【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：用三角形法则与平行四边形法则解向量

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高中数学巧用三角形法则与平行四边形法则解向量问题
!1!
编稿老师王应祥：一校|



杨雪［二校 安宁 审核！隋冬梅
［申点遊点蜀計世点粘而】
1.
三角形法则
向景加法的三角形法则要特别注意“首尾相接”，即第?个向貝:要以第-个向策的 终
点为起点。订以推广到
n
个向埼相加的情况：
^ + BC+CD + DE = ^
（注意字母必
须首尾顺次连接伽）?
（2）
向最减法的三角形法则,可以归纳为“共起点,箭头由减数指向被减数
2.
平行四瑛法则_
如图，作
0A= a,OB=b.
以
61,
况为边作平行四边形
OACB
.
连接
BA
,
则
B A=a-b.
OC=a+b
3.
几何意义:一般地
|a+bHa|+|b|；
当
a
与
B
不共线时，
|a+b|<|a|+|b|；
当；与&共线且同向
时,
|a+b|=|a|+|b|；
— — — — — —
当
a
与
b
共线且反向时,
|a+b|=||alb||?
MS?
A 0
【耳題燈蹇名校題 器雑经典】
例題
1
己知正方形
ABCD
的边长为
1, AB = 5
.亙
=6.
BC
=B,
则
|5+B+6|
为
D 2>2 B 3
:
C. ^2
解析：由正方形的边氏为
1，
可很正方形的対角絞
AC
长为屯，
a^b^c

=

|
AB
+
BC
+

^|

=

|
AC
+

?Z|

=

2|
AC
|=2>2
答案，
D
点拨：题目若用数號枳公式，显然运算成大,而利用加法的几何意义,则迎刃而解.
例题
2
己知
|a| = |b| = |a-b|.
求
a
与
a+b
的夹角。
解析：根据三角形法则，设
OA= = b,
由同=时亦-屮
J
知
AOAB
是等边三角 形，
由平行 四边形法则且|』?冋，则可知
a+b
平分
ZBOA,
所以
a^ja +b
的央角为
3
。］ .
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点拨*考虑到向昂:的模为线段的长度及三角形减法的几何意义，时=时=|』-』叮推 出三
角形是等边三角形，是解决问題的关键。
例題
3
已知
AABC
和点
M
满足遂蚌
M
塞
MC=O
，若存在实故
in
使得
AB+ AC= mATi
成立，则皿= ________________________ .
解析：由题目条件可知，
M^AABC
的垂心，连接
AM )(?
延长交
BC
于
D.
? 2 ?
则
AM =- AD.①
因为
AD
为中线，则
AB + AC = 2AD = niAM ,
即
2AD = mAM②，
联立①②诃得
m=3°
答案，
3
点拨：本题考否平面向虹基本定理及向最的加法法则，解题的关键是确定点
M
是
AABC
的重心。
明翁
t
拓屐建结?提升畫分必读】
向量法突破三点共线问题
1< br>.若点
P
为线段
AB
的中点，
O
为平面内的任意一点 ，则
OP=-
(OA+OB ).
如图所

2.
三点共线的性质定理：
(1)
若平面上三点
A
、< br>B
、
C
共线，则
S=ABCo
(2)
若平面上三 点
A
、
B
、
C
共线，
O
为不同于
A
、
B
、
C
的任意-,点，则
OC
=；
OA+-
^OB f
旦
a,
〃?
R? z+i=U
【満分训练】
o
是平面上一定点，
A, B, C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OP=OA+l(AB+??). Xe[0, +oo),
好
IP
的轨迹一定通过
XABC
的

解析：设
BC
中点为
D.
则
AD< br>为
ZkABC
中
BC
边上的中线旦屈+束
=2
丽，
：
心.
V OP = OA+A(AB+AC) . OP- OA=i(AB+AC),AP=A(AB+AC) = 2^AD , .APAD> AA.
P< br>、
D
三点共线.所以点
P
—定过
△ABC
的爪心?
答案帀:
点拨：题目主要号査向所共线的充要条件及向帝加法、减法的运算.注意到运耸的儿何
意义是解决问题的关键。
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[即学即須巩固程升】
(答题时间：
30
分钟)
1.
若
OE
、半竺线的任意三点，则以M档成四是( )
A CT =OF+OE B. EF =OF-OE
C. EF=-OF+OE D EF=-OF-OE
2.
设点
M
是线段
BC
的中点.点
A
在 直线
BC
外.
BC
2
=16.
I
A
B+
AC|=|AB-AC|.
|则
AM |
等于＜ )
A 8 B.4 C 2 D 1
3.
。是平面上一定点，
. ■
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OP = OA + X
( +? ), X G [ 0, + 00 ).
啪点
P
的轨迹?定通过的(
IABI IAC|
A
外心
B.
内心
C.
宽心
D
垂心
4
?点
P
在平面上做匀速
ft
线运动，
速度向靖
v = (4 —3)
(即点
P
的运动方向与
v
相同,
比何秒样司的旬离为
|v| f
没旬怡对
.A.P
的坐坏为
＜-10. 10).
则
5
杪后山
P
的坐
标为( )
A. (-2. 4)
B (-30, 25) C. (10. -5) D, (5, ~10) 5
一设平面向最
由、
a,
、毎的和为零向鼠，如果向量
6
、&、
&，
满足目=
2
珂，旦?顺时
?
针旋转
30
。后与
R
同向，其中
i = L2,3,
则(〉
A. B.
C. D. 0
6
如卜.图,两块斜边长相等的直角三角板拼在
?起，若
AD = xAB+ yAC ,
则
x=
y=
7. |a| = 5,|b| = 12,5M|a+b|
的最小值为




8
在矩形
ABCD ?|?. |
|
AB
||=1.

|
AD
|=2,
设
AB = = = c
则#+》+
c| =
9
一艘船从
A
点出发以
2 knrh
的速度向垂宜于对岸的方向行驶，船的实际航行速
度大小为
4kmh
求水流的速度。
10 o liAABC
所在平面内的?点.旦满足
O
C
|

=

|6
B
+OC-2O^|，MAABC
的形状为
11
如设点
O
任
ZXABC
内部，
H.＜f4OA+OB4-OC =0.
求
ZlABC
与
ZiOBC
的面枳
Z
比.
12.
设
G
、
H
分别为非等边三角形
ABC
的重心与外心
.A(0 ,2)?B(0,—2) fiOT = J5 ' (X ER).
(1)
求点
C (x. y)
的轨迹
E
的方程：
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（2）
过点
0）
作直线
L
与曲线
E
交于点
M. N
两点,没
OP = OM + ON?
是否 使
四边形
OMPN
为矩形？若#在，求出
ft
线的方程；开不存在?试说
（2.
存在这样的直
线
L,
明理由?
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1 B
解析：由减法的三角形法姻知
EF =OF-OE.
2. C
解析：由
BC
2
= 16.|B(?| = 4,| AB+ AC| = | AB- Ac| =
|
CB
|
= 4 .
而
AB+Ac| =2
网
网卜
2
。
3. B
解析：挚-表示扇方向上的单位向鼠,
I ABI
三? + -^在
NBAC
的平分线匕 故
P
点的轨迹过三
角形的内心。
伺表小
AC
方向上的箪位向量,
|AC| |AC|
A QA= (20,-15)4-(-10,10) = (10. -5).

4. C
解析：设
5
秒后点
P
运动到点
A,
则
PA = PO + OA= 5V = (20.-15).
5. D
解析；方法一；...冨+号+福=
6,...2
島+
2
島+
2；；=
。故把
2
亀
(1=1，2, 3),
分 别
按顺时针旋转
30’
后与
E
重合，故
5+&+
耳=
0.
应选
D-
方法二：令? =
5,
則号=-驾，由国意知&=-可，从而排除
B, C.
同理排除
A,
故
选
D,

6
?应?
2 2

解析：作
DF
丄
AB
交
AB
的延长线
F
F,
设
AB=AC=
1=BC=DE= ^2 ,
得
DF = BF
2
匹*巨=匹,
所以亦=匝屈布=匝疋
2 2 2 2
=
所以
AD= AB+BF + FD = (1 +
7 7
17
解析：由
||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.
又
|a| = 5,|b| = 12,
则
7
伞+』
故最小值为
7,
量大值为
17
。
8.4
解析：根据向量的?:伽形法则
^|a+^+c|= IAB+ BC + HD! = 2|AD|
9
解：如图,
<17
=4o

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设船在静水中的速度为句
=2jJkmh
实际航行的速度为
vo=4knvh,
水流的速度为电，则由
vi+v
2
=vot
得
(2V3 )
222
2
+
V
2
=4,

:.v=±2f
取
V2 = 2kniht
2
22
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即水流的速度为
2kmh,
故答案为：
2km?
10
直角 三角形 解析：
OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA= AB+AC .
.?棒+耳=网-同
OB-OC = CB= AB-AC,
故
A, B, C
为矩形的三个顶点，
△ABC
为直角三角形。
11 #?：
取
BC
的中点
D,
连接
OD?
HM
6
B
+6
C
=

26
D
,
v
4
OA
+6
B
+
OC
=0.

A 4OA= -(OB+OC) = - 2OD
，

A OA=——OD °
2
..?O
、
A
、
D
三点共线，
r L|6D|=2|OA|? AO
是中线
AD
上靠近
A
点的-?个三等分点,
S- ABC : S OBC
=3
: 2.
12
.解
：(1 )
由己知得
G(：W), XGH=AAB. A H(|,0)
?.? CH=HA :. (x- + y
2
= (j)
2
+ 4
即
5

+

§

=

1(
XH ±2>3):
(2)
设
1
方程为
y=k(x-2).
代入曲线
E
得
(3k
2
+l) X
2
— 12k'x+12 (k
2
-l) =0
]2k? 1_ i
设
N (xi. yi), M (X：. yj).
则
x
】
+x?= ~，xi&=
，xi X?
~—
VOP=ON + OM
，:.
四边形
OMPN
是平行四边形， 若四边形
OMPN
是矩形，则
ON
丄
OM ,
...心+。
?.?4
众(件^一畧+
4)=
。昨土心
3k-+1
?.?直线
1
为；
y = ±JJ(x-2)°
3k-+ 1 3k-+1
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