【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：“角”的概念(1)

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课程标题

高一 学 科

数学

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审核 隋冬梅
編稿老師
“角”的概念再解读
一校
1
黄楠
1
二校
康凯
1
林卉
忘【亟宜耋点易错点点点
1.
角的定义
正角，是以
x
轴正半轴为始边，逆时针旋转到终边所经过的角度?
记忆方法：关键的三个字：正逆终，终边经过的角度就是角的大小。 正（负）角：逆（顺）
时针旋转所形成的角。
象限角与非象限角
在宜角坐标系中， 使角的顶点与坐标与点
J8
合，角的始边与
x
轴的非负轴垂含，则：
（1）
象限角
苦角的终边（端点除外）在:第几象困.我们就说这个的是第几象限角.
例如：
30 ,390>,-330°
角都是第一象限角；
300 ,-60
角是第四象限角.
（2）
非象限角（也称象限间角、轴
线角）

若而的终边在坐标轴
h.
就认为这个的不属于任何象限。
例如：
90 ,180 ,270
角等。
说明：角的始边“与
X< br>轴的非负半轴重合”不能说成是“与
X
轴的正半轴重合气因为
X
轴的
正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
终边相同的角的集合
以特殊角
30°
为例：
所有与
30
。角终边相同的角，连同
30°
角门身在内，都可以写成
30
:+k-360*（kGZ）
的
形式：
反式,
所仃形如
30 +k?360°（k?Z）
的角都与
30
项|的终边相同。
从而将出般规律：
所有与角
a
终边相同的角,连同角。在内.凹构成?个集 介,即：
任
一与角
a
终边相同 的角.
都诃以表示成角［与整数个周角的和。
注意；终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.
2.
弧度和度的转换
弧
AB
的长=半径，则孤
AB
所对圖心角记为
1
弧 度。
1
孤度=(?)度.
lrad*57.3*
使用文档

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应用：
sm5. cos4? tan2
比大小.凹宜接判断象限，进而可判断正仇匕
度 f 弧度
弧度 f 度
<9=ii°x^18O°
=^xl80°^
n
°
记忆方法：先 写出式子詈
=g
，然后从题目给出的条件中找对应。
3.
弧长与扇形面积公式：
弧长公式
L=6R
面积公式
S
=

L
Q
^=L
LR

2 2
记忆方法：弧长公式迥过联想圖的周长和弧度定义来
id
忆，面枳公式按类三角形来记忆。
题型一终边相同的角的集合的表示
例題
1
終边落在坐标轴上的角的集合为()
A.[aa = hi
;
kEL}

C?{aa
=如+
B.
与，
XeZ >
D*
比=与,底
解析：表示终边相同的角的集合， 必
ffkeZ,
而不能
ffkeN.
故
D
错。
答案：
解法一:
排除法。
终边在坐标轴上的角有
4
条终边.取
k=l, 2. 3, 4…，
可知只有
B
占有四个坐标轴的方向.
解法二：推演法。
终 边在坐标轴上的角的集合为“…，一
2
左,一?左,一左,一兰,
0
修,°爪
21,
???”，可
以看作
2 2 2 2
“双向等差数列”，公笔为兰，取初始角
a = 0
2
故
a = 0 + fk(kEZ)n]oj号,
kcz],
故选
B
点拨：终边在
x
轴的角的集合，公差为；
r,
取初始角
a = 0=>(a|?7 = k^.kGZ}：
终边在
y
轴的角的集G 公差为；
r,
取初始=
(tz|(7 = k7 + —.keZ).
■ ■
題型二象限角问题
例題
2
若
Q
是第：象限的角，则?是笫几象限的角？ ?是第几象限的角？
2
。是第几象限 的
角？
解析，由于。是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出。的范
I
札 进而求得
p-.2?
的范|乩判定其所在的象限。
答案：由
a
是第二象限的角得
k - 360* +90’ 使用文档

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(1) k- 180 < — e
+90° (kcZ )
2
①
则?是第一象限角：
② 当
k = 2n+l(neZ)
时，
n ? 360“ +225° V —Vn?36(T +270’
则?是第三象限角.
综合①、②叩知，?是第一或第三象限角。
当
k = 2n(DGZ)
时，
n - 360° +45* < - +90° (DGZ), 2
k
a
k
(2) - ? 360 +3
。?
< —<-* 360 +60° (keZ )
3 3 3

.
360'+60“
(neZ ).
则色是第一象限
①当
k = 311(11
芸
Z)
时，
n - 360
1
+ 30
<
D
?
角:
②
当
k = 3n + l(iiGZ)
时，
n? 360° +150’ 4
+180“ (neZ).
则?是第 二象限角；
③
当
k = 3ii4-2(neZ)
时，
n ? 360° +270° ),则?是第 四象限倍.
综介①、②、③可知，丝是第?、第二或第四象限角。
3
(3) 2k-360° + 180
。
<2
。
V2k? 360
。
+ 36O°(ke Z)
故
2
。是第
1
、第四象限角或是终边落在< br>y
轴的负半轴上。
点拨：知道角口所在的象限，则…所在的象限也可由象限等分法得到.卜面以?为 例说明.如图
所示，将每一个象限二等分(或若是;，則三等分，…….)从
x
抽正向起按逆时 针方向在各等分区
域标上数字
1，2, 3, 4. 1. 2. 3, 4……；
若。是第一象限角.则?在标有数字
1
的区域内：
腿是第二象限角,则訐标有数字
2
的区域内:
以此类推，则很容易确定日所在的象限.
【拓展总结，提升貫分虫读】
弧长与房形面积的最值问题
例题 有-周长为
4
的扇形，求该扇形面积的最大偵和相应圆心角的大小.
解析：运用扇形的面枳公式和弧长公式建B函数关系.运用函数的性质来解决最偵问题。 答
案：解法一：设扇形的半径为『，弧长为
1，
岡心角为
Q
（孤度），扇形面枳为
S
。
依題意知:
2r+l = 4（l>0,r>0）
S = |lr = ?(4 - 2i)r = -r
2
+2r = -(r-1)
2
+1
当
r = l,l = 2
时.
=1.
此时
Q = ： = 2
(弧度)。
解法 二：设扇形的半径为弧
K
为
1.
圖心角为。（弧度）,扇形面积为
S . fr >0
, S = —11.4 = 2r +1 2 2V2br n S = —1 r
《
1 .
依題意有
1 >0
2r +1 = 4

2 2

r
故当且仅当
2r = 1 = 2
时，即|
=2
时，扇形面积最大，最大值为
1，
此时
a=- = 2
（弧
[r = 1
度）.
使用文档

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点援:求扇形最值的一般方法是根据扇形的面枳公式.将其转化为关干半径（或圖心角）的 函
数表达式，进而求解。除此之外，也町直接设出两个参数，利用基本不等式求最值。本题
W
改 为
己知而枳为定值的扇形求周长的最小值的问題-
[即学即列巩冏投升】
（答题时间：
30
分钟）
1.
判断卜列命題的宾假并说明理由.
（1）
零角的始边与终边重命；
（2）
始边与终边垂合的角足零角。
2
冋答下列何題
（1）
锐角是第儿象限角？
（2）
第一象限的角一定是锐角吗。
（3）
小于
90
。角一定是锐角吗？
（4） 0?90
。的角一定是锐角吗？
3
若
sm（9cos^>0.
则
0
在（ ）
A
第一、二象限
B
第一、三象限
C.
第一、四象限
A
第一象限
C.
第三象限
D.
第二、四象限
B.
第二象限
D
第四象限
.
?
在(一
4
厅,
41)
内与-鄭终边重合的角
8

.
.
°
4
若
A
、
B
是锐角
△ABC
的两个内角，
则点、
P
（cosB-sinA. sinfi-cosA）
在
（
5.
把角
60
。
30,
化为弧度制为
6.
把角
y（rad）
化为角度制为
7.
是
8
岡的弧长等于该岡内接正三角形的边长，则该弧所对的圖心角的弧度数是
9
在扇形
AOB
中，
ZAOB = 90°,
孤长为
1,
则此扇形内切圆的面积是
10
己知扇形内切 圖半径与扇形半径之比为
1：3,
则内切圖面积与扇形面枳之比为
11
己知。是第三象限角，则:足第几象限伯。
12.
已知角
a = 45°,
(1)
在区间［一
720
。,
0
。］内找出所有与角
a
有相同终边的角们
(2)
集仑
M={x|x=§xl80° + 45)k?z}, N ={x | x= § x 180
。+
45
。，
k ? z} ,
那么 两集合的关系
是什么？
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1.
解:
（1）
为真命题
：（2）
为假命题，反例
360
。等.
2.
解:
（1）
第一象限：
（2）
不一定，反例
361
。：
（3）
不一定，反例零他或负角：
（4）
不一定，反例
0
。，
90°.
3. B
解析
：
.打!!!。、
co
同号.当
sm8>0, cos8>0
时，。在第一象限’当
sin
。
<0. co
院V。
时，
8
在第三象限,故选
B.
4 B
解析
：?.?A, B
是锐角三角形的两个内角，
AA+B>90°. .B>90°-A. .cosBsmB>cosA.
故选
B>
—
.
(rad)
、
解析：
67°30
r
=67.5
o
=—x67.5 =
180
—(rad)
0

8
144
——
4r, .. 4^ 180
解析:
5
(rad) =——
5
x -
1
--- = 144 .
MU


12r 26r
7.
16^ 2r
8. >3
9 4(3-2%
1
10 2 ： 3
解析：如图.两图形半径之比为
1： OA : 0^=3 : 1. .??OO，：

A ZBOO
#
= - . ZCOD =
6
—.
3
标
S
以。它
=23
1
2
X
?
3
XOA
^
11-
解法一：因为々是第三象限角，所以
25+rvav2k;r + ；;r（keZ），
.?.
3
竺

丄纭竺宀知
3 3
eZ),
3

2
..?当
k=3m （m?Z
）时?:为第一象限角：
当卜
3m+l （mEZ）
时，
g
为第三象限角
3
:
当
k=3m+2 （inEZ）
时，凹为第四象限角;
故:为第一、三、四象限角。
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OB=2：

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谢法
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3
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31

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冊
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