高中数学教学反思导数的几何意义-高中数学的应用价值
教学设计 建立概率模型
教学分析
本节教科书通过例2的四种模
型的所有可能结果数越来越少,调动起学生思
考探究的兴趣;教师在教学中要注意通过引导学生体会不同
模型的特点以及对各
种方法进行比较,提高学生分析和解决问题的能力.
三维目标
1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题,提高学生分析问题和解
决问题的能力.
2.通过学习建立概率模型,培养学生的应用能力.
重点难点
教学重点:建立古典概型.
教学难点:建立古典概型.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.计算事件发生概
率的大小时,要建立概率模型,把什么看成一个基
本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型
,教师点出课题.
思路2.解决实际应用问题时,要转化为数学问题来解决,即建立数学模型,
这是高中数学的重点内容之一,也是高考的必考内容,同样解决概率问题也要建
立概率模型,教师点出
课题.
推进新课
新知探究
提出问题
1.回顾解应用题的步骤?
2.什么样的概率属于古典概型?
讨论结果:1.解应用题的一般程序:
(1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一
关是基础. (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.熟
悉基本数学模型,
正确进行建“模”是关键的一关.
(3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要充分注意数学模型中
元素的实
际意义,更要注意巧思妙作,优化过程.
(4)答:将数学结论还原给实际问题的结果.
2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型:
(1)试验的所有基本事件只有有限个,每次试验只出现其中一个基本事件;
(2)每一次试验中,每个基本事件出现的可能性相等.
应用示例
思路1
例 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个
人
按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率.
分析:我们只需找出4个人按
顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸
到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果
.
1
解法一:用
A
表示事件“第二个人摸到白
球”.把2个白球编上序号1,2;
2个黑球也编上序号1,2.于是,4个人按顺序依次从袋中摸出一
球的所有可能结
果,可用树状图直观地表示出来(如图1).
图1
树状图是进行列
举的一种常用方法.从上面的树状图可以看出,试验的所有
可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜
色外完全相同,因此,这24种结果
的出现是等可能的,试验属于古典概型.在这24种结果中,第二个
人摸到白球
121
的结果有12种,因此“第二个人摸到白球”的概率
P
(<
br>A
)==,这与第一节
242
的模拟结果是一致的.
还可以建立另外
的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模
型能使得试验的所有可能结果数变少,那么我
们计算起来就更简便.
解法二:因为是计算“第二个人摸到白球”的概率,所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出
来(如图2).
图2
从上面的树状图可以看出,这个模型的所有可能结果数为12,因为口袋里<
br>的4个球除颜色外完全相同,因此,这12种结果的出现是等可能的,这个模型
也是古典概型.在
上面12种结果中,第二个人摸到白球的结果有6种,因此“第
61
二个人摸到白球”的概率<
br>P
(
A
)==.
122
这里,我们是根据事件“第二个人摸
到白球”的特点,利用试验结果的对称
性,只考虑前两人摸球的情况,从而简化了模型.
2
还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除
颜色外完全
相同,因此,可以对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,这样建立的模
型的
所有可能结果数就会更少,由此得到另一种解法.
解法三:只考虑球的颜色,4个人按顺序依次从袋中
摸出一球的所有可能结
果可用树状图列举出来(如图3).
图3
试验的所有可能结
果数为6,并且这6种结果的出现是等可能的,这个模型
是古典概型.在这6种结果中,第二个人摸到白
球的结果有3种,因此“第二个
31
人摸到白球”的概率
P
(
A)==.
62
下面再给出一种更为简单的解法.
解法四:只考虑第二个人摸出
的球的情况,他可能摸到这4个球中的任何一
个,这4种结果出现的可能性是相同的.第二个人摸到白球
的结果有2种,因此
21
“第二个人摸到白球”的概率
P
(
A
)==.
42
点评:画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一.
解法一
利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果,共有
24种,其中第二个人摸到白球的结
果有12种,因此算得“第二个人摸到白球”
1
的概率为.
2
解法二利用试
验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,所有可能结果减
少为12种,简化了模型.
解法
三只考虑球的颜色,对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,所
有可能结果只有6种.
解法四只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,这个模型
最简单.
尽管解法二、三、四建立的模型在解决该问题时比解法一简便,但解法一也
有它的优势,利用解法一可以
计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率,而
解法二、三、四却不能做到.教师要提醒学生,本章古
典概率的计算,解法一是
最基本的方法.
对于一个实际问题,有时从不同的角度考虑,可以建立不同的古典概型来解
决.
变式训练
3
小明和小刚正在做掷骰子游戏,
两人各掷一枚骰子,当两枚骰子点数之和为
奇数时,小刚得1分,否则小明得1分.这个游戏公平吗?
分析:计算双方获胜的概率,来判断游戏是否公平.
解:设(
x
,
y
)表示小明抛掷骰子点数是
x
,小刚抛掷骰子点数是
y
,则该概<
br>率属于古典概型.所有的基本事件是:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(
1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6)
,(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),<
br>(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4
),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6),
即有36种基本事件.
其中点数之和为奇数的基本事件有:
(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(
2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),
(4,3),(4,5)
,(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5).
即有18种.
181
所以小刚得1分的概率是=.
362
11
则小明得1分的概率是1-=.
22
则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同,游戏公平.
思路2
例 在
一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标
注的数字外完全相同.现从
中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和
为3或6的概率是( ).
3111
A. B. C. D.
1051012
解析:用(
x
,
y
)(
x
≠
y
)表示从
这5个球中随机取出2个小球上数字的结果,
其结果有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,
5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),
(4,5),即共有10种,
取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有:(1,2),
3
(1,5),(2,4),共有
3种,所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为.
10
答案:A
点评:求
古典概型的概率的步骤:①利用枚举法计算基本事件的总数;②利
用枚举法计算所求事件所含基本事件的
个数;③代入古典概型的概率计算公式求
得.
变式训练
1.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为
(单位:g):
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
该自动包装机包装的食盐质量在497.5~501.5 g之间的概率约为________.
分析:观察表格可得在497.5~501.5 g之间的食盐有:498,501,500,501,
499
5
共5袋,则食盐质量在497.5~501.5 g之间的概率=0.25.
20
答案:0.25
4
2.某校要从高一、高二、高三共2
007名学生中选取50名组成访问团,若
采用下面的方法选取:先用分层抽样的方法从2
007人中剔除7人,剩下的2 000
人再按简单随机抽样的方法进行,则每人入选的概率( ).
A.不全相等 B.均不相等
501
C.都相等且为
D.都相等且为
2 00740
分析:按分层抽样抽取样本时,每个个体被抽到的概率是相等
的,都等于
50
.
2 007
答案:C
知能训练
1.袋中有4个红球,5个白球,2个黑球,从里面任意摸2个
小球,________
不是基本事件.( ).
A.{正好2个红球}
B.{正好2个黑球}
C.{正好2个白球} D.{至少一个红球}
解析:
至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至少一
个红球}不是基本事件,其他事件都
是基本事件.
答案:D
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷10
000次,那么第9 999次出
现正面朝上的概率是( ).
119
9991
A. B. C. D.
9 99910 00010
0002
答案:D
3.有4条线段,长度分别为1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,
则所取
三条线段能够成一个三角形的概率是( ).
1112
A. B.
C. D.
4325
答案:A
4.一个总体含有100个个体,以简单随
机抽样方式从该总体中抽取一个容
量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为________.
解析:按简单随机抽样抽取样本时,每个个体被抽到的概率是相等的,都等
51
于,即
.
10020
1
答案:
20
5.某小组有5名女生,3名男生,
现从这个小组中任意选出一名组长,则
其中一名女生小丽当选为组长的概率是________.
1
答案:
8
6.袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出
两球,求下
列事件的概率:
(1)事件
A
:取出的两球都是白球;
(2)事件
B
:取出一个是白球,另一个是红球.
分析:首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件
A
的个
5
数和事件
B
的个数,运用公式求解即可.
解:
设4个白球的编号为1,2,3,4,两个红球的编号为5,6.从袋中的6个小
球中任取两个的基本事
件有:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,4),
(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6
)共15个.
(1)取出的全是白球的基本事件,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),
(2,4),(3,4),
62
故取出的两个球都是白球的概率为
P
(
A
)==. <
br>155
(2)取出一个是白球,而另一个为红球的基本事件,共有8个,即为(1,5),
(1,6), (2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),
8
故取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为
P
(
B
)=.
15
拓展提升
1.连续掷两次骰子,以先后得到的点
数
m
,
n
为点
P
(
m
,
n
)的坐标,设圆
Q
的方程为
x
2
+
y
2
=17.
(1)求点
P
在圆
Q
上的概率;
(2)求点
P
在圆
Q
外部的概率.
解:
m
的值的所有可能是1,2,3,4,5,6,
n
的值的所有可能是1,2,3,4,5,6,
所以,点
P
(m
,
n
)的所有可能情况有6×6=36种,且每一种可能出现的可
能性
相等,本问题属古典概型问题.
(1)点
P
在圆
Q
上只有
P
(1,4),
P
(4,1)两种情况,
21
根据古典概型公式,点
P
在圆
Q
上的概率为=.
3618
(2)点
P
在圆
Q
内的坐标是:
(1,
1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共有8个点
,
所以点
P
在圆
Q
外部的概率为
2+813
1-=.
3618
2.将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次,求以下事件的概率:
(1)3次正面向上;
(2)2次正面向上,1次反面向上.
解:(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8,
又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1,
设事件“3次正面向上”为
A
,
1
∴
P
(
A
)=.
8
1
∴事件“3次正面向上”发生的概率为.
8
(2)又事件“2次正面向上,1次反面向上”共有基本事件数为3,
设事件“2次正面向上,1次反面向上”为
B
,
3
∴
P
(
B
)=.
8
6
3
∴事件“2次正面向上,一次反面向上”发生的概率为.
8
课堂小结
本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题,可以建立不同的概率模型来
解决.
作业
习题3—2 A组 7,8.
设计感想
本节教学设计过程中,注重培养学生的应用能力,以及古典概型的计算方
法.在实际教学过程中,教师
要根据学生的实际,重点指导学生如何建立古典概
型.
备课资料
不同背景的实际问题归为同一模型
对于一个实际问题,我们有时可以通过建立不同的模型来解
决;另一方面,
有很多不同的问题,我们还可以把它们归为同一个模型来解决.
复习题三的A
组第7题的一般情形就是研究
r
个球随机放入
n
个盒子中的可
能分布
,这是一个很重要的概率模型.有许多实际问题,尽管它们的直观背景很
不相同,但都可以抽象为
r
个球随机地分布于
n
个盒子中的模型.例如,6个盒
子分别代表数字1,
2,3,4,5,6,掷一粒骰子,若向上的点数为3,则这个结果对
应于把一个球放入代表数字3的盒
子中,因此,掷
r
粒骰子的可能结果就相当于
把
r
个球随机地放入这
6个盒子中(
n
=6);两个盒子分别代表正面朝上和反面朝
上,掷一枚硬币,若出现
正面朝上,则这个结果对应于把一个球放入代表正面朝
上的盒子中,掷
r
枚硬币的可能
结果就相当于把
r
个球随机地放入这两个盒子中
(
n
=2);类似地
,
r
个人的生日的可能情形相当于
r
个球随机地放入
n
=3
65个
盒子中的可能结果(假定一年是365天);一部电梯,开始有
r
个乘客,它在
n
层楼中的每一层都停,乘客走出电梯的各种可能情形相当于
r
个球随机地放
入
n
个盒子中的可能结果;等等.
7
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