高中数学复合函数练习试题整理

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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A
?
B，则y关于x函数的y= f
［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知
f(x)
的定义域，求
f
?
g(x)
?
的定义域
f(x)
的定义域为D，即
x?D
，所以
f
的作用范围为D，又f对
g(x)
作用，作用范思路：设函 数
围不变，所以
g(x)?D
，解得
x?E
，E为
f
例1. 设函数
?
g(x)
?
的定义域。
，则函数
f(lnx)
的定义域为_____________。
f(u)
的定义域为（0，1）
的作用范围为（0，1） 解析：函数
f(u )
的定义域为（0，1）即
u?(0，1)
，所以
f
又f对lnx作 用，作用范围不变，所以
0?lnx
解得
x
?1

?(1，e)
，故函数
f(lnx)
的定义域为（1，e）
例2. 若函数
解析：由
f(x)?
1
，则函数
f
?
f(x )
?
的定义域为______________。
x?1
f(x)?
1
，知
x??1
即f的作用范围为
?
x?R|x??1
?
，又f对f(x)作用所以
x?1
?
x??1
f(x)?R且f(x )??1
，即
f
?
f(x)
?
中x应满足
?
?
x?R|x??1且x??2
?

f(x)??1
?
（ 2）、已知
思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域，求
f(x)
的定义域
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即x?D
，由此得
g(x)?E
，所以f的作用范围为E，又f对
x作用， 作用范围不变，所以
x
例3. 已知
解析：
即函数
?E，E
为
f(x)
的定义域。
f(3?2x)
的定义域为
x?
?
?1，2
?
，则函数< br>f(x)
的定义域为_________。
f(3?2x)
的定义域为
?
?1，2
?
，即
x?
?
?1，2
?
， 由此得
3?2x?
?
?1，5
?

f(x)
的定义域为
?
?1，5
?

，则函数
2
例4. 已知
f(x
2
?4)?lg
x
2
f(x)
的定义域为______________。
x?8
解 析：先求f的作用范围，由
x
2
x
2
f(x?4)?lg
2
?0
f(x)
的定义域为，知
2
x?8
x?8
2< br> 学习好帮手

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(4，??)

（3）、已知
f
?
g(x)
?的定义域，求
f
?
h(x)
?
的定义域
的作用范围为 E，又f对
h(x)
思路：设
f
?
g(x)
?
的定 义域为D，即
x?D
，由此得
g(x)?E
，
f
作用，作用 范围不变，所以
h(x)?E
，解得
x?F
，F为
f
?h(x)
?
的定义域。
例5. 若函数
f(2
x
)< br>的定义域为
?1，1
??
，则
f(log
2
x)的定义域为____________。
?
1
?
?
?
，2
?

?
2
?
解析：
f(2
x
)
的定义域为
?1，1
??
，即
x?
?
?1，1
?
，由此得
2
x
f
的作用范围为
?
1
??
1
?
，2，2
又f对
log
2
x
作用，所以
log
2< br>x?
，解得
x?
??
??
?
2
?
?
2
?
?
2，4
?

即
f(log
2
x)
的定义域为
?
2，4
?

（二）同步练习：
2
f(x)
的定义域。答案：
[?1,1]

f(x)[0,1]
1、 已知函数的定义域为，求函数
2、 已知函数
f( 3?2x)
的定义域为
[?3,3]
，求
f(x)
的定义域。答案：
[?3,9]

13
(?,0)?(1,)
2
3、 已知 函数
y?f(x?2)
的定义域为
(?1,0)
，求
f(|2x?1 |)
的定义域。答案：
2
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数
y?f(g(x))
.若
u?g(x)
在区间
(a,b< br> ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数
y?f(u)
在区间(c,d)上是减函 数，那么，原复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b
）上是增函数.
证明：在区间
(a,b
）内任取两个数
x
1
,x
2
，使
a
因为
u
即
u
1
?x
1?x
2
?b

?g(x)
在区间
(a,b
）上 是减函数，所以
g(x
1
)?g(x
2
)
,记
u< br>1
?g(x
1
)
,
u
2
?g(x
2
)
?u
2,
且u
1
,u
2
?(c,d)

因为函数
故函数
y?f(u)
在区间(c,d)上是减函数，所以
f(u
1
)?f(u
2
)
,即
f(g(x
1
))?f(g(x
2
))
，
y?f(g(x))
在区间
(a,b
）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
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y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))

增 ↗
增 ↗ 减 ↘
减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数
y?f(g(x))
的单调性判断步骤：
y?f(u)
与
u?g(x)
。 ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若 两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
y?f(g( x))
为增函数；
函数），则复合后的函数
（4）例题演练
例1、 求函数
若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减
y?f(g (x))
为减函数。
y?log
1
(x
2
?2x?3)< br>的单调区间，并用单调定义给予证明
2
解：定义域
x
2
? 2x?3?0?x?3或x??1
2
。单调减区间是
2
(3,??)
设
x
1
,x
2
?(3,??)且x
1
?x
2
则
y
1
?log
1
(x
1
?2x< br>1
?3)

y
2
?log
1
(x2
?2x
2
?3)

2
2
(x
1?2x
1
?3)?
(x
2
?2x
2
?3)2
2
2
=
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?2)
∵
x
2
?x
1
?3
∴
x
2
?x
1
?0

x2
?x
1
?2?0
∴
(x
1
?2x
1
?3)
>
(x
2
2
?2x
2
?3)
又底数
0?
∴
1
?1

2
y
2
?y
1
?0
即
y< br>2
?y
1
∴
y
在
(3,??)
上是减函数同 理可证：
y
在
(??,?1)
上是增函数
［例］2、讨论函数f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
的单调性.
［解］由
3x
2
?2x?1?0
得函数的定义域为
{x|
则当
a?1
时，若
x?1
，∵
u
若
x
当< br>1
x?1,或x??}.

3
?3x
2
?2x?1< br>为增函数，∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)为增函数.
??
1
，∵
u?3x
2
?2x?1
为减函数.∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为减函数。
3
，则
2
f(x)?log)
a
(3x?2x ?1
0?a?1
时，若
x?1
为减函数，若
x??
1
3
，则
2
f(x)?log)
为增函数.
a
(3x?2x?1
（5）同步练习：
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1．函数
y
＝
log
1
（
x
－3
x
＋2）的单调递减区间是（ ）
2
2
A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，
2找出下列函数的单调区间.
（1）
33
）D．（，＋∞）答案：B
22
.

y?a
?x
2
?3x?2
(a?1)
；（2）
y?2
?x
2
?2x?3
答案：(1)在
(??,
33
]
上是增函数，在
[,??)
上是减函数。
22
（2）单调增区间是
[?1,1]
，减区间是
[1,3]
。
3、讨论
y?loga
(a
x
?1),(a?0,且a?0)
的单调性。
答案：
a
变式练习
?1,
时
(0,??)
为增函 数，
1?a?0
时，
(??,0)
为增函数。
一、选择题
1．函数
f
（
x
）＝
log
1
(x－ 1)
的定义域是（
2
）
A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．
(1，2]

解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

?
x－1＞ 0
?
所以
?
log(x－1)
?
0
解得1＜
x
≤2．
1
?
?
2
2
答案：D
2．函数
y
＝
log
1
（
x
－3
x
＋2）的单调递减区间是（ ）
2
A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，
3
）
2
D．（
3
，＋∞）
2
2
2
解析：先求函数定义域为（－
o
，1）∪（2， ＋∞），令
t
（
x
）＝
x
＋3
x
＋2，函 数
t
（
x
）在（－∞，1）
上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增 ，根据复合函数同增异减的原则，函数
y
＝
log
1
（
x< br>－3
x
＋2）在
2
（2，＋∞）上单调递减．答案：B
3．若2
lg
（
x
－2
y
）＝
lg
x＋
lg
y
，则
A．4 B．1或
y
x
的值为（ ）
1
C．1或4
4
D．
1

4
2
错解：由2
lg（
x
－2
y
）＝
lg
x
＋
lg
y
，得（
x
－2
y
）＝
xy
，解得
x< br>＝4
y
或
x
＝
y
，则有
y
x
＝
1
x
或
4
y
＝
1．答案：选B正解：上述解法 忽略了真数大于0这个条件，即
x
－2
y
＞0，所以
x
＞2
y
．所以
x
＝
y
舍掉．只
有
x
＝ 4
y
．答案：D
og
4．若定义在区间（－1，0）内的函数
f
（
x
）＝
l
满足
2a
（
x
＋1 ）
f
（
x
）＞0，则
a
的取值范围为（ ）
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A．（0，
1
）
2
B．（0，
1
）
2
C．（
1
，＋∞）
2
D．（0，＋∞）
解析：因为
x
∈（－1，0），所以x
＋1∈（0，1）．当
f
（
x
）＞0时，根据图象只有0＜2
a
＜l，解得0
＜
a
＜

1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A
2
2
5．函数
y
＝
lg
（－1）的图象关于（ ）
1－x
B．
x
轴对称 C．原点对称 D．直线
y
＝
x
对称 A．
y
轴对称
解析：
y
＝
lg
（
为奇函数．答案：C
二、填空题
21＋x1＋x1＋x
－1）＝
lg
，所以为奇函数．形如
y
＝
lg
或
y
＝
lg
的函数都
1－x1－x1－x 1－x
已知
y
＝
log
a
（2－
ax
）在［0，1］上是
x
的减函数，则
a
的取值范围是__________．
解析：
a
＞0且
a
≠1
?
2－
ax< br>＞0
?
a
＜

?
（
x
）＝2－< br>ax
是减函数，要使
y
＝
log
a
（2－
a x
）是减函数，则
a
＞1，又
2
（0＜
x
＜1）< br>?
a
＜2，所以
a
∈（1，2）． 答案：
a
∈（1，2）
3
1
x
7．函数
f
（
x
）的图象与
g
（
x
）＝（）的图象关于直线
y
＝
x
对称，则
f
（2
x
－
x
2 ）的单调递减区
3
间为______．
解析：因为
f
（
x
）与
g
（
x
）互为反函数，所以
f
（
x
）＝
log
1
x

3
则
f
（2
x
－
x
）＝
log
1
（2
x
－
x
），令
?
（
x
）＝2
x
－
x
＞0，解得0＜
x
＜2．
222
3


］在（0，1）上单调递减；
?
（
x
）＝2
x
－
x
在（0，1）上单调递增，则
f
［
?
（
x
）
］在［1，2）上单调递增．
?
（
x
）＝2
x
－
x
在（1，2）上单调递减，则
f
［
?
（
x< br>）
2
2
2
所以
f
（2
x
－
x
）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
8．已知定义域为R的偶函数
f
（
x
）在［ 0，＋∞］上是增函数，且
f
（
则不等式
f
（l
og
4
x
）的解集是______．
1
）＝0，
2
11
）＝
f
（）＝0．又
f
（
x
）在［0，＋∞］上是增函数，
22
11
所以
f
（
x
）在（－∞，0）上是减函数．所以
f
（l
ogx
）＞0
?
l
ogx
＞或l
og
4
x
＜－．
22
11
解得
x
＞2或0＜
x
＜． 答案：
x
＞2或0＜
x
＜
22
解析：因为
f
（
x
）是偶函数，所以
f
（－
44
三、解答题
10．设函数
f
（
x
）＝
23－2x
＋
lg
，
3x＋53＋2x
－1－1
（1）求函数
f
（
x
）的定义域；（2）判断函数
f
（
x
）的单调性，并给 出证明；
（3）已知函数
f
（
x
）的反函数
f
（
x
），问函数
y
＝
f
（
x
）的图象与
x
轴有交点吗?若有，求出交点
坐标；若无交点，说明理由．
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解：（1）由3
x
＋5≠0且
（2）令
?
（
x
）＝3
x
＋5，随着
x
增 大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

3－2x53333
＞0，解得< br>x
≠－且－＜
x
＜．取交集得－＜
x
＜．
3＋2x 32222
3－2x6
＝－1＋随着
x
增大，函数值减小，所以在定义域内是 减函数．
3＋2x3＋2x
3－2x2
又
y
＝lg
x
在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，
y
＝
lg
是减函数，所 以
f
（
x
）＝
3＋2x3x＋5
3－2x
＋
lg
是减函数．
3＋2x
（3）因为直接求
f
（
x
）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域
的关系求解．
设函数
f
（
x
）的反函数
f
（
x）与工轴的交点为（
x
0
，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关
系可知，
f
（
x
）与
y
轴的交点是（0，
x0
），将（0，
x
0
）代入
f
（
x
） ，解得
x
0
＝
图象与
x
轴有交点，交点为（
一．指 数函数与对数函数
．同底的指数函数
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3． 比较几个数的大小的常用方法有：①以
0
和
1
为桥梁；②利用函数的单调性； ③作差．
（三）例题分析：
例1．（1）若
a
（2）若
2
（3）设
x
（
2
－1
2
．所以函数
y
＝
f
5
－1
（
x
）的
2
，0）。
5
y?a
x
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数；
?b?a?1
，则
log< br>b
b
，
log
b
a
，
log
ab
从小到大依次为 ；
a
x
?3
y
?5
z
，且
x
，
y
，
z
都是正数，则< br>2x
，
3y
，
5z
从小到大依次为 ；
，则
a
与
b
的大小关系是 （ ）
?0
，且
a
x
?b
x
?1
（
a?0
，
b?0
）
A
）
b?a?1
（
B
）
a?b?1
（
C
）
1?b?a
（
D
）
1?a?b

bb
2
?
log
b
a
?1?
log
a
b
． 解：（1）由
a?b?a?1
得
?a
，故
log
b
aa
（2）令
2
x
?3
y
?5
z
?t
，则
t?1
，
x?
lgtlgtlgt
，
y?
，
z?
，
lg2lg3lg5
∴
2x?3y?
2lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)
???0
，∴< br>2x?3y
；
lg2lg3lg2?lg3
同理可得：
2x ?5z?0
，∴
2x?5z
，∴
3y?2x?5z
．（3）取
x?1
，知选（
B
）．
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