高中理科数学导数求参数取值范围专题复习题

.
导数中的求参数取值范围问题
一、常见基本题型：
（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，
如已知函数
f(x)
增区间， 则在此区间上导函数
f
?
(x)?0
，
如已知函数
f(x )
减区间，则在此区间上导函数
f
?
(x)?0
。
（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值
问题。
（3）知函数图象的交点情况，求参数的取值范围，可转化为求极值问题

例1.已知
a?
R，函数
f(x)?(?x
2
?ax)e
?x
.（< br>x?
R，e为自然对数的底数）
（1）若函数
f(x)在(?1,1)
内单调递减，求a的取值范围；
（2）函数
f(x)
是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，
请说明理由.
. .

.


例2：已知函数
f
?
x
?
?alnx?ax ?3
?
a?R
?
若函数
y?f(x)
的图像在点
( 2,f(2))
,
处的切线的倾斜角为
45
，对于任意
t?[1,2 ]
，函数
g
?
x
?
?x
3
?x
2
[f

(x)?
间
(t,3)
上总不是单调函数，求
m
的取值范围；
m
]
在区
2
. .

.



例3.已知函数
f(x)?lnx?x?
1
4
3
?1
．
4x
（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）设
g(x )??x
2
?2bx?4
，若对任意
x
1
?(0,2)，
x
2
?
?
1,2
?
，不等式

f(x
1
)?g(x
2
)
恒成立，求实数
b
的取值范围．
. .

.


例4．设函数
f(x)?x
2
?mlnx,h(x)?x
2
?x?a
,
(1)当
a
＝0时，
f
(
x
)≥
h
(
x
)在(1，＋∞)上恒成立，求实数
m
的取值范围；
(2)当
m
＝2时，若函数
k
(
x
)＝
f
(
x
)－< br>h
(
x
)在[1,3]上恰有两个不同零点，
求实数
a
的取值范围．
. .

.


例5.已知函数
f(x)?x
2< br>?alnx.
若函数
g(x)?f(x)?2x
在[1，4]上是减函数，求< br>实数a的取值范围。
. .

.

例6.已知函数
f(x)?e
x
?1?x

4
若存在
x?[?1,ln]
，使
a?e
x
?1?x?0
成立 ，求
a
的取值范围；
3
. .

.



例7.已知函数
ln(1?x）
，设
3
f(x)?
取值范围.
.
x
h(x)?xf(x)?x?ax
在（0，2）上有极值，求a的
.

.

例8.设函数
f(x)?2x
3
?3 (a?1)x
2
?6ax?8其中a?R
．
(1)若f(x)在x?3处得极值,求常数a的值.

(2)若f(x)在(??,0)上为增函数,求a的取值范围
. .

.



例9．已知三次函数
f (x)?ax
3
?5x
2
?cx?d
图象上点(1,8)处的切线经 过点
(3,0),并且
f(x)
在x=3处有极值.
（１） 求
f(x)
的解析式.
（２）
.
x?(0,m)
时,
.
f(x)
>0恒成立,求实数m的取值范围. 当

.


例10.已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?3x在x??1,x?1
处取得极值
(1)求函数
f(x)
的解析式.
(2)若过点
A(1,m)(m ??2)
可作曲线y=
f(x)
的三条切线,求实数m的取值范围.
. .

.

例11．已知
f(x)?x
2
?c,
且
f[f(x)]?f(x
2
?1)
。
（1）设
g(x)?f[f(x)]
，求
g(x)
的解析式。 （2）设
?
(x)?g(x)?
?
f(x)
，试问：是否存在< br>?
?R
，使
?
(x)
在（
??,?1
）上是
单调递减函数，且在（
?1,0
）上是单调递增函数；若存在，求出
?
的值；若不存
在，说明理由。
. .

.
参考答案
1.
解： （1）
f(x)?(?x
2
?ax)e
-x

2-x

?f
?
(x)?(?2x?a) e
-x
?(?x
2
?ax)(?e
-x
)
=
?
?
x?(a?2)x?a
?
?
e
.

要使f(x)在
?
-1,1
?
上单调递减， 则
f
?
(x)?0
对
x?(?1,1)
都
成立，

?x
2
?(a?2)x?a?0
对
x?(?1,1)
都成立.
?
g(?1)?0,
令
g(x)?x
2
?(a?2)x?a
，则
?

?
g(1)?0.
?
1?(a?2)?a?0
3

?
?
,
?a??
.
2
?
1?(a?2)?a?0
（2）①若函数
f(x)
在R上单调递减，则
f
?
(x)?0
对
x?
R 都成立
2-x
即
?
?
x?(a?2)x?a
?
?
e?0
对
x?
R都成立.

e
?x
?0,?x
2
?(a?2)x?a?0
对
x?
R都成立
令
g(x)?x
2
?(a?2)x?a
，
图象开口向上
?
不可能对
x?
R都成立
②若函数
f(x)
在R上单调递减，则
f
?
(x)?0
对
x?
R 都成立，
2-x
?
即
?
x?(a?2)x?ae
??
?0
对
x?
R都成立，
e
?x
?0,

?x
2
?(a?2)x?a?0
对
x?
R都成立.
??(a?2)
2
?4a?a
2
?4?0

故函数
f(x)
不可能在R上单调递增.
综上可知，函数
f(x)
不可能是R上的单调函数
a
2
解：
由f

(2)???1,a??2

2
?f(x)??2lnx?2x?3

m
?g(x)?x
3
?(?2)x
2
?2x, g

(x)?3x
2
?(m?4)x?2
2

令
g

(x)?0
得，
??(m?4)
2
?24?0

故
g

(x)?0
两个根一正一负，即有且只有一个正根
32

函数
g
?
x
?
?x?x [f(x)?
m
]
在区间
(t,3)
上总不是单调函数
2
g

(0)??2?0,?g

(t)?0,g

(3) ?0



?
g(x)?0
在
(t,3)
上有且只有实数根

?
m??
2
37
, (m?4)t?2?3t
2
故
m?4??3t
，
t
3
. .

.
2
37
?3t在t?[1,2]
单调减，
?
m??9
，综合得
??m??9

t
3
13
3
解：（I）
f(x)?lnx?x??1
的定义域是
(0,??)

44x
而
y?
1134x?x
2
?3

f
?
(x)???
2
?
2
x4
4x4x

由
x?0
及
f
?
(x)?0
得
1?x?3
；由
x?0
及
f
?
(x)?0
得0?x?1或x?3
，
故函数
f(x)
的单调递增区间 是
(1,3)
；单调递减区间是
(0,1),(3,??)

（II）若对任意
x
1
?(0,2)
，
x
2
?< br>?
1,2
?
，不等式
f(x
1
)?g(x
2
)
恒成立，
问题等价于
f(x)
min
?g(x)
max
，
由（I）可知，在
(0,2)
上，
x?1
是函数极小值点，这 个极小值是唯一的
极值点，
1
故也是最小值点，所以
f(x)
min
?f(1)??
；
2
g(x)??x
2
?2bx?4,x?
?
1,2
?

当
b?1
时，
g(x)
max
?g(1)?2 b?5
；
当
1?b?2
时，
g(x)
max
?g (b)?b
2
?4
；
当
b?2
时，
g(x)max
?g(2)?4b?8
；
问题等价于
?
?
1
?
b?1
??2b?5
?
?2
或
?
?
1
?
1?b?2
??b?4
?
?2
2< br> 或
?
?
1
?
b?2
??4b?8
?
?2

解得
b?1
或
1?b?
14
或
b??

2
即
b?
?
14
14
?
，所以实数
b
的取值范围是
?
??,
?
< br>?
2
2
??
。
4.
解：(1)由
a
＝0，
f
(
x
)≥
h
(
x
)，
可得－
m
ln
x
≥－
x
，
x
∈(1，＋∞ )，即
m
≤
x
ln
x
.
. .

.
记
φ
(
x
)＝
x
ln
x
，则
f
(
x
)≥
h
(
x< br>)在(1，＋∞)上恒成立等价于
m
≤
φ
(
x
)min
.
求得
φ
′(
x
)＝
ln
x
－1

ln
2
x
当
x
∈(1，e)，
φ
′(x
)＜0；
当
x
∈(e，＋∞)时，
φ
′(
x
)＞0.
故
φ
(
x
)在
x
＝e处取得极小值，也是最小值，
即
φ
(
x
)
min
＝
φ
(e)＝ e，故
m
≤e.
(2)函数
k
(
x
)＝
f
(
x
)－
h
(
x
)在[1,3]上恰有两个不同 的零点等价于方程
x
－
2ln
x
＝
a
，
在[1,3]上恰有两个相异实根．
2
令
g
(
x
)＝< br>x
－2ln，则
g
′(
x
)＜1－.
x
当
x
∈[1,2)时，
g
′(
x
)＜0；
当
x
∈(2,3]时，
g
′(
x
)＞0.
∴
g
(
x
)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函 数．
故
g
(
x
)
min
＝
g
( 2)＝2－2ln2.
又
g
(1)＝1，
g
(3)＝3－2ln3，
∵
g
(1)＞
g
(3)，∴只需
g
(2)＜
a
≤g
(3)．
故
a
的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].
5
解：由
g(x)?x
2
?alnx?

2a2
，得
g
?
(x)?2x??
2
．
xx
x
2
又函数
g(x)?x
2
?alnx?
为 [1，4]上的单调减函数。
x


则
g
?
(x)?0
在[1，4]上恒成立，．
a2
?
2
?0
在[1，4]上恒成立．
x
x
所以不等式
2x?
即
a?
2
?2x
2
在[1，4]上恒成立。
x
设
?
(x)?
2
?2x
2
，显然?
(x)
在[1，4]上为减函数，
x
63
所以
?
(x)
的最小值为
?
(4)??.

2
63

?a
的取值范围是
a??.

2
. .

.
x
a?e?1?x,
即
a?f(x).

6
解:（1）
令

f
'
(x)?e
x?1?0,x?0.
f
'
(x)?0,x?0


x?0
时，时，
f
'
(x)?0.

?f(x)
在
(??,0)
上减，在
(0,??)
上增.
4
??
x
0
?
?
?1,ln
?
3
?
时，
?f(x)
的最大值在区间端点处取到.
?
又
1
?
4
?
44
f(?1)?e
?1
?1 ?1?,f
?
ln
?
,??1?ln
e
?
3
?
33
，
4114
?
4
?
14
f(?1)?f
?
ln
?
???1?ln???ln?0,3e33
?
3
?
e3

4
???
4
?
1
?1,ln
f(?1)?f
?
ln< br>?
,?f(x)
,
??
3
e
??
?
3
?
?
在上最大值为
故
a
的取值范围是
a?
1
e
，
7 解：由
h(x)?x?f(x)?x?ax
3
可得，

8（１）由
f
'
(3)?0解得a?3.经检验知a?3时,x?3为f(x)的极值点

（2）
保证f
'
(x)?6x
2
?6(a?1)x?6a 在(??,0]上最小值大于或等于零
?
a?1
?
a?1
?0
?0
??
故有
?
2
或
?
2
??
f
'
(0)?0
?
??0
?
可解得a?0

9分析:(1)
f(x)?x
3
?5x
2
?3x?9

. .

.
(2).f
'
(x)?3x
2
?10x?3?(3x?1)(x?3)
11
由f
‘
(x)?0得x
1
?,x
2
?3当x ?(0,)时f
'
(x)?0,f(x)单调递增
，
所以f(x)?f(0) ?9
33
1
当x?(,3)时f
'
(x)?0,f(x)单调递减, 所以f(x)?f(3)?0
3
所以当m?3时f(x)?0在(0,m)内不恒成立
，
当且仅当m?(0,3]时f(x)?0在(0,m)内恒成立
所以m的取值范围为(0,3 ]
10略解(1)求得
f(x)?x
3
?3x

3
?3x
0
),因为f
'
(x)?3x
2
?3
(2 )设切点为
M(x
0
,x
0
2
所以切线方程为y?m?(3 x
0
?3)(x?1),又切线过点M
32
所以x
0
?3x
0
?m?(3x
0
?3)(x
0
?1)
32
即2x
0
?3x
0
?m?3?0?
因为过点A可作曲线的三条切线 ,所以关于x
0
的方程?有三个不同的实数根
322
设g(x
0)?2x
0
?3x
0
?m?3则g
'
(x
0< br>)?6x
0
?6x
0
由g
'
(x
0
)?0得x
0
?0或x
0
?1
所以g(x
0
)在( ??,0),(1,??)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故函数g(x
0
)的极值点 为x
0
?0,x
0
?1
?
g(0)?0
所以关于x
0
的方程?有三个不同实根的充要条件是
?
解得?3?m??2
?< br>g(1)?0
所求的实数m的取值范围是(?3,?2)
11分析：（1）易求c=1,
g(x)?x
4
?2x
2
?2

（2）
?
(x)?g(x)?
?
f(x)
＝
x
4
?(2 ?
?
)x
2
?(2?
?
)
，∴
?
?
(x)?2x[2x
2
?(2?
?
)]

由题意
?
(x)
在（
??,?1
）上是单调递减函数，且在（
?1 ,0
）上是单调递增函
数知，
?
(?1)?0
是极小值，∴由
?
?
(?1)?0
得
?
?4

当
??4
，
x?(?1,0)
时，
?
?
(x)?0,
∴
?
(x)
是单调递增函数；
x?(??,?1)
时，
?
?
(x)?0,
∴
?
(x)
是单调递减函数。所以存在< br>?
?4
，使原命题
成立。



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. .

.
.
.