高一数学《角的概念的推广》教学设计

高一数学《角的概念的推广》教学设计
高一数学《角的概念的推广》教学设计
高一数学《角的概念的推广》教学设计
教材分析
这节课主要是把学生学习的角从不 大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、
负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广 角的必要性和实际意义，然
后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的 概念：
象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角
等概 念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概
念，会在平面内建立适当 的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的
角的表示，是学好这节的关键．
教学目标
1.通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．
2.理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．
3.通过对“由一 点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成
角”的认识过程，使学生感受“动”与“ 静”的对立与统一．培养学生用运动变化的
观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量 关系．
任务分析
这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动 、体
操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意
义，变 抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和
掌握．
教学设计

一、问题情境
［演示］
1.观览车的运动．
2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．
3.钟表秒针的转动．
4.自行车轮子的滚动．
［问题］
1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两 周时，他们观察到的观览车上的某个
座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？
2.在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？
3.钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？
4.当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？
显然，这些角超出了 我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范
围的基础上，把角的概念加以推广，为 进一步研究三角函数作好准备．
二、建立模型
1.正角、负角、零角的概念
在平 面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习
惯上规定，按逆时针旋转而成 的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；
当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作 零角．
2.象限角
当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在 第几象
限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于
任何 象限．
3.终边相同的角

在坐标系中作出390°，－330°角的终边， 不难发现，它们都与30°角的终边相同，
并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z ）周角的和，即
390°＝30°＋360°，（k＝1）；
－330°＝30°－360°，（k＝－1）．
设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°， k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°
角也是S中的元素（此时k＝0）．容易 看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°
角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元 素均与30°角终边相同．一般
地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛ β｜β＝α＋k·360°，
k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和 ．
三、解释应用
［例题］
1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的
角．
（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．
2.分别写出与下列角终边相 同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜
720°的元素写出来．
（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′．
3.写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个 ，即90°，270°．因此，与这
两个角终边相同的角构成的集合为
S1＝｛β｜β＝90 °＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有
与270°角终 边相同的角构成的集合为
S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝
｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．

于是，终边在y轴上的角的集合为
S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k ·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，
k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋ n·180°，n∈Z｝．
注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．
［练习］
1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°
的元素β 写出来．
（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．
2.辨析概念．（分别用集合表示出来）
（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．
3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．
4.终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．
四、拓展延伸
1.若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长 线，
则角α与β的关系是．
2.如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？
注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．
（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）