决问题。要善于运用数学中非常重要的数形结合数学思
想，这样复杂的问题也会变 得简单，遇到问题也就自然想到这些方
法，从而得心应手的解决问题。