高三数学(文)高考总复习课时跟踪检测 (五十七) 变量间的相关关系 统计案例 Word版含解析

课时跟踪检测(五十七) 变量间的相关关系 统计案例
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·重庆适应性测试)为了判定两个分类变量 X和Y是否有关系，应用独立性检验
法算得K
2
的观测值为5，又已知P(K
2
≥3．841)＝0．05，P(K
2
≥6．635)＝0．01，则下列
说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析：选A 依题意，K
2
＝ 5，且P(K
2
≥3．841)＝0．05，因此有95%的把握认为“X
和Y有关系 ”，选A．
2．某公司在2016年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计 资料如
表所示：
月份
收入x
支出y

根据统计资料，则( )
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
15＋17
解析：选C 月收 入的中位数是＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x与y
2
有正线性相关关系，故选C．
1010
^
3．已知变量x与y之间的回归直线方程为y＝－3＋2x，若
?
x
i
＝17，则
?
y
i
的值等于
i
＝
1i
＝
1
1 2 3 4 5 6
12．3 14．5 15．0 17．0 19．8 20．6
5．63 5．75 5．82 5．89 6．11 6．18
( )
A．3
C．0．4
B．4
D．40
17
^
解析：选B 依题意x＝＝1．7，而直 线y＝－3＋2x一定经过样本点的中心(x，y)，
10

所以y＝－3＋2x ＝－3＋2×1．7＝0．4，所以
?
y
i
＝0．4×10＝4．
i
＝
1
10
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在一次 对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制
作成如图所示的人体脂肪含量 与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
解析：选B 因为散点图呈 现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个
数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含 量的中位数小于20%．
2．(2016·河南省八市重点高中质量检测)为了研究某大型超市开业天 数与销售额的情
况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
销售额天(万元)

^
根据上表提供的数据，求得y关 于x的线性回归方程为y＝0．67x＋54．9，由于表中
有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据 的值为( )
A．67
C．68．3
B．68
D．71
10＋20＋30＋40＋50
＝30，又
5
10
62
20

30
75
40
81
50
89
解析：选B 设表中模糊看不清的数据为m．因为x＝
m＋307
^< br>样本中心(x，y)在回归直线y＝0．67x＋54．9上，所以y＝＝0．67×30＋54．9，< br>5
得m＝68，故选B．
3．在一组样本数据(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，…，(x
n
，y
n
)(n≥2，x
1
，x
2
，…，x
n
不全相等)< /p>

1
的散点图中，若所有样本点(x
i
，y
i
) (i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据
2
的样本相关系数为( )
A．－1
1
C．
2
B．0
D．1
1
解析：选D 因为所有样本点都在直线y＝x＋1上，所以这组样本数据完全正相关，
2
故其相关系数为1．
4．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，
^
得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0．6x＋1．2．若某城市职工人均工资为5< br>千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66%
C．79%
B．67%
D．84%
^
解析：选D ∵y与x 具有线性相关关系，满足回归方程y＝0．6x＋1．2，该城市居民
人均工资为x＝5，∴可以估计该 城市的职工人均消费水平y＝0．6×5＋1．2＝4．2，∴可
以估计该城市人均消费额占人均工资收 入的百分比为
5．(2017·黄冈模拟)下列说法错误的是( )
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关
关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分 析中，R
2
为0．98的模型比R
2
为0．80的模型拟合的效果好
解析：选B 根据相关关系的概念知A正确；当r＞0时，r越大，相关性越强，当r
＜0时， r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是
残差点分布的带状区域 越窄，拟合效果越好．二是R
2
越大，拟合效果越好，所以R
2
为0．98< br>的模型比R
2
为0．80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B．
6．经 调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，
^
并得到 y关于x的回归直线方程：y＝0．245x＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收
入每增加1 万元，年饮食支出平均增加________万元．
^
解析：x变为x＋1，y＝0．245 (x＋1)＋0．321＝0．245x＋0．321＋0．245，因此家庭
4.2
＝84% ．
5

年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．
答案：0．245
7．在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商 品的一天销售量
及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
销售量y

^
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较 强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝
－3．2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝____ ____．
解析：x＝
9＋9.5＋m＋10.5＋1111＋n＋8＋6＋5
mn
＝8＋，y＝＝6＋，回归直线一
5555
9
11
9．5
n
m
8
10．5
6
11
5
m
n
8＋
?
＋40，即3．2m＋n＝42． 定经过样本点中心( x，y)，即6＋＝－3．2
?
?
5
?
5
??
?< br>3.2m＋n＝42，
?
m＝10，
又因为m＋n＝20，即
?
解得
?
故n＝10．
??
?
m＋n＝20，
?
n＝10，
答案：10
8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500
名未使用血 清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H
0
：“这种血清不能起到预防感冒
的作用 ”，利用2×2列联表计算得K
2
≈3．918，经查临界值表知P(K
2
≥ 3．841)≈0．05．则
下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%．
解 析：K
2
≈3．918≥3．841，而P(K
2
≥3．814)≈0．05 ，所以有95%的把握认为“这
种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该 血清预防感冒的有
效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
答案：①
9． (2017·沈阳市教学质量监测)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到
统计数据如下 ：

未注射疫苗
未发病
20
发病
x
总计
A

注射疫苗
总计

30
50
y
50
B
100
2
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．
5
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？

(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
n?ad－bc?
2
附：K＝，n＝a＋b＋c＋d
?a＋b??a＋c? ?c＋d??b＋d?
2
P(K
2
≥k
0
)
k
0


0．05 0．01 0．005 0．001
3．841 6．635 7．879 10．828
解：(1)设“从所有试验动物中任取 一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知
y＋30
2
＝，所以y＝10，B＝ 40，x＝40，A＝60．
1005
得P(E)＝
402101
(2)未 注射疫苗发病率为＝，注射疫苗发病率为＝．
603404
发病率的条形统计图如图所示，由 图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率
小，故判断疫苗有效．

2100×?20×10－30×40?
50
(3)K
2
＝＝≈16．66 7＞10．828．
3
50×50×40×60
所以至少有99．9%的把握认为疫苗有效．
1 0．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x
i
(单位：千元)与月储蓄< /p>

y
i
(单位：千元)的数据资料，算得
?
x
i
＝80，
?
y
i
＝20，
?
x
i
y
i
＝184，
?
x
2
i
＝720．
i
＝
1i
＝
1i
＝
1i
＝
1
101 01010
^^^^
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，
1
n
801
n
20
x＝
?
x
i
＝＝8，y＝
?
y
i
＝＝2 ，
nn
1010
i
＝
1i
＝
1
22又
?
x
2
i
－nx＝720－10×8＝80，
i< br>＝
1
n
?
x
i
y
i
－nxy＝18 4－10×8×2＝24，
i
＝
1
n
^
24
由此得b＝＝0．3，
80
^^
a＝y－bx＝2－0．3×8＝－0．4，
^
故所求线性回归方程为y＝0．3x－0．4．
^
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0．3>0)，故x与y之间是正相关．
^
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0．3×7－0．4＝1．7( 千元)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
(2016·成都质检)某火锅店为了解气温对 营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天
的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位 ：℃)的数据，如下表：
x
y

^^^
(1)求y关于x的回归方程y＝bx＋a；
(2)判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所
求回归方程预测该店当日的营业额；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ， σ
2
)，其中μ近似为样本平均数x，σ
2
近似为
样本方差s
2
，求P(3．8＜X＜13．4)．
2
12
5
10
8
8
9
8
11
7

^^ ^^
附：①回归方程y＝bx＋a中，b＝
i
＝
1
?
xi
y
i
－nx y
?
x
2
i
－nx< br>n
n
^^^
，a＝y－bx．
2
i
＝
1< br>②10≈3．2，3.2≈1．8．若X～N(μ，σ
2
)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ )＝0．682 6，P(μ
－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0．954 4．
解：(1)列表计算如下：
i
1
2
3
4
5
∑

1
n
351
n
45
这 里n＝5，x＝
n
?
x
i
＝＝7，y＝
n
?
y
i
＝＝9．
55
i
＝
1i
＝
1
x
i

2
5
8
9
11
35
y
i

12
10
8
8
7
45
x
2
i

4
25
64
81
121
295
x
i
y
i

24
50
64
72
77
287
22
又
?
x
2
i
－nx＝295－5×7＝50，
i
＝
1
n
?
x
i
y
i
－ nxy＝287－5×7×9＝－28，
i
＝
1
n
28
^
从而b＝－＝－0．56，
50
^^
a＝y－bx＝9－(－0．56)×7＝12．92，
^
故所求回归方程为y＝－0．56x＋12．92．
^
(2)由b＝－0．56＜0知y与x之间是负相关；
^
将x＝6代入回 归方程可预测该店当日的营业额y＝－0．56×6＋12．92＝9．56(千元)．
(3)由(1)知μ＝x＝7，
1
又由σ
2
＝s
2
＝×[(2－7)
2
＋(5－7)
2
＋(8－7)
2
＋( 9－7)
2
＋(11－7)
2
]＝10，知σ＝3．2，
5
从而P(3．8＜X＜13．4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)

＝P(μ－σ＜X＜μ)＋P(μ＜X＜μ＋2σ)
11
＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)
22
＝0．818 5．