高一数学教案(必修)

课题：集合的含义与表示(1)
课 型：新授课
教学目标：
（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；
（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；
（3） 掌握常用数集及其记法；
教学重点：掌握集合的基本概念；
教学难点：元素与集合的关系；
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试< br>问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们 感兴趣的是问题中某些特定（是
高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将 学习一
个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P
2
-P
3
内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研 究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体
叫集合（set），也简称集。
3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数；
（2） 我国的小河流；
（3） 非负奇数；
（4） 方程
x?1?0
的解；
（5） 某校2009级新生；
（6） 血压很高的人；
（7） 著名的数学家；
（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点
（9） 全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
2

4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集 合，x是某一个具体对象，则或者是
A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的
个体（对象），因此，同 一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记
作：a
?
A
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A
4
?
A，等等。
6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的
元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
７．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R；
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“
?
”符号填空：
（1）8 N； （2）0 N；
（3）-3 Z； （4）
2
Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，
印度 A，英国 A。
例2．已知集合P的元素为
1,m,m?3m?3
, 若3∈P且-1
?
P，求实数m
的值。



（三）课堂练习：
2

课本P
5
练习1；
归纳小结：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例
对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。
作业布置：
1．习题1.1，第1- 2题；
2．预习集合的表示方法。
课后记:

课题：























集合的含义与表示(2)

课 型：新授课
教学目标：
（1）了解集合的表示方法；
（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同
的具体问题，感 受集合语言的意义和作用；
教学重点：掌握集合的表示方法；
教学难点：选择恰当的表示方法；
教学过程：
一、复习回顾：
１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集
及表示。
２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系
二、新课教学

（一）．集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言 来描述一个集合，但这将给我们带来很
多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“
?
表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x
2
，3x+2，5y
3
-x，x
2
+y
2
}，…；
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考
虑元素的顺序。
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必 须把元素间
的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示
为
?
1,2,3,4,5,......
?

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
?
”括起来

（2 ）方程x
2
=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；
（4）方程组
?







思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }
内。
具体方 法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或
变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的共
同特征。
一般格式：
?
x?Ap(x)
?
x?2y?0;
的解组成的集合。
?
2x?y?0.
?

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y =x
2
+1}，{x︳直角三角形}，…；
说明：
1．课本P
5
最后一段话；
2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x
2
+3x+2}与 {y|y=
x
2
+3x+2}是不同的两个 集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，
例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写
法{实数集}，{R}也是错误的。
例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x
2
—2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；
?
x?y?3;
（3）方程组
?
的解。
x?y??1.
?

思考3：（课本P
6
思考）
说明：列举法与描述法各有优点，应 该根据具体问题确定采用哪种表示
法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 。
（二）．课堂练习：
１．课本P
6
练习2；
２．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
4
∈Z，x∈N}，则它的元素是 。
x?3
４．已知集合A＝{x|-32
+1，x∈A}，则
３．集合A＝{x|
集合B用列举法表示是
归纳小结：
本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
作业布置：
1． 习题1.1，第３．4题；
2． 课后预习集合间的基本关系.
课后记:









课题：集合间的基本关系
课 型：新授课
教学目标：

（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用Venn图表达集合间的关系；
（4）了解空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清楚属于与包含的关系。
教学过程：
一、复习回顾：
1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数
2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。
思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”
关系呢？
二、新课教学
（一）. 子集、空集等概念的教学：
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,3}
，
B?{1,2,3,4,5}
；
（2）
C?{汝城一中高一 班全体女生}
，
D?{汝城一中高一 班全体学生}
；
（3）
E?{x|x是两条边相等的三角形}
，
F ?{xx是等腰三角形}

由学生通过观察得结论。
1． 子集的定义： 对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说
这两个集合有包含关系 ，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：

A?B(或B?A)

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作
A?B

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：




A

B



如：（1）中
A?B


2． 集合相等定义：
如果A 是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的
元素是一样的，因此集合A与集合B 相等，即若
A?B且B?A
，则
A?B
。
如（3）中的两集合
E?F
。
3． 真子集定义：

若集合
A?B
，但存在元素
x?B,且x?A
，则称集合A是集合B的真子集（pr oper
subset）。记作：
A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
如：（1）和（2）中A B，C D；
4． 空集定义：
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?
。
用适当的符号填空：
?

?
0
?
； 0
?
；
?

?
?
?
；
?
0
?

?
?
?

思考2：课本P
7
的思考题
5． 几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
（4） 对于集合 A，B，C，如果
A?B
，且
B?C
，那么
A?C
。
说明：
1． 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不
包含于”的关系；
2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
（二）例题讲解：
例1．填空：
（1）． 2 N；
{2}
N；
?
A;
（2）．已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C

例2．（课本例3）写出集合
{a,b}
的所有子集，并指出哪些是它的真子集。












例3．若集合
A?xx?x?6?0,B?xmx?1?0,
B
（m=0或
或-



?
2
?
??
A，求m的值。
1
3
1
）
2

例4．已知集合
A?x?2?x?5,B?x?m ?1?x?2m?1
且
A?B
，
求实数m的取值范围。 （
m?3
）











（三）课堂练习：
课本P
7
练习1，2，3
归纳小结：
本节课从实例入手，非常自 然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念
及符号；并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注 意包含与属于符号的运用。
作业布置：
1． 习题1.1，第5题；
2． 预习集合的运算。
课后记:
????



课题：集合的基本运算㈠
课 型：新授课
教学目标：
（1）理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集与并集的区别与联系；
（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。

教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。
教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
教学过程：
一、复习回顾：
1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A S；{x|x∈S且x
?
A}= 。
2．用适当符号填空：
0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x
2
＋1＝0,x∈R}
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2}
二、新课教学
（一）. 交集、并集概念及性质的教学：
思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
； （1）
A?{1,3 ,5}
，
B?{2,4,6},
（2）
A?{xx是有理数}
，B?{xx是无理数},C?
?
xx是实数
?
；
由学生通过观察得结论。
6． 并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元 素所组成的集合，叫做集合A
与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

A?B?xx?A,或x?B

用Venn图表示：

??


这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

A?B
= C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A

A∪B＝A
?
, A∪B＝B
?
.
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
7． 交集的定义： 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B
的交集（inters ection set），记作A∩B（读“A交B”）即：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

B A
A(B) A
B

A B
A
B

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A

A∩B＝A
?
A∩B＝B
?

巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。
（二）例题讲解：
例1．（课本例5）设集合
A?x?1?x?2,B?x1?x?3
，求A∪B．
变式：A＝{x|-5≤x≤8}






例2．（课本例7）设平面内直线
l
1
上点的集合为L
1
， 直线
l
2
上点的集合为L
2
，试
用集合的运算表示
l
1
，
l
2
的位置关系。





????
例3．已知集合
A?xx?mx?m?19?0,?
22
?
B?yy
2
?5y?6?0

??

C?zz?2z?8?0
是否存在实数m，同时满足
A?B? ?,A?C??
？
（m=-2）








?
2
?

（三）课堂练习：
课本P
11
练习1，2，3
归纳小结：
本节课从实例入手，引出 交集、并集的概念及符号；并用Venn图直观地把
两个集合之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集 和并集中的运用。
作业布置：
3． 习题1.1，第6，7；
4． 预习补集的概念。
课后记:








课题：集合的基本运算㈡
课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，
（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“
C
U
A
”的涵义；
（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。
教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。
教学难点：补集的概念。
教学过程：
一、复习回顾：

1． 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？
2． 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？
3． 交集和补集的有关运算结论有哪些？
4． 讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？
二、新课教学
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
由学生通过讨论得出结论：
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）. 全集、补集概念及性质的教学：
8． 全集的定义：
一般地，如果一个集合含有我们所研究 问题中涉及的所有元素，那么就称这个
集合为全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

9． 补集的定义： 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集 （complementary set），记作：
C
U
A
，
读作：“A在U中的补集”，即
C
U
A?
?
xx?U,且x?A
?

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）


讨论：集合A与
C
U
A
之间有什么关系？→借助Venn图分析

A?C
U
A??,A?C
U
A?U,
C
U
??U

C
U
(C
U
A)?A

C
U
U??,
巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
②．设U＝{x|x<8，且x∈N}， A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ 。
（二）例题讲解：
例1．（课本例8）设集
U?xx是小于9的正整数,A?
?
1，2，3
?
，B?
?
3，4，5，6
?
，
求
C
U
A
，
C
U
B
．






??

例2．设全集
U?xx?4,集合A?x?2?x?3,B?x?3?x?3
，求
C
UA
，

A?B
，
A?B,C
U
(A? B),(C
U
A)?(C
U
B),(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)
。
（结论：
CU
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)
）



















例3．设全集U为R，< br>A?xx?px?12?0,
??????
?
2
?
B?xx< br>2
?5x?q?0
，若
??

(C
U
A) ?B?
?
2
?
,A?(C
U
B)?
?
4< br>?
，求
A?B
。 （答案：
?
2,3,4
?
）

（三）课堂练习：
课本P
11
练习4
归纳小结：
补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn图）。
作业布置：
习题1.1A组，第9，10；B组第4题。
课后记:












课题：集合复习课
课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；
（2）掌握集合的有关术语和符号；
（3）运用性质解决一些简单的问题。
教学重点：集合的相关运算。
教学难点：集合知识的综合运用。
教学过程：
一、复习回顾：
1． 提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？
2． 提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？
3． 提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？
3． 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？
4． 集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。

二、讲授新课：
（一） 集合的基本运算：
例1：设U=R，A={x|-5U
A 、C
U
B、
(C
U
A)∩(C
U
B)、(C
U
A)∪(C
U
B)、C
U
(A∪B)、C
U
(A∩B)。
（学生画图→在草稿上写出答案→订正）





















说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。
例2：全集U={x|x <10，x∈N
?
}，A
?
U，B
?
U，且（C
U
B）∩A={1,9}，A∩B={3}，
（C
U
A)∩(C
UB)={4,6,7}，求A、B。














说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。
（二）集合性质的运用：
例3：A={x|x
2
+4x=0}，B={x|x
2
+2(a+1)x＋ a
2
－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要
注意判别式。
例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a值范围。












（三）巩固练习：
1．已 知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1
2．P={0,1}，M={x|x
?
P}，则P与M的关系是 。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均< br>不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。

4．满足关系{1,2}< br>?
A
?
{1,2,3,4,5}的集合A共有 个。
< br>5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则 B的子集的
集合一共有多少个元素？

2
6．已知A＝{1,2,a }，B＝{1,a}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

22
7．设 A＝{x|x－ax＋6＝0}，B＝{x|x－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。
8．集合A={x|x
2
+px-2=0},B={x|x
2
-x+q= 0},若A
?
B={-2，0，1}，求p、q。

9． A={2，3， a
2
+4a+2}，B={0，7，a
2
+4a-2，2-a}，且A
?
B ={3，7}，求B。

10．已知A={x|x<-2或 x>3}，B={x|4x+m<0}，当A
?
B时，求实数m的取值范围。
归纳小结：
本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其
有关运算，并进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。
作业布置：
5． 课本P
14
习题1.1 B组题；
6． 阅读P
14
～
15
材料。
课后记:








课题：函数的概念（一）
课 型：新授课
教学目标：
（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言 来刻画函数，体会对应关系在刻
画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的三要素；
（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：
一、复习准备：
1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2．回顾初中函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值 ，y都有
唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课：
（一）函数的概念：
思考1：（课本P
15
）给出三个实例：

A．一枚炮弹 发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高
度h（米）与时间t（秒）的变化规 律是
h?130t?5t
2
。
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少， 因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是
南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P
15< br>图）
C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生
活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课
本P
16
表）
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之
间存在着 怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集 A中的每一个x，按
照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

f:A?B

函数的定义：
设A
、
B是两个非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么称
f
:
A?B
为从集合A到集合B的一个 函数（function），记作：
y?f(x),x?A

其中，x叫自 变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y
值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}
叫值域（range）。显然，值域是集合B的
子集。
（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；
（2）二次函数
y?ax?bx?c
(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值< br>2
??
4ac?b
2
?
4ac?b
2
?????
域
B?
?
yy?
?
；当a﹤0时，值域
B?
?
yy?
?
。
4a
?
4a
???
????
k
（3）反比例函数
y?(k?0)
的定义域是
?
xx?0
?
，值域是
?
yy?0
?
。
x
（二）区间及写法：
设a、b是两个实数，且a（1） 满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2） 满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
（3） 满 足不等式
a?x?b或a?x?b
的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示
为
?
a,b
?
,
?
a,b
?
；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P
17
表格）
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我
们把满足
x ?a,x?a,x?b,x?b
的实数x的集合分别表示为
?
a,??
?,
?
a,??
?
,

?
??,b
?
,
?
??,b
?
。
巩固练习：
用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}
（学生做，教师订正）
（三）例题讲解：
例1．已知函数
f(x)?x< br>2
?2x?3
，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数
y?x
2
?2x?3,








例2．已知函数
f(x)?
x?{?1,0,1,2}
的值域
x?3?
2
3
1
，
x?2
（1） 求
f (?3),f(),f
?
f
?
?3
?
?
的值；
（2） 当a>0时，求
f(a),f(a?1)
的值。











（四）课堂练习：
1． 用区间表示下列集合：
?
xx?4?
,
?
xx?4且x?0
?
,
?
xx?4且x ?0,x??1
?
,
?
xx?0或x?2
?

2． 已知函数f(x)=3x
2
＋5x－2,求f(3)、f(-
2
)、f(a) 、f(a+1)的值；
3． 课本P
19
练习2。
归纳小结：
函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
作业布置：
习题1.2A组，第4，5，6；

课后记:












课题：函数的概念（二）
课 型：新授课
教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：复合函数定义域的求法。
教学过程：
一、复习准备：
3x
2
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函
x
数？为什么？
k
2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax
2
＋bx＋c（ a≠0）、y＝(k≠0)的定
x
义域与值域。
二、讲授新课：
（一）函数定义域的求法：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给 出解析式y=f(x)，而没
有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的 集
合。
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=
x?3
x
2
?2
； ⑵ f(x)=
2x?9
； ⑶ f(x)=
x?1
－
x
；
2?x

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）














说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a （2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。






例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。






巩固练习：
1．求下列函数定义域：
1
1
（1）
f(x)?1?x?
； （2）
f(x)?

1
x?4
1?
x
2．（1）已 知函数f(x)的定义域为[0，1]，求
f(x?1)
的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
（二）函数相同的判别方法：
函数是否相同，看定义域和对应法则。
例5．（课本P
18
例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
2

2
（1）
y?(x)
； （2）
y?x
3
；
x
2
2
（3）
y?x
； （4）
y?
。
x













（三）课堂练习：
1．课本 P
19
练习1，3；
2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。
归纳小结：
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置：
习题1.2A组，第1，2；
课后记:






















2
3

课题：函数的表示法（一）
课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法
各自的优点；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程：
一、复习准备：
1．提问：函数的概念？函数的三要素？
2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
（一）函数的三种表示方法：
结合课本P
15
给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；
优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；
优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；
优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
例1．（课本P
19
例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔
记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P
20
例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测
试的成绩及班级平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
98 87 91 92 88 95
甲
乙 90 76 88 75 86 80
68 65 73 72 75 82
丙
班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．















（二）分段函数的教学：
分段函数的定义：
在函数的定义域 内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这
样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3 的函数就是分段函数。
说明：
（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数 问题时，首先要确定
自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象
时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。
例3：（课本P
21
例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线 路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数
解析式，并画出函数的图象。









例 4．已知f(x)＝
?
?
2x?3,x?(??,0)
?
2x?1, x?[0,??)
2
，求f(0)、f[f(-1)]的值









（三）课堂练习：
1．课本P
23
练习1，2；
2．作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）。试用三种方法表示此实例中
的函数。
3．某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，
500kg及以上0.6元／kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）
之间的 函数y=f(x)。
归纳小结：
本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数 概念；了解了函数
的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。
作业布置：
课本P
24
习题1.2 A组第8，9题；
课后记:

课题：函数的表示法（二）
课 型：新授课
教学目标：
（1）了解映射的概念及表示方法；
（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段
函数的解析式。
教学重点：求函数的解析式。
教学难点：对函数解析式方法的掌握。
教学过程：
一、复习准备：
1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3．导入：函数是建立在两个非空数集间 的一种对应，若将其中的条件“非空数集”
弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为 普通的元素之间的
对应关系，即映射（mapping）。
二、讲授新课：
（一） 映射的概念教学：
定义：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法 则f，使对
于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么
就 称对应
f:A?B
为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：
f:A?B

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？
例1．（课本P
22
例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？
（1） 集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所
代表的实数对应；

（2） 集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B=
(x,y)x?R,y?R
，对应
关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3） 集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形
都对应它的内切圆；
（4） 集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应
关系：每一个班级都对应班里的学生。




例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它
们分别表示出来。









（二）求函数的解析式：
常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f(x)是 一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。
（待定系数法）










例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）











??

例5．已知函数f(x)满足
f(x)?2f()?x
， 求函数f(x)的解析式。（消去法）










例6．已知
f(x)?x?1
，求函数f(x)的解析式。












（三）课堂练习：
1．课本P
23
练习4；
1
x
1?x1?x
2
)?
2．已知
f(
，求函数f(x)的解析式。
2
1?x1?x
11
2
3．已知
f(x?)?x?
2
，求函数f(x)的解析式。
xx
4．已知
f(x)?2f(?x)?x?1
，求函数f(x)的解析式。
归纳小结：
本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。
作业布置：
7． 课本P
24
习题1.2B组题3，4；
8． 阅读P
26
材料。
课后记:

课题：函数的表示法（三）
课 型：新授课
教学目标：
（1）进一步了解分段函数的求法；
（2）掌握函数图象的画法。
教学重点：函数图象的画法。
教学难点：掌握函数图象的画法。。
教学过程：
一、复习准备：
1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例 函数
的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？
二、讲授新课：
例1．画出下列各函数的图象：
（1）
f(x)?2x?2　　(?2?x?2)

(0?x?3)
； （2）
f(x)?2x?4x?3　　













例2．（课本P
21
例5）画出函数
f(x)?x
的图象。





2

例3．设
x?
?
??,??
?
，求函数
f(x)?2x?1?3x
的解析式，并画出它的图象 。











变式1：求函数
f(x)?2x?1?3x
的最大值。




变式2：解不等式
2x?1?3x??1
。




2
例4．当m为何值时，方程
x?4x?5?m
有4个互不相等的实数根。
















2
变式：不等式
x ?4x?5?m
对
x?R
恒成立，求m的取值范围。

（三）课堂练习：
1．课本P
23
练习3；
?
1
(0?x?1)
?
，　
2．画出函数
f(x)?
?
x
的图象。
?
(x?1)
?
x，　
归纳小结：
函数图象的画法。
作业布置：
课本P
24
习题1.2A组题7，B组题2；
课后记:

课题：函数及其表示复习课
课 型：复习课
教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域和值域；
（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；
（3）会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。
教学难点：对函数记号的理解。
教学过程：
一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1．说出下列函数的定义域与值域：
y?
2．已知
f(x)?
81
；
y?x
2
?4x?3
；
y?
2
；
3x?5x?4x?3
1
，求
f(2)
，
f(f(3))
，
f(f(x))
；
x?1
?
0(x?0)
?
3．已知
f(x)?
?
?
(x?0)
，
?
x?1(x?0)
?
（１）作出
f(x)
的图象；
（２）求
f(1),　f(?1),　f(0),　f{f[f(?1)]}
的值
二、讲授典型例题：
例１．已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)=x, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．








例2．求下列函数的定义域：
（１）
y?



2
(x?1)
0
x
2
?4
； （２）
y?
2
；
x?2x?3
x?x

例３．若函数
y?(a
2
?1) x
2
?(a?1)x?
2
的定义域为Ｒ，求实数a的取值范
a?1< br>围． （
a?
?
1,9
?
）













例４． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x
分钟，两 种通讯方式的费用分别为
y
1
,y
2
（元）．
（１）．写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？
（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

三．巩固练习：
1．已知
f(x)
=x
2
?x+3 ，求：f(x+1)， f(
1
)的值；
x
）?x?2x
,求函数
f(
x
）
2．若
f(x?1
的解析式；
3．设二次函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为 10，图象
过点(0,3)，求
f(x)
的解析式．
４．已知函数
f(x)?
归纳小结：
本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．
作业布置：
9． 课本P
２４
习题1.２ B组题１，３；
10． 预习函数的基本性质。
课后记:

3x?1
的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．
ax
2
?ax?3
3

课题：单调性与最大（小）值 （一）
课 型：新授课
教学目标：
理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和
判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
教学难点：理解概念。
教学过程：
一、复习准备：
1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变
的特征呢？
2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列
变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
③函数图象是否具有某种对称性？
3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x
2
的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）
二、讲授新课：
1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x
2
(x>0)的图象进行讨论：
随x的增大，函数值怎样变化？ 当x
1
>x
2
时，f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样？
②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性
质？
③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内
的任意两个自 变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有 f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D
上是增函数（ increasing function）
④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性
⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x) 在这一区间上
具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？
所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2.教学增函数、减函数的证明：
例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每
个涨价1元 ，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

1、 例题讲解
例1（P29例1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函 数y=f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？






例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律
p?

k
（k为正常数 ），告诉我们对于一定
V
量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明 .












例3．判断函数
y?











三、巩固练习：
2
在区间[2，6] 上的单调性
x?1

1.求证f(x)＝x＋
1
的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。
x



2.判断f(x)=|x|、y=x
3
的单调性并证明。









3.讨论f(x)=x
2
－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性







4.课堂作业：书P32、 2、3、4、5题。






四、小结：
比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步骤：设x1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
； →计算f(x
1
)－f(x
2
)至最
简→判断差的符号→下结论。
五、作业：P39、1—3题

课后记：









课题： 单调性与最大（小）值 （二）
课 型：新授课

教学目标：
更进一步理解函数单调 性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）
值及其几何意义.
教学重点：熟练求函数的最大（小）值。
教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。
教学过程：
一、复习准备：
1.指出函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。
2. f(x)＝ax
2
＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？
3.知识回顾：增函数、减函数的定义。
二、讲授新课：
1.教学函数最大（小）值的概念：
① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？
f(x)??2x?3
，
f(x)??2x?3

x?[?1,2]
；
f(x)?x
2
?2x?1
，
f(x)?x
2
?2x?1

x?[?2,2]

② 定义 最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的
x∈I，都有f(x)≤ M；存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大
值（Maximum Value）
③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举
例说明方法.
2、 例题讲解：
例1（学生自学P30页例3）





例2．（P31例4）求函数
y?





例3．求函数
y?x?1?x
的最大值



2
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
x?1

33
的图象与
y?
的关系？
x?2x
（解法一：单调法； 解法二：换元法）

三、巩固练习：
1. 求下列函数的最大值和最小值：
53
（1）
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
；
22
（2）
y?|x?1|?|x?2|










2.一个星级旅馆有150个标准房 ，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房
率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价 ？（分析变化规律→建立函
数模型→求解最大值）
房价（元） 住房率（%）

160 55

140 65

120 75


100 85










3、 求函数
y?2x?x?1
的最小值.




探究：
y?

四、小结：
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自 变量的平方式与常数的和，然后根据变
量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
五、作业：P39页A组5、B组1、2
后记：
























课题：奇偶性
课 型：新授课
教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点：熟练判别函数的奇偶性。
教学难点：理解奇偶性。

教学过程：
一、复习准备：
1.提问：什么叫增函数、减函数？
2.指出f(x)＝2x
2
－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x
2
－1|的单调区间
3.对于f(x)＝x、f(x)＝x
2
、f(x)＝x
3
、f(x)＝x
4
，分别比较f(x)与f(－ x)。
二、讲授新课：
1.教学奇函数、偶函数的概念：
1
、
f(x)?x
3
；
f(x)?x
2
、
f(x)?|x|.
x
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f (?x)?f(x)
，
那么函数
f(x)
叫偶函数（even function）.
③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.
（如果对于函数定义域内的任意一个x，都有
f(?x)??f (x)
），那么函数
f(x)
叫
奇函数。
④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；
整体性）
⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
（假如f(x)是奇函数呢？）
1. 教学奇偶性判别：
①给出两组图象：
f(x )?x
、
f(x)?
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
f(x)?x
2
x?[?1,2]

x
3
?x
2
（2）
f(x)?

x?1








例2．判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x
（2）
f(x)?x
（3）
f(x)?x?
45
11
（4）
f(x)?
2
．
xx

?
1
2
x?1(x?0)
?
?
2
（5）
g(x)?
?
（6）
y?1?x
2
?x
2
?1

?
?< br>1
x
2
?1(x?0)
?
?2










4、教学奇偶性与单调性综合的问题：
①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞) 上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调
性。
②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知
单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）
③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上 是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，
并给出证明。
三、巩固练习：
1、判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝
3
x
2
、f(x)＝x＋
1
x
、 f(x)＝、f(x)＝x
2
,x∈[-2,3]
2
x
1?x


7
2.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。




3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x )＝
1
，求f(x)、g(x)。
x?1




4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x) 的奇偶性。
(特值代入)

5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且 最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是
（ ）函数，且最 值是 。

四、小结
本节主要学习了函 数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义
法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必 须注意首先判断函数的定义域是
否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学 生结合
函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
五、作业P39页A组6、B组3
后记：





























课题：函数的基本性质运用
课 型：练习课
教学目标：
掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基
本性质解决一些问题。
教学重点：掌握函数的基本性质。

教学难点：应用性质解决问题。
教学过程：
一、复习准备：
1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小
值？
2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的
定义？
二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型：
①出示例1：作出函数y＝x
2
－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答
→ 思考：y＝|x
2
－2x－3|的图像的图像如何作？→
②讨论推广：如何由
f(x)
的图象，得到
f(|x|)
、
|f(x)|
的图象？ < br>③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)
上也是增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单
调性一致）
2. 教学函数性质的应用：
①出示例 ：求函数f(x)＝x＋
1
(x>0)的值域。
x
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作
图与结论推广
②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查 后发现规律为降价x
元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多 少
个元时，销售金额最大？最大是多少？
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。








2.基本练习题：
2?
?
?x?x(x?0)
1、判别下列函数的奇偶性：y＝
1?x
＋
1?x
、 y＝
?

2
?
?
x ?x(x?0)
（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)= ? ）

2、求函数y＝x＋
2x?1
的值域。







x?2
单调区间并证明。
x?1
cx?d
（定义法、图象法； 推广： 的单调性）
ax?b
3、判断函数y=









4、讨论y=
1?x
2
在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）















三、巩固练习：
ax
2
?b
1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 （c=0）
x?c

2 .已知函数f(x)=ax
2
+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函 数值域。





3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。





4. 求二次函数f(x)=x
2
－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。



四、小结：
本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质
解题
五、作业P44页A组9、10题B组6题
后记：





课题：指数与指数幂的运算(一)

课 型：新授课
教学目标：
了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解
根式的概念
教学重点：掌握n次方根的求解.

教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景
教学过程：
一、复习准备：
1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（
a
2< br>、
a
3
）
2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：
a,
3
a

二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年 增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口
数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01m m，进行对折x次后，问对折后的面积
与厚度？
② 书P52 问题1. 国务院发展研究中 心在2000年分析，我国未来20年GDP（国
内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过 5730年衰减一半（半衰期），则死
t
1
5730
亡t年后体内碳14的含 量P与死亡时碳14的关系为
P?()
. 探究该式意义？
2
③小结：实践 中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变
化、自然科学.
2. 教学根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：
(?2)
2
?4
,
?2
就叫4的平方根；
3
3
?27
，3就叫27的立< br>方根.
探究：
(?3)
4
?81
,
?3
就 叫做
81
的？次方根, 依此类推,若
x
n
?a
,那么x
叫做
a
的
n
次方根.
② 定义n次方根：一般地 ，若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根.(
n
th root ),其中
n?1
,
n??
?

简记：
n
a
. 例如：
2
3
?8
，则
3
8?2

③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如:
记：
x?
n
a

3
27?3
,
3
?27??3
,
当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如:
(?3)
4
?81
,
81
的4次方根就是
?3
, 记：
?
n
a

强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
n
0?0

④ 练习：
b
4
?a
,则
a
的4次方根为 ；
b
3
?a
, 则
a
的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像
n
a
的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical
exponent）, a叫做被开方数（radicand）.
⑥ 计算
(
2
3)
2、
3
4
3
、
n
(?2)
n
→ 探究：
(
n
a)
n
、
n
a
n
的 意义及结果？ （特殊
到一般）

结论：
(
n
a)
n
?a
. 当n
是奇数时，
n
n
a
n
?a
；当
n< br>是偶数时，
?
a(a?0)
a
n
?|a|?
?

?a(a?0)
?
（P
5O
例题1）：求下列各式的值
3、例题讲解
(1)
3
(?8)
3

(2)(?10)
2

(3)
4
(3?
?
)
4

(4)(a?b)
2








三、巩固练习：

1. 计算或化简：
5
?32
；
3
a
6
（推广：




np
a
mp
?
n
a
m
， a
?
0）.
2、 化简：
5?26?7?43?6?42
；
23?
3
1.5?
6
12





3、求值化简：






四、小结：
*
1．根式的概念：若n＞1且
n?N
，则
x是a的n次方根,n为奇数时,x=
n
a,

3
(?a)
3
；
4
(?7)
4
；
6
(3?
?
)
6
；
2
(a?b)
2
（
a?b
）
n
为偶数时，
x??
n
a
；
2．掌握两个公式：
n为奇数时,(
n
a)
n
,n为偶数时,a
n
?| a|?
?
五、 作业：书P59 、 1题.


n
?
a(a?0)

?
?a(a?0)

六，后记


























课题：指数与指数幂的运算(二)
课 型：新授课
教学目标：
使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理
数指数幂的运算.
教学重点：有理数指数幂的运算.
教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：
(
n
a)
n
=？、
n
a
n
=？、
np
a
mp
=？

2. 计算下列各式的值：
(
2
?b)
2
；
(
3
?5)
3
；
2
3
4
，
5
a
10
，
3
7
9

二、讲授新课：
1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a>0时，
5
a
10
?
5
(a
2
)
5
?a
2
?a
→
→
a??
.
② 定义分数指数幂：
规定
a?a( a?0,m,n?N,n?1)
；
a
m
n
n
m*
?
m
n
10
5
3
a
12
??
；
3
a
2
?(a)?a

3
2
3
3
2
3
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

n
③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：
a
m
(a?0, m,n?N
?
n?1)
；
2
3
5
；
35
4

2
3
2
5
?
4
3?
5
2
B. 求值
27
；
5
；
6
；
a
.
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的
意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指 数，那么整数指数幂的运算性
质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质：
a?0,b?0,r,s?Q

a
r
·
a
r
?a
r?s
；
(a
r
)
s
?a
rs
；
(ab)
r
?a
r
a
s
．
2. 教学例题：
（1）、（P
51
，例2）
解：①
8?(2)?2
②
25
?
1
2
2
3
2
3
3
3?
2
3
?2
2
?4

1
2?(?)
2
?(5)
2
?
1
2
?5
1
?5
?1
?

5
③
()
1
2
?5
?(2
?1
)
?5
?2
?1?(?5)
?32

3
4?(?)
16
?
3
22
?3
27
④
()
4
?()
4
?()?

81338
（2）、（P
51
，例3）用分数 指数幂的形式表或下列各式（
a
＞0）
解：
a.a?a?a?a
2
3
22
2
3
33
1
2
3?
12
?a

2
3
7
2

a?a?a?a?a

a
3
1
3
2?
?a

4
1
3
2
2
3
8
3
a?a?a?a?(a)?a

4
3
3、无理指数幂的教学

3
2
的结果？ →定义：无理指数幂.（结合教材P
58
利用逼近的思想理解无理指数幂
意义） ?
无理数指数幂
a(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数． 实数指数幂的运算性
质？
三、巩固练习：

1、练习：书P54 1、2、3 题.




24
2
?
2 5
?
3
3
?3
33
2、求值:
27
;
16
;
()
;
()

49
5



3、化简：
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
；
(mn)




2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
1 6
1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2< br>4. 计算：的结果
n?2
48



a
10
1
5. 若
a
3
?3,a
10?384,求a
3
?[()
7
]
n?3
的值

a
3



四. 小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.


五、作业：书P59 2、4题.
后记：

课题 指数与指数幂的运算（三）
课 型：练习课
教学目标：
n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
教学重点：掌握根式与指数幂的运算.
教学难点：准确运用性质进行计算.
教学过程：
一、复习提问: （学生回答,老师板演）
1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？
2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？
3. 基础习题练习： （口答下列基础题）
(x?0)
?
n
① n为 时，
x
n
?|x|?
?
...........
.
(x?0)
?
② 求下列各式的值：
3
2
6
;
4
16
;
6
81
；
6
(?2)
2
；
15
?32
；
4
x
8
；

6
a
2
b
4

二、教学典型例题：
例1．（P
52
，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
2
1 1
115
（1）
(2a
3
b
2
)(?6a
2
b
3
)?(?3a
6
b
6
)

1
3
（2）
(m
4
n
?
8
)
8< br>






例2．（P
52
例5）计算下列各式
（1）
(
3
25?125)?
4
25

（2）
a
2
a.
3
）
a
2
(a
＞0




11例3．.已知
a
2
?a
?
2
=3，求下列各式的值:
3
（１）
a?a
?1
； （２）
a
2
?a
?2
； （３）
a
2
? a
?
3
2
11
a
2
?a
?
2




三、巩固练习：

1111
1. 化简：
(x
2
?y
2
)?(x4
?y
4
)
.



2. 已知< br>f(x)?
?
x
,x
1
?x
2
?0
，试求
f(x
1
)?f(x
2
)
的值



．

3.


2
1
?
用根式表示
(m
4
n
3
)
， 其中
m,n?0
.
4. 已知x+x
-1
=3,求下列各式的值：
(1)x?x


3
2
1
2
?
1
2
,(2)x?x.

3
2
?
3
2
5. 求值：
25






2
3
36
;
27
3
;
()
2
49
4
25
?
;
()
2
;
81?9
2
;
23?
3
1.5?
6
12

4
3
3
6. 已知
x?a
?3
?b
?2
, 求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.




7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出
11
升，然后用水填满，再倒出升，又用水填
33
满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数 为多少？






四、小结：
1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
五，作业
化简：（1）
(9)(10)?100

（2）
3?22?3?22

?
2
3
3
2
9
2
5
2

（3）













a
a
aa

后记：






课题： 指数函数及其性质（一）
课 型：新授课
教学目标：
使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联
系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的
性质.
教学重点：掌握指数函数的的性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？
2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？
二、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
① 探究两个实例：
A．细胞分裂 时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次
由4个分裂成8个，如此下去，如果第 x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与
次数x的函数关系式是什么？
B．一种放射性物质 不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，
那么以时间x年为自变量，残留量y的函数 关系式是什么？

② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（exponential function），
其中x是自变量，函数的定义域为R.
④讨论：为什么规定
a
＞0且
a
≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中
其它指数模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和
方法吗？
② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
y?()
x
，
y?2
x
（师生共作→
小结作法）
④ 探讨：函数
y? 2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系？如何由
y?2
x
的图象画出
1
2
1
2
1
归纳出这两个指数函数 的性质.
y?()
x
的图象？根据两个函数的图象的特征，
2
→ 变底数为3或13等后？
⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)
3、例题讲解
例1：（P
56
例6）已知指数函数
f(x)?a
（
a< br>＞0且
a
≠1）的图象过点（3，
π），求
f(0),f(1),f( ?3)的值.







例2：（P
56
例7）比较下列各题中的个值的大小
（1）1.7
2.5
与 1.7
3
( 2 )
0.8






例3：求下列函数的定义域：
?0.1
x
与
0.8
?0.2

( 3 ) 1.7
0.3
与

0.9
3.1

（1）
y?2
4
x?4
（2）
y?()

2
3
|x|








三、巩固练习：
4、 P
58
1、2题





5、 函 数
y?(a
2
?3a?3)a
x
是指数函数，则
a
的值为 .




3、 比较大小：
a?0. 8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
；
1
0
,0.4
?2.5
,
2
?0.2
,< br>2.5
1.6
.





4、 探究：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？





四、小结
1、理解指数函数
y?a(a?0),注意a?1与0?a?1两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨
论的数学思想 .
五、作业
P
59
习题2.1 A组第5、7、8题
后记：




x

课题：指数函数及其性质（二）
课 型：新授课
教学目标： < br>熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判
断其单调性；培养学 生数学应用意识
教学重点：掌握指数函数的性质及应用．
教学难点：理解指数函数的简单应用模型．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 指数函数的定义？底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数
函数的图象是2. 在同一坐标 系中，作出函数图象的草图：
y?2
x
，
y?()
x
，y?5
x
，
1
2
1
1
y?()
x,
y?10
x
,
y?()
x

10
5
3. 提问：指数函数具有哪些性质？
二、讲授新课：
1.教学指数函数的应用模型：
① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育
着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五 次人
口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增
长，实行 计划生育成为我国一项基本国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我 国的人口将达到2000
年的多少倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳
法）
② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经
过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？
→一般形式：
2. 教学指数形式的函数定义域、值域：
① 讨论：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？
② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：
y?2?1
;
y?3
;
y?0.4
.
讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察
法）
② 出示例2. 求函数
y?2
?x
?

3、例题讲解

x
5x?1
1
x?1
1
的定义域和值域.
2
讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？
2
x
?1
例1求函数
y?
x
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
2?1








例2（P
57
例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口
年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到
亿）？








xx
例3、已知 函数
y?9?2?3?2,x?
?
1,2
?
，求这个函数的值域

三、巩固练习：
1、P
58
、3


y?b
x
2、 一片树林中现有木材30000m
3
，如果每年增长5%
Y=
，经过x年树 林中有木材ym
3
，
写出x
，
y间的函数关系式，并利用图象求约经 过多少年，木材可以增加到40000m
3



3
?2
?
1
3
0.76?0.75
22
3. 比较下列各组数的大小：
()与（0.4）
；
（）
.
与（3）
53








四、小结
本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住
a
＞ 1或0＜
a
＜时
y?a
x
的图象，在此基础上研究其性质 .本节课 还涉及到指数型函数的应用，形如
y?ka
x
（a＞0且
a
≠1）.
五、作业
6、 P
59
、9
3x?1?2x
7、 设< br>y
1
?a,y
2
?a,
其中
a
＞0，
a
≠1，确定
x
为何值时，有：
①
y
1
?y
2
②
y
1
＞
y
2


后记：

课题：对数与对数运算 （一）
课 型：新授课

教学目标：
理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化．
教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.
教学难点：对数概念的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭
（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：
()
4
＝？，
1
2
1
()
x
＝0.125
?x=?）
2
2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长 8%，那么经
过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：
(1?8%)
x
=2
?
x=? ）
问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由
1.01
x
?m
求
x
二、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么数 x叫做以a为底 N的对数
（logarithm）.
记作
x?log
a
N
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 → 探究问题1、2的
指化对
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把

常用对数
log
10
N
简记为lgN 在科学技术中常使用以无理 数e=2.71828……为底的
对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数
loge
N
简记作lnN → 认识：
lg5 lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （
a?0,a?1
时，
a
x
?N
?
x?log
a
N
）
负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ）
log
a
1??
，
log
a
a??

n
log
a
N
loga?n

a?N
④：对数公式，
a

2. 教学指数式与对数式的互化：
① 出示例1. 将下列指数式写成对数式：
5
3
?125
；
2
?7
?
1
；
3
a
?27
；
128
10
?2
?0.01

（学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）
② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：
log
1
32??5
； lg0.001=-3； ln100=4.606
2
（学生试练 → 订正 → 变式：
log
1
32??
lg0.001=？ ）
2
3、例题讲解
例1（P
63
例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
11
m
（3）
()?5.73

643
（4）
log
1
16??4
（5）
log
10
0.01??2
（6）
log
e
10?2.303

（1）5
4
=645 （2）
2
?6
?
2










例2：（P
63
例2）求下列各式中x的值
log
64
x??
（1）





2
log
x
8?6

?lne
2
?x

lg100?x
（2）（3）（4）
3

三、巩固练习：
1. 课本64页练习1、2、3、4题







2．计算：
log
9
27
；
log
3
243
；
log
4
3
81
；
log
(2?3)
(2?3)
；



3 ．求
a
log
a
b?log
b
c?log
c
N
的值(a,b,c?R
+
,
且不等于1，N＞0）.


1
4．计算
3
log
3
5
?3
log
3
5
的值.






四. 小结：
对数的定义：
a
b
?N?b?log
Na
(a
＞0且
a
≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质 ：
log
a
a?1

a
＞0且
a
≠1

a
log
a
N
?N



五．作业：P
74
、1、2
后记：





log
3
5
4
625
.

课题：对数与对数运算（二）
课 型：新授课
教学目标：
掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用
法则解决问题.
教学重点：运用对数运算性质解决问题
教学难点：对数运算性质的证明方法
教学过程：
一、复习准备：
1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数 式的互化：
a
x
?N
?
x?log
a
N

2． 提问：指数幂的运算性质？
二、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：

① 引例： 由
a
p
a
q< br>?a
p?q
，如何探讨
log
a
MN
和
lo g
a
M
、
log
a
N
之间的关系？
设
log
a
M?p
,
log
a
N?q< br>，由对数的定义可得：M=
a
，N=
a

pq
∴MN=
aa
=
a

∴
log
a
MN=p +q，即得
log
a
MN=
log
a
M +
log
a
N
pqp?q


② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则
log
a
(MN)=log
a
M+log
aN
;
log
a
M
=log
a
M-loga
N
N
；
log
a
M
n
=nlog
a
M(n?R)


③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通
过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据
对数定义将指数式化成对数 式）

④ 运用换底公式推导下列结论：
log
a
m
b
n
?
2. 教学例题：
1
n

log
a
b
；
log
a
b?
log
b
a
m
例1. 判断下列式子是否正确，（
a
＞0且
a
≠1，
x
＞0且
a
≠1，
x
＞0，
x
＞
， y
）
（1）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)
（2）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)

（3）
log
ax
?log
a
x?log
a
y
（4）log
a
xy?log
a
x?log
a
y

y
1

x
n
（5）
(log
a
x )?nlog
a
x
（6）
log
a
x?? log
a
（7）
n
log
a
x?







1
log
a
x

n
例2（ P
65
例3例4）：用
log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示出（1）（2）小题，
并求出（3）、（4）小 题的值.
x
2
y
xy
75
（1）
log
a
（2）
log
a
（3）
log
z
(4?2)
（4）
lg
5
100

3
z
8










三、巩固练习：
1、P
68
1、2、3

3. 设
lg2?a
,
lg3?b
，试用
a
、
b
表示
log
5
12
.
变式：已知l g２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg
3
的值.


lg27?lg8?3lg10
lg243
7
3、计算：
lg14?2lg?lg7?lg18
； ； .
lg1.2
lg9
3
4. 试求
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
的值


5. 设
a
、
b
、
c
为正数，且
3
a
?4
b
?6
c
，求证：
111

??
ca2b


四 、小结：
对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.
五、作业：P
74
3、4、5
后记：

课题：对数与对数运算（三）
课 型：新授课
教学目标：
能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力．
教学重点：用对数运算解决实践问题.
教学难点：如何转化为数学问题
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数的运算性质及换底公式？
2. 已知
log
2
3 = a，
log
3
7 = b, 用 a, b 表示
log
42
56
3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果 人口的年自然增长率控制在1.25℅，
问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （答案：
12?(1?0.0125)
x
?14
→
lg7?lg6
7
?12.4
）
1.0125
x
?
→
x?
lg1.0125
6
二、讲授新课：
1.教学对数运算的实践 应用：让学生自己阅读思考P
67
~P
68
的例5，例6的题
目，教 师点拨思考：
① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺 度，
就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振
幅就越大 . 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：
M?lgA?lgA
0
，其中A是被测地震的最大振幅，
A
0
是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了
修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千 米的测震仪记录的地震最大振幅
是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最 大振幅是5级地震最
大振幅的多少倍？（精确到1）
② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确 定的规律衰减，大约每
经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们 获得
了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

（ Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P
和t之间的关系，指出是我 们所学过的何种函数？
（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函
数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓
的年代？
④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P 和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数
P?(
5730
8、 例题选讲
b
例1、已知：
log
18
8?a,18?5,求log
3 6
45
（用含a，b的式子表示）
1
x
)
；
2












例2、计算
log
2









例3，
已lgx?lgy?2lg(x?2y)
求
log










2
111
?log
3
?log
5

2589
x
的值
y

三、巩固练习：
1. 计算：
5
1?log
0.2
3
；
log
4
3? log
9
2?log
1
4
32

2




2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的
基础上翻两翻？





3 . P
68
、4

四、小结：
初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现
象
五、作业P
74
9、11、12
后记：

课题：对数函数及其性质（一）
课 型：新授课
教学目标：
通过 具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数
的概念，体会对数函数是一类重 要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.
能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培 养学生数形结合的意识.用联系
的观点分析问题.
教学重点：对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数的图象和性质及应用
教学过程：
一、复习准备：
1
2
2. 根据教材P
73
例，用计算器可以完成下表：
碳14的含量P
0.5
1. 画出
y?2
x
、
y? ()
x
的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.
0.3 0.1 0.01 0.001

生物死亡年数t
讨论：t与P的关系？（对 每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系
t?log
5730
1
2
P
，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）
二、讲授新课：

1.教学对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a＞0且a≠ 1时，函数
y=log
a
x
叫做对数函数(logarithmic
function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：
y?2log
2
x，
y?log
5
(5x)
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数
对底数的限制
(a?0
，且
a?1)
．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容
和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log
2
x
；
y?log
0.5
x


⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？
列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）
引申：图象的分布规律？


2、总结出的表格

图象的特征 函数的性质
（1）图象都在
y
轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0
（3）从左往右看，当
a
＞1时，图
象逐渐上升，当0＜
a
＜1时，图象
逐渐下降 .
（3）当
a
＞1时，
y?log
a
是增函数，
当
0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函
数 .
（4）当
a
＞1时
（4）当
a
＞1时，函数图象在（ 1，
0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，
0）点左边的纵坐标都小于0. 当0
＜
a
＜1时，图象正好相反，在（1，
0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，
0）点左边的纵坐标都大于0 .

2. 教学例题
例1：（P71例7）求下列函数的定义域
（1）
y?log
a
x
（2）
y?log
a
(4?x)
（
a
＞0且
a
≠1）








例2. （P72例8）比较下列各组数中的两个值大小
2
x
x
＞1，则
log
a
x
＞0
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

当0＜
a
＜1时
x
＞1，则
log
a
x
＜0
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

（1）
log
2
3.4,
（2）
log
0.3
1.8,
（3）
log
a
5.1,
l og
2
8.5

log
0.3
2.7

log
a
5.9
（
a
＞0，且
a
≠1）

三．巩固练习：
1、P73页3、4题


2．求下列函数的定义域：
y?log
0.2
(?x?6)
；
y?
3
log
2
x
.


3．比较下列各题中两个数值的大小：

log
0.3
4和log
0.2
0.7
；
log
0.7
1.6和log
0. 7
1.8
；
log
2
3和log
3
2
．
log
2
3和log
2
3.5
；


4. 已知下列不等式，比较正数m、n的大小：
log
3
m＜
log
3
n ；
log
0.3
m＞
log
0.3
n ；
log
a
m＞
log
a
n (a＞1)


5. 探究：求定义域
y?log
2
(3x?5)
；y?log
0.5
4x?3
.



四.小结：
对数函数的概念、图象和性质; 求定义域；利用单调性比大小.
五、作业P74页7、8、10
后记：

课题： 对数函数及其性质（二）
课 型：新授课
教学目标：
了解对数函数在生产 实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;
学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互 为反函数,能够在同一坐标上看出
互为反函数的两个函数的图象性质.
教学重点与难点：理解反函数的概念
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的图象和性质？
2. 比较两个对数的大小：
log
10
7
与
log
10
12
；
log
0.5
0.7
与
log< br>0.5
0.8

3. 求函数的定义域
y?
?
1?log
3
2x
?
；
y?log
a
(2x?8)

二、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
① 出示例题（P72例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度p H的计算公式
pH??lg[H
?
]
，其中
[H
?
]
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升.
（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？
（Ⅱ）纯净水
[H
?
]?10
?7
摩尔升，计算纯净水的酸碱度.
②讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思
想
2．反函数的教学:
① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的
自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数
（inverse function）
② 探究：如何由
y?2
x
求出x？
③ 分析：函数
x?log2
y
由
y?2
x
解出，是把指数函数
y?2
x
中的自变量与因变量
对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为
y?log
2
x
. < br>那么我们就说指数函数
y?2
x
与对数函数
y?log
2x
互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
y?2
x< br>及其反函数
y?log
2
x
图象，发
现什么性质？
⑤ 分析：取
y?2
x
图象上的几个点，说出它们关于直线
y?x< br>的对称点的坐标，
并判断它们是否在
y?log
2
x
的图象上 ，为什么？
?1

⑥ 探究：如果
P
0
(x
0
,y
0
)
在函数
y?2
x
的图象上，那么P0
关于直线
y?x
的对称点
在函数
y?log
2
x
的图象上吗，为什么？
由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线
y?x
对称)

3、例题讲解
例1、求下列函数的反函数
x
（1）
y?5
（2）
y?log
0.5
x













2
例 2、求函数
log
1
(x?6x?17)
的定义域、值域和单调区间
2








三、巩固练习：

1练习：求下列函数的反函数：
y?3
x
；
y?log
6
x

（师生共练 → 小结步骤：解x ；习惯表示；定义域）





2.求下列函数的反函数： y=
(2)
x
(x∈R)； y=
log
a
x
(a＞0,a≠1,x＞0)
2



x
-1
3． 己知函数
f(x)?a?k
的图 象过点（1，3）其反函数
y?f
?
x
?
的图象过（2，