教材解读论文：证明方法教材解读

教材解读论文：证明方法教材解读
一、学前引入
人们认识事物通 常是通过观察一系列自然现象发现规
律的，所用方法是一种不完全归纳法，其规律的真伪性有待
进一步确定，那么如何才能正确的应用这些规律？ 教材先
让我们学习了归纳推理与类比推理，使我们掌握了发现真理
的思维方法 ，接着教给我们如何去判断和识别规律和结论
的真伪性，这就是综合法 ﹑分析法和反证法的证明方法.
二、排疑解难
（一）三种证明方法的合理选用
从命题的特点、形式去选择证明方法：
① 一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等
词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑
用反证法；
② 一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思
路不明显的命题，可以考虑用分析法；
③ 命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法
（二）综合法、分析法与反证法的进一步理解
1．综合法
（1）综合法是从原因推导到结果的思维方式
综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从

已 知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法（与分析法恰
恰相反），即从题设中的已知条件或已证的真实 判断（命题）
出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结
论的真伪性.简言之， 综合法是一种由因索果的证明方法.
(2) 综合法的应用
应用综合法时，应从命题的前提 出发，在选定了真实性
是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题），
再依次由它得 出一系列的命题（判断），其中每一个都是真
实的（但它们不一定都是所需求的），且最后一个必须包含
要证明的命题的结论，命题得证.同分析法一样并非一上来
就能找到通往命题结论的思路，只有 在证明的过程中对每步
结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.
(3) 综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向. 仔细分析题目的已知条
件（包括隐含 条件），分析已知与结论之间的联系与区别，
选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路 ；
第二步：转化条件，组织过程. 把题目的已知条件，转
化成解题所需要的语言，主要是文 字、符号、图形三种语言
之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清
晰的思路;
第三步：适当调整，回顾反思. 解题后回归解题过程，

可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总
结解题方法的选取.
（4）综合法证题格式
从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，
由“推 知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推
法的格式，它的常见形式 .
2．分析法
（1）分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思
维方式
分析法是数学中常用的一种直接证明方法. 就证明程
序来讲，它是一种从未知到已知（从结论 到题设）的逻辑推
理方法.具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，
由此逐步推出保证 此结论成立的必要的判断.而当这些判断
恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证（应该强调的一点是它
不是由命题的结论去证明前提）.因此， 分析法是一种知果
索因的证明方法.
(2) 分析法的应用
应用分析法时，并非一 开始就确信由结论出发所产生的
那些推断（或命题）都正确，各推理步骤及依次考虑的概念
定理 、法则、公式等合适.这种推理方法仅仅是建立与需要

证明的命题 的等效关系，逐个判断，在得到了所需的确定结
论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各 步
推理适当与否，从而找出证明的途径.
(3) 分析法的证明“若a成立,则b成立”的思路与步
骤
要证(或为了证明)b成立, 只需证明 成立( 是b成立的
充分条件).
要证 成立,只需证明 成立( 是 成立的充分条件).
? ,
要证 成立,只需证明a成立(a是 成立的充分条件)..
a成立,b成立.
3.反证法
（1）反证法的认识：反证法是间接证法中的一种， 从
命题的角度来看，由于原命题与它的逆否命题具有相同的真
假性，所以反证法的证明思路是证 明原命题的逆否命题成
立.
反证法是一种逆向思维的一种推理方式，它常可将肯定
正 面转化为否定反面，由反面的否定得出正面的肯定，从而
避开直接肯定正面的障碍，正因为如此，反证法 往往可以完
成直接证明难以完成的工作.
(2)反证法的步骤:

① 反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反而
成立；
② 找矛盾:由“反设”出发,通过正确地推理,导出矛
盾--- 与已知条件已知公理,定义,定理,反设及明显的事实
矛盾或自相矛盾.
③ 结论:结论的反面不正确,肯定结论成立
（3）宜用反证法的题型有：
（a）一些基本命题，一些基本定理;
（b）：“否定性”命题;
（c）“惟一性”命题;
（d）“至多”“至少”类命题;
（e）涉及“无限”结论的命题.
三、典型例题
题型1用综合法证明数学命题
例1对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：
①对任意的 ，总有 ；② ；③若 ，都有 成立，则称函数 为
理想函数．
(1) 若函数 为理想函数，求 的值；
(2)判断函数 （ ）是否为理想函数，并予以证明；
【思路指引】 认识新定义的意义，特殊赋值求值或证
明函数 （ ）满足三个条件.

解析：（1）依据目标，2个条件特殊化赋值，取 可得 ． 又
由条件① ，故 ．
（2）验证函数满足3个条件，显然 在[0，1]满足条件
① ；
也满足条件② ．若 ， ， ，则
，即满足条件③，
故 理想函数．
【名师指引】 把握新定义，满足条件求值特殊化赋值，
判断是否适合新定义，逐个验证条件，用综合法完成。.
（陕西洋县中学）