高中数学必修4三角函数综合测试题和答案解析详细讲解

适合北师大版，人教版等
必修4三角函数综合测试题及答案详解
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
2．若点(
a,
9)在函数
y
＝3
x
的图象上，则tan
a
π
6
的值为( )
3
A．0 B. C．1 D.3
3
3．若|cos
θ
|＝cos
θ
，|tan
θ
|＝－tan
θ
，则
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或
x
轴上
D．第二、四象限或
x
轴上
4．如果函数
f
(
x
)＝sin(π
x
＋
θ
)(0<
θ
<2π)的最小 正周期是
T
，且当
x
＝2
时取得最大值，那么( )
A．
T
＝2，
θ
＝
π
B．
T
＝1，
θ
＝π
2
π

2
θ
2
的终边在( )
C．
T
＝2，
θ
＝π D．
T
＝1，
θ
＝
3
?
π
?
－
x
?
＝－，且π<
x
<2π，则
x
等于( ) 5．若sin
?
2
?
2
?
4
A.π
3
5
C.π
3
7
B.π
6
11
D.π
6
6．已知
a
是实数，而函数f
(
x
)＝1＋
a
sin
ax
的图象不可能是 ( )

1

适合北师大版，人教版等

7． 将函数
y
＝sin
x
的图象向左平移
φ
(0≤
φ< br><2π)个单位长度后，得到
y
π
??
x
－
?
的图象，则
φ
＝( ) ＝sin
?
6
??
A.
C.
π

6
7π

6
B.
D.
5π

6
11π

6
8．若tan
θ
＝2，则
A．0
3
C.
4
9．函数
f
(
x
)＝
A．奇函数
B．偶函数
2sin
θ
－cos
θ
的值为( )
sin
θ
＋2cos
θ
B．1
5
D.
4
tan
x
的奇偶性是( )
1＋cos
x
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
10．函数
f
(
x
)＝
x
－cos
x在(0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点

2

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11．已知
A
为锐角，lg(1＋ cos
A
)＝
m
，lg
1
A．
m
＋
1
＝
n
，则lgsin
A
的值是( )
1－cos
A
B．
m
－
n

1
D.(
m
－
n
)
2
n
1?
1
?
C.
?
m
＋
?

n
?
2
?
π
??
2
x
－
??的图象为
C
， 12．函数
f
(
x
)＝3sin
3
??
①图象
C
关于直线
x
＝
11
π对 称；
12
?
π5π
?
②函数
f
(
x)在区间
?
－，
?
内是增函数；
?
1212
?
③由
y
＝3sin2
x
的图象向右平移
题的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
π
个单位 长度可以得到图象
C
，其中正确命
3
二、填空题(本大题共4小题，每题5分 ，共20分．将答案填在题中横线上)
π
?
1
??
π
?< br>13．已知sin
?
α
＋
?
＝，
α
∈
?
－，0
?
，则tan
α
＝________.
2?
3
??
2
?
14．函数
y
＝3cos
x
(0≤
x
≤π)的图象与直线
y
＝－3及
y
轴 围成的图形的面
积为________．
15．已知函数
f
(
x< br>)＝sin(
ωx
＋
φ
)(
ω
>0)的图象如图所示 ，则
ω
＝
________.

16．给出下列命题：
π
??
2
①函数
y
＝cos
?
x
＋
?
是奇函数；
2
??
3
②存在实数
x
，使si n
x
＋cos
x
＝2；
③若
α
，
β是第一象限角且
α
<
β
，则tan
α
β
；

3

适合北师大版，人教版等
④
x
＝
5π
?
π
?
是函数
y
＝sin
?
2
x
＋
?
的一条对称轴；
4
?
8< br>?
π
???
π
?
2
x
＋
?
的图象关于点
?
，0
?
成中心对称． ⑤函数
y
＝sin< br>?
3
???
12
?
其中正确命题的序号为_________ _．
三、解答题
17．(10分)已知方程sin(
α
－3π)＝2co s(
α
－4π)，
求
－
α
＋
?
3π?
－
α
?
－2sin
?
?
2
?
－
α
－
α
的值．










18．(12分)在△
ABC
中，sin
A
＋cos
A
＝







π
?
3
?
2
x
＋
??
＋，
x
∈R. 19．(12分)已知
f
(
x
)＝sin
6
??
2
2
，求tan
A
的值 ．
2

4

适合北师大版，人教版等
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求函数
f
(
x
)的单调减区间；
(3)函数
f
(
x
)的图象可以由函数
y
＝sin2
x
(< br>x
∈R)的图象经过怎样变换得
到？










20．(12分)已知函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)(
A
>0，
图象与
P
点最近的一个最高点坐标为
?
?
π
?
?
3
，5
?
?
.
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的
x
的值；
(3)求使
y
≤0时，
x
的取值范围．










5
>0)的图象过点
P
?
?
π
?
?
12
，0
?
?
，
ω

适合北师大版，人教版等
?
π
??
3
??
3π
?
－
α
?
21．(12分)已知cos
?
－
α
?
＝2cos?
π＋
β
?
，3sin
?
?
2
??< br>2
??
2
?
?
π
?
＝－2sin
?
＋
β
?
，且0<
α
<π，0<
β
<π，求
α
，
β
的值．
?
2
?













22．(12分)已知函数
f
(
x
)＝
x
2
＋2
x
tan
θ
－1，
x
∈[－1，3]，其 中
θ
∈
?
ππ
?
?
－，
?
. < br>?
22
?
(1)当
θ
＝－
π
时，求函数的最 大值和最小值；
6
(2)求
θ
的取值范围，使
y
＝
f
(
x
)在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区
间为增函数或减函数 称为该区间上的单调函数)．







6

适合北师大版，人教版等
必修4三角函数综合测试题答案
一、选择题
1． D；2． D；3． D；4． A；5． B
6． D；7． D；8． C；9． A；10． B
11． D；12． C
二、填空题
13． －22；14． 3π；15．
三、解答题
17．解 ∵sin(
α
－3π)＝2cos(
α
－4π)，
∴－sin(3π－
α
)＝2cos(4π－
α
)．
∴－sin(π－
α
)＝2cos(－
α
)．
∴sin
α
＝－2cos
α
.
可知cos
α
≠0.
sin
α
＋5cos
α
∴原式＝
－2cos
α< br>＋sin
α
－2cos
α
＋5cos
α
3cosα
3
＝＝＝－.
－2cos
α
－2cos
α
－4cos
α
4
18．解 ∵sin
A
＋cos
A
＝
2
，①
2
3
；16． ①④
2
1
两边平方，得2sin
A
cos
A
＝－， < br>2
?
π
?
从而知cos
A
<0，∴∠
A∈
?
，π
?
.
?
2
?
∴sin
A
－cos
A
＝
＝
16
＋1＝.②
22
6＋2－6＋2
，cos
A
＝，
44
A＋cos
A
2
－4sin
A
cos
A

由①②，得sin
A
＝
∴tan
A
＝
sin
A< br>＝－2－3.
cos
A

7

适合北师大版，人教版等
19． 解 (1)
T
＝
2π
2
＝π.
(2)由2
k
π＋
ππ3π
2
≤2
x
＋
6
≤2
k
π＋
2
，
k
∈Z，
得
k
π＋
π
6
≤
x
≤
k
π＋
2π
3
，
k< br>∈Z.
所以所求的单调减区间为
?
?
?
k
π＋< br>π
6
，
k
π＋
2π
?
3
?
?
(
k
∈Z)．
(3)把
y
＝sin2
x
的图象上所有点向左平移
π
12
个单位，再向上平移
3
2
个单位，即得
函数
f
(
x
)＝sin
?
?
π
?
3
?
2
x
＋
6
?
?
＋
2
的图象．
20． 解 (1)由题意知
T
πππ
4< br>＝
3
－
12
＝
4
，∴
T
＝π. < br>∴
ω
＝
2π
T
＝2，由
ω
·
π12
＋
φ
＝0，得
φ
＝－
π
6
，又< br>A
＝5，
∴
y
＝5sin
?
?
π
?
2
x
－
?
6
?
?
.
(2)函 数的最大值为5，此时2
x
－
π
6
＝2
k
π＋π
2
(
k
∈Z)．
∴
x
＝
k
π＋
π
3
(
k
∈Z)．
(3)∵5sin
?< br>?
?
2
x
－
π
?
6
?
?< br>≤0，∴2
k
π－π≤2
x
－
π
6
≤2k
π(
k
∈Z)．
∴
k
π－
5π
1 2
≤
x
≤
k
π＋
π
12
(
k∈Z)．
21． 解 cos
?
?
π
?
2
－
α
?
?
?
3
?
?
＝2cos
?< br>?
2
π＋
β
?
?
，即sin
α
＝2 sin
β
①
3sin
?
?
3
?
?
2
π－
α
?
?
＝－2sin
?
?
π?
2
＋
β
?
?
?
，即3cos
α＝2cos
β
②
①
2
＋②
2
得，2＝sin
2
α
＋3cos
2
α
.
又sin
2α
＋cos
2
α
＝1，∴cos
2
α
＝
12
2
.∴cos
α
＝±
2
.

8

适合北师大版，人教版等
又∵
α
∈(0，π)，∴
α
＝
(1)当
α
＝
π3
，或
α
＝π. < br>44
π233
时，cos
α
＝，cos
β
＝cos< br>α
＝，
422
2
π
又
β
∈(0，π)，∴
β
＝.
6
(2)当
α
＝
cos
β
＝
3π2
时，cos
α
＝－，
42
33
cos
α
＝－，
2
2
5πππ3π5π
又
β
∈(0，π)，∴
β< br>＝. 综上，
α
＝，
β
＝，或
α
＝，
β
＝.
64646
π
22． 解 (1)当
θ
＝－时，
6
f
(
x
)＝
x
2
－
?
23
3< br>?
4
x
－1＝
?
x
－
?
2
－.
3
3
?
3
?
34
时，
f
(
x
)的最小值为－，
33
23
.
3
∵
x
∈[－1，3]，∴当
x
＝
当
x
＝－1时，
f< br>(
x
)的最大值为
(2)
f
(
x
)＝(x
＋tan
θ
)
2
－1－tan
2
θ
是关于
x
的二次函数．它的图象的对称轴为
x
＝－tan
θ
.
∵
y
＝
f
(
x
)在区间[－1，3]上是单调 函数，
∴－tan
θ
≤－1，或－tan
θ
≥3，即tan
θ
≥1，或tan
θ
≤－3.
π
??
ππ
??
ππ
??
π
－，－，－
?
，∴
θ
的取值范 围是
??
∪
?
，
?
. ∵
θ
∈
?
22232
??????
4







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适合北师大版，人教版等











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