高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计

4.3 空间直角坐标系
一、学习目标
掌握空间直角坐标系的有关概念； 会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的
有关坐标，掌握空间两点间的距离公式，会应用距离 公式解决有关问题。
二、学习重点、难点
重点：建立空间直角坐标系；
难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
三、学习过程
（一）问题情景
问题1：借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置 ，那么空
间的点如何表示呢？
（二）知识探求
1、空间直角坐标系：
问题2：如何建立空间直角坐标系？
（1）在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。
（2）如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。
（3）空间直角坐标系的“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。
（4）在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使
?xOy??xOz?135
，
?yOz?90
?
，
且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为 y轴（或z轴）的单位长度的一半，
即用斜二测的方法画。
2、例题剖析：
例1、 如图，在长方体OABC
—
D
1
A
1
B
1
C
1
中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD
1
| = 2，
写出D
1
，C，A
1
，B
1
四点的坐标。

例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是
八个棱长为
?
1
的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。如图2
出全部钠原子所在位置的建立空间直角坐标系Oxyz后，试写
坐标。

分析：
11
，，0）；
22
11111111
中层钠原子的坐标：（，0 ，），（1，，），（，1，），（0，，）；
22222222
11
上层钠原子的 坐标：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）。
22下层钠原子的坐标：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0）（
3、反 馈练习：课本P136，练习1，2，3。
（三）知识迁移：空间两点间的距离公式
1、思考：类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？
解决问题：
（1）设点P的坐标是 (x，y，z)，求点P到坐标原点O的距离。
如图，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B的坐标是 (x，y，0)，
在平面xOy上，有
|OB|?x
2
?y
2
，
在 Rt△OBP中，根据勾股定理，
|OP|?|OB|
2
?|BP|
2

因为 | BP | = | z |，所以
|OP|?x
2
?y
2
?z
2
。
2222
（2）探究：如果 | OP | 是定长，那么
x?y?z?r
表示什么图形？
表示空间中以原点O为圆心，r为半径的球。
（3）空间两点间的距离公式：
设< br>P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
在平面xOy上的射
影分别为
M(x
1
,y
1
,0 )
，
N(x
2
,y
2
,0)
，
所以|MN|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
，
过点P
1
作P
1
H⊥P
2
N于H，则|MP
1
| = |z
1
|，|MP
2
| = |z
2
|，所以|HP
2
| = |z
2
– z
1
|，
在
Rt?P
1
P
2
H
中，|P
1
H| = |MN|，

22
所以
|P< br>1
P
2
|?|P
1
H|?|P
2
H|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2< br>)
2
?(z
1
?z
2
)
2
； 结论：空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式：
|P(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
。
1
P
2
|?
思考：该公式与平面上两点间的距离公式有什么联系？
2、反馈练习：课本P138，练习1，2，3，4。
（四）归纳小结：我们学到了什么？
1、空间直角坐标系：用空间直角坐标系刻画点的位置，根据点的位置表示出点的坐标。
2、 空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式：
|P(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
。
1
P
2
|?
（五）作业：课本P138，习题4.3 [A组] 2，3。