费马点的论文

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费马点的论文
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而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在
三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶
点距离之和最小。即在abc内求一点p, 使 pa+pb+pc
之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种
情况:
①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的
时候，则费马点就是这个内角的顶点。
下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点p,延
长ba至c’使得ac=ac’，做∠c’ap’= ∠cap，并且使
得ap’=ap, pc’=pc，即把三角形apc以a为中心做旋
转变换(如图)。
则△apc≌△ap’c’（旋转的不变性）
∵∠bac≥120°（已知）
∴∠pap’=180°-∠bap-∠c’ap’（平角的意义）
=180°-∠bap-∠cap（ 等量代换）=180°-∠bac≤60°
∴等腰三角形pap’中（已知ap’=ap），ap≥pp’
（∠pap’＜∠ap p’） ---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下 载--------------

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∴pa+pb+pc≥pp’+pb+ p’c’>bc’（两边之和大
于第三边）=ab+ac（已知ac=ac’）
所以a是费马点。即之前的结论。
下面探讨第二种情况：
②如果三个内角都在 120度以内，那么，费马点
就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为
120度的点。
做△abc内一点p，使得∠apc=∠bpc=∠cpa=120°，
分别作pa,pb ,pc的垂线，交于d,e,f三点（如图），再
作一点p’，不与点p重合，连结p’a,p’b,p ’c，过
p’作p’h垂直ef于h。
∵∠apb=120°，∴∠pab+∠pba＝180°－120°=60°
且∠paf=∠pbf=90°，∴∠f=180°－（90°+90°－
60°）
同理可得：∠d=∠e=∠f=60°，即△def为等边三
角形，设边长为d，面积为s。
则s= 12 d (pa+pb+pc)
∵p’h ≤ p’a
∴ 12×d×p’h×2s ≤12 ×d ×p’a×2s
又∵12×d×p’h=△ep’f ∴ 2s△ep’f≤ d ×p’a×s
同理有：2s△dp’f≤d ×p’b×s ， 2s△ep’d≤d ×p’
c×s
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相加，得：2s(△ep’f+△dp’f+△ep’d)≤ d ×s (p’
a+p’b+p’c)
又∵△ep’f+△dp’f+△ep’d=△edf
2s×s ≤ d ×s (p’a+p’b+p’c) 两边同除以s，得：
2s ≤ d (p’a+p’b+p’c)
把s= 12 ×d (pa+pb+pc)代入上式可得：
pa+pb+pc≤p’a+p’b+p’c，当且仅当p,p’重合
时取到等号。
所以p是费马点，即与上述结论相符合。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点
的找法：
当三角形有一个内角大于或等 于一百二十度的时
候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在
120度以内，那么，费 马点就是使得费马点与三角形
三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初二㈢班 林贤昊
费马（pierre de fermat,1601—1665）是法国数学
家、物 理学 家。费马一生从未受过专门的数学 教
育 ，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世
纪的法国还找不到哪位数学家可以与之 匹敌。他是解
析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独
承17世纪数论天地的人。一 代数学大师费马堪称是
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17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定
理更是困惑了世间智者358年。
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