微积分课程论文——

微积分课程论文——



非线性哲学与线性非哲学












PB08207021
夏尔玉



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引言——
一阶线性微分方程的一般形式是
dy
+p(x)y=Q(x)
dx
二阶线性微分方程的一般形式是 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)
n阶常系数线性微分方程的一般形式是

y

《微积分》180页：设y1(x),y2(x)……ym(x)是定义在（a, b）上
的函数，若存在不全为0的常数c1,c2,……cm,使得在（a，b）上
c1y1(x)+c2y2(x)+……+cmym(x) 恒为0，则称它们在（a，b）上线
性相关，否则称线性无关。

F(x)和g(x)线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零。

在学习常 微分方程这一章时，以上几个概念已经作为一种基础
被我们接受。出现在上述几个概念中有一个共同的名 词——“线性”，
什么是线性？它究竟是怎样一种性质？带着疑问我开始了自己的探
索，却发现 了解了一些反而更迷茫。我带着对线性代数的无知走入这
个陌生的领域，仅以我的思考为大家呈现“非线 性的哲学与线性非哲
学”。


2
(n)
?p
n?1
y
(n?1)
?......?
p
1
y’+p
0
y=f(x)

历史的发展是线性的吗？我想大多数人会告诉我“不是”，
在我们的认识中，历史是以螺旋形上升的方式 发展的，或者是以无规
则杂乱上升的方式发展的。但在《现代汉语规范字典》中给“线性”
下了 这样一个定义：
线性：指各组成部分在时间和空间上都不重复而先后有序地排
列的特性。（《 现代汉语规范字典》2005年7月第一版）
如果按照这样一个定义，那么历史的进程就应 该被认为是线性
的。因为历史的进程显然符合“在时间和空间上都不重复而先后有序
地排列”这 一特性，不存在一个例外是说时间可以倒流或是在某一刻
静止。那么，难道历史的进程真的是线性的吗？ 这就牵扯到我们对于
“线性”的不同理解上了。首先，让我们从数学的角度上看一看“线
性”的 定义。
线性（linear）是指量与量之间按比例，呈直线的关系，在数学
上可理解为一阶 导数为常数的函数，在时间和空间上代表规则和光滑
的运动。
线性可以从相互关联的两个角度 来界定，其一：叠加原理成
立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒
量。
那么我们就可以从第二方面对历史发展作出界定。
从世界人口数量的变化图我们可以清楚地看 到，变量间变化
率显而易见不为恒量，函数关系也并不是直线。

3

同样我们知道科学的发展也是非线性的，例如在显微镜诞生
之前的相当长一段时间里生命科学 的发展很缓慢，但以此为分界
点，生物学进入了细胞水平的新时代。
由此我们认为历史的发展 不是线性的。就好比在一个方程组
中，只要有一个方程不是线性的，我们就不称之为线性方程组。
此时我们得到第一个观点：“线性”在文学角度和自然科学
角度的定义有着不同的外延和内涵。
以下我们主要讨论自然科学框架下的线性与非线性。

非线性non-linear 则指不按比例、不成直线的关系，一阶
导数不为常数。指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。< br>代表不规则运动和突变。
我们可对非线性做以下界定：
其—，“定义非线性算符N( φ)为对一些a、b或φ、ψ不
满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理 不成立，
这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别
对φ和ψ*作外， 再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者
φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点) 的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理
解非线性：在用于描述—个 系统的一套确定的物理变量中，一个
系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变
4

化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理
变量间的一级增量关系在变量的定义 域内是不对称的。可以说，
这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复
杂性 的根源。
为了说明其含义，我们给出几个例子：
1. 激光的生成是非线性的。当外加电压 较小时，激光器犹如普通
电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会
突然出现 一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命
令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
2. 电容器的电阻很大，在一定范围内其导电能力很微弱，几乎不
随外加电压变化而变化，可 是当外界电压达到击穿电压后电容
器就突变成一种可以导电的状态。
3. 化学酸碱滴定过程中PH的变化也是非线性的。

加入NaOH(ml)
0
90.00
99.00
99.90
中和百分比
0
90.00
99.00
99.90
混合溶液的PH
1.00
2.28
3.30
4.31

5

100.0
100.1
101.0
110.0
100.0
100.1
101.0
110.0
7.00
9.70
10.70
11.70
图 0.01000mollNaOH溶液滴定0.1000mollHCl溶液
可以看到在滴入氢氧化钠 99.90到100.1的过程中PH变化很快，
化学上，我们称之为PH突跃。
4. 两只眼睛的视敏度是一只眼睛的6-10倍。
5. 十枚橘子的价钱是一枚的十倍。但批发价格是不成 比例的：一大
箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。

通过以上这些例子 我们知道线性关系是互不相干的独立关
系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不< br>再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于线性叠加的增益
或亏损。
由此我联想到 人类社会的发展。从前，人与人的关系非常紧
密，人们群居，或称聚居，这相当于一种非线性，而随着时 代的
发展，人与人之间的冷漠，生疏是否在走向“互不相干”的独立
线性关系呢？
这一种由线性向非线性的转化，究竟是一种进步，还是一种
退步呢？

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与非线性定义相关的两个词是混沌和耦合。
混沌：1.古代传说中 指天地未分之前浑然一体的状态；2.
模糊，糊涂。（《现代汉语规范字典》2005年7月第一版）
混沌，可以近似理解为非线性。天体运动存在混沌；电、光
与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场 在400万年间，方向突变16
次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统
的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混
沌的，混沌正是生命力的表现。
宇宙形成之初的状态是混沌的。我们可以从输入输出的角度
理解。能量的输入与输出既不是成正比例也 不是成反比例的。

耦合： 物理学上指两个或两个以上的体系或运动形式之间
通过 各种作用而彼此影响的现象。例如在两个单摆中间连一根线，
它们的振动就会发生耦合。（《现代汉语规 范字典》2005年7月
第一版）
由此我们联想到排列组合问题中的耦合问题。
有 甲乙两副纸牌各n张，编号1至n，把牌洗过后配成n对，每
对甲乙纸牌各一张，若有同一队的两张牌同 号则说又一个耦合，问至
少有一个耦合的配牌方法有多少种？
通过容斥原理我们可以得到想要的公式：

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n!*(1 -
11
n?1
1
?????（?1）
)
2！3！n!但如果不存在耦合呢？就是说，甲乙两副牌中牌号两两不同，要
求配牌方法则显然要容易的多了。
耦合与否类似于非线性和线性，我们看出线性问题的处理要比非
线性问题容易得多。
正如我们说1+1=2是一种简单线性，1+1=3，1+1=4相当于非线
性，似乎非线性是更远离我 们认识范围的。又比如线性方程组的求解
相对非线性方程组要简单许多。
我认为，实质上线性 只是非线性的一种理想化模型，一种近似处
理和特殊情况。其存在意义类似于质点，光滑曲面及匀速直线 运动。
因而观点二：线性是从数学含义上对非线性的近似，它只是简化问题
的一种手段。 这里我也就回答了刚刚提出的关于人类社会是进步还是退化的
问题，如果我们尚且不能说这是一种退 步，但起码这是一种简化，一
种向简单方向的特化。
为了说明观点二我们举线性规划为例。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 当我
们得到的数学模型的目标函数为线 性函数，约束条件为线性等式
或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
比如我们在处理最简 单的问题，工厂如何安排人手生产不同
产品获取最大利润的问题，我们在编写目标函数时往往单纯的把< br>
8

某件物品的利润与它的价格相乘。但我们忽略了经济中的基本规< br>律，也就是说，当供求关系改变时，产品的利润也会随之发生变
化。因此线性规划其实只是一种简 化的模型。
同时，我们又考虑，线性与非线性简单叠加的结果往往是非线
性的，这就类似于0 与任何实数的乘积都是0，因为0在乘法运算中
起主导作用。我们也可以考虑，非线性其实是起主导作用 的。
因此，我们可以认为线性是从数学含义上对非线性的近似，它只
是简化问题的一种手段。

在这里，我对我的前两个观点做一个简要的总结：
观点一：“线性”在文学角度和自然科学角度的定义有着不
同的外延和内涵。
观点二：线性是从数学含义上对非线性的近似，它只是简化问
题的一种手段。
由于线性的特殊性，其特性已被广泛研究，而非线性则是一
片相对未被开发的领域，其概念，性质， 哲学意义都未得到充分
发掘。
观点三：非线性是一门深奥的学问，尚待深入研究。
从我粗浅的表述中大家就可以看出我对它认识尚少了。


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参考文献：
百度百科
百度知道
微积分教材
现代汉语规范字典
高中数学竞赛辅导
化学原理自编讲义
附：下划线部分为直接引用资料


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