高中数学必修一专题_求函数的定义域及值域的常用方法

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函数的定义域与值域的常用方法
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般 形
式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域 ，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定
义域；一般地，我们可以在求解函 数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（ 3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法
解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1x）的一个 方程，则可以x代换－x（或
1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1x） ）即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻 找或构造它们之间的等量关系，列
出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限 定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是 由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的
范围，最后将 求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外 ，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负
数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］ 的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中
解出x的范围I
1
；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I
2
，I
1
和I2
的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在
叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类 后求得的各个集合求并集，作
为该函数的定义域；
（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C
＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； < br>4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述 ；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
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6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值
1 、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x
o
）＝M，则称当x＝ x
o
时f（x）取最大值
M；当x∈A时总有f（x）≥f（x
1
） ＝N，则称当x＝x
1
时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y＝f（x ）满足xy＜0，4x
2
－9y
2
＝36，求该函数解析式。
解：由4x
2
－9y
2
＝36可解得：
?
2?
?
2
x?9
?
?
?
3
?
2
?

?
x?9
3
x?9
3
2
2< br>y??
2
,x? 3
,x??3
。
y??
2x?9
3
2
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成

的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一 般式，然后再求出各个
参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段 河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均
水深为2m时，水流量为340m
3
s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
y?
k
x
，代入x， y的值可求得反比例系数k＝780m
3
s，故所求函数关系式为
y?
780
x
,x?0
解：设

。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
f (
x?1
x
)?
x?x?1
x
x?
2
2< br>例3. 已知
t?
，试求
f(x)
。
1
22
x?1
x
解：设，则
t?1
，代入条件式可得：
f(t)?t?t ?1
，t≠1。故得：
f(x)?x?x?1,x?1
。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对 同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联
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立求解。
f(x)?2f(
1
x
)?3x?4x?5
2
例4. （1）已知
（2）已知
，试求
f(x)
；
f(x)?2f(?x) ?3x?4x?5
1
2
，试求
f(x)
；
)?2f(x) ?3
1
x
2
解：（1）由条件式，以
x
代x，则得
f
f(
1
x
?4
1
x
?5
?
1< br>?
f
??
，与条件式联立，消去
?
x
?
，则 得：
?
x
?
?
2
x
2
?
8
3x
?x?
2
4x
3
?
5
3
。
2
f
?
?x
?
（2）由条件式，以－x代x则得：
f(? x)?2f(x)?3x?4x?5
，与条件式联立，消去，则得：
f
?
x< br>?
?x?4x?
2
5
3
。
说明：本题虽然没有给出 定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，
不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不 多，关键是合
理设置变量，建立等量关系。
例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶 点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的
路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；
当x∈（1，2）时：
当x∈（2，3）时：
故综上所述，有
?
x, x?
?
0,1
?
?
?
2
y?
?
x?1, x?(1,2]
?
?
?
y?x?1
2
；
2
y?
?
3?x
?
?1
；
?
3?x
?
2
?1, x?(2,3]


考点二：求函数定义域
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1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中 不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析
变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组 确定自变量的取值集合。
y?x?2?
x?3
x?4
例6. 求的定义域。
?
?
x?2?0
?
?
x?4
解：由题意知：
?
，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x>－2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。
例7. 已知函数由下表给出，求其定义域
X
Y
1
22
2
3
3
14
4
35
5
－6
6
17
解：{1，2，3，4，5，6}。

3、求与复合函数有关的定义 域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I
1
，
又由g（x）定义域可以解得x∈I
2
.则I
1
∩I
2
即为 该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求
解。
例8 已知f(x)?x? 3,g(x)?
2
x
x?4x?3
,求y?f(g(x))的定义域.

x
x?4x?3
2
由f(x)?x?3?x?3?g(x)?3??3 ?
解：
又由于x
2
－4x＋3>0 **
联立*、**两式可解得：
9?3
4
3
?x?1或3?x?
9?3
4
3
3

?
9?3
?
故所求定义 域为
?
x|
4
?
?
?x?1或3?x?
9?34
?
3
?
?
?
?


例9. 若函数f（2
x
）的定义域是［－1，1］，求f（log
2
x）的定义域。
解：由f（2
x
）的定义域是［－1，1］可知：2
1
≤2
x
≤2，所以f（x）的定义域为［2
1
，2］，故log
2
x∈［ 2
－－
－
1
，2］，解得
?
2?x?4
，故定义域 为
?
2,4
?
?
。

4、求解含参数的函数的定 义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
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例10. 求函数
f(x)?ax?1
的定义域。
解：若
a?0
，则x∈R；
若
a?0
，则
x??
；

a
1
a
1
若
a?0
，则
x??
；

故所求函数的定义域：

当
a?0
时为
R
，当a?0
时为
?
x|x??
?
，当
a?0
时为< br>?
x|x??
?
a
??
?
1
??
1
?
?
。

a
?
说明：此处求定义域是对参变量a进 行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，
必须根据a的不同取值范围分别论 述。

考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通 过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们
将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
y?
2x?3
x?1
的值域。 例11. 求函数
y?
2x?3
x?1
?
2
?
x?1
??1
x?1
?2?
1
1
解：
x?1
，因为x?1
?0
，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数 ，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行
求解。

2、配方法
例12. 求函数y＝2x
2
＋4x的值域。
解：y ＝2x
2
＋4x＝2（x
2
＋2x＋1）－2＝2（x＋1）
2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函 数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数
的值域也可采用此方法求解，如y＝af
2< br>（x）＋bf（x）＋c。

3、判别式法
例
13.
求 函数
y?
2
x?2x?3
4x?5x?6
2
2
的值 域。

y?
x?2x?3
4x?5x?6
可变形为：（4y－1）x
2
＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：
2
解：
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?
26?6
y?
?
71
?
3
,
26?6
71
3
?
?
?
。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数 的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定
义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外 给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能
用此法求解值域；第二，用判别式法求解 函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形
为一个关于x的一元二次方程后，该 方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法
例
14.
求函数
y?
?2
x
?3
，
x
∈［
4
，
5
］的值域。

y?
?2
x
?3513
5
解：由于函数
?
513
?
,
?
25
?
??
。
为增函数，故当x＝4时，y
min
＝< br>2
；当x＝5时，y
max
＝，所以函数的值域为

5、换元法
例15. 求函数
y?2x?41?x
的值域。
解：令
t?

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。
?
x,x?[1,2]
?
2
例
16.
求函数
y?
?
x,x?(2,3]
的值域。

?< br>2x?1,x?(3,4]
?
1?x?0
，则y＝－2t
2
＋ 4t＋2＝－（t－1）
2
＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。
解：当x ∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈
(
2，3］时，y∈
(
4，9］； 当x∈
(
3，4］时，y∈
(
5，7］。综
上所述，y∈［1，2］ ∪
(
3，9］。
7、图像法：
?
?
x,x≥2,
例17设f(x)＝
?
若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域 是 ( )
?
?
x,x<1,
2
A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，
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若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).
故选B.
8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域， 得到原函数的值
域。
1?2
1?2
1?2
1?2
x
x
例18求函数
y?
的值域。
x
x
解：由
y?
解得
2?
x
1?y
1?y
，
∵
2?0< br>，∴
x
1?y
1?y
x
x
?0
，∴
?1?y?1

∴函数
y?
1?2
1?2
的值域为
y?(?1,1)
。
9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例19：求函数
y?
x?1
x?1
2
2
的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为
R
，对函数进行变形可得
(y ?1)x
2
??(y?1)
，
y?1
y?1
∵
y ?1
，∴
x??
2
（
x
?
R
，
y ?1
），
∴
?
y?1
y?1
?0
，∴
? 1?y?1
，
∴函数
y?
x?1
x?1
2
2的值域为
{y|?1?y?1}

山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是 抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细； 夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥
嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿 ，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。

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