高中数学任意角教案-高中数学理科人教版2-3 目录
高中数学
-
双曲线及其性质
考纲展示命题探究
考点一双曲线的标准方程
知识点
1双曲线的定义
(1)
定义:平面上,到两定点的距离之差的绝对值为常数
迹?两定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
(2)
符号语言:||MF
i
|—|MF
2
||= 2a(2a<|F让自)?
2双曲线的标准方程
根据双曲线的定义,通过建立适当的坐标系得出的,其形式为:
(1) 当双曲线的焦点在 x轴上时,双曲线的标准方程为
2 2
X
2
—占=1(a>0,b>0) ?
(小于两定点间的距离
)的动点的轨
a b
2 2
(2) 当双曲线的焦点在
y轴上时,双曲线的标准方程为
y
2
—
a b
1(a>0,b>0) ?
3双曲线方程的几种常见设法
2 2 2 2
(1) 与双曲线 寻—
y
2
= 1有共同渐近线的双曲线方程可设为
a b
(2) 若双曲线的渐近线方程为 y= ±x,则双曲线方程可设为
寻—
y
2
=
a b
2 2
0) ?
n
2
x
2
— m
2
y
2
m
—卡=
X
样0)或
x
2
v
2
⑶与双曲线 孑一^2= 1共焦点的双曲线方程可设为
⑷过两个已知点的双曲线的标准方程可设为
2 2 2 2
x
2
v
2
k —点匚厂1( —
b
2
).
mx
2
+
ny
2
= 1(mn<0) ?
孑—广入=1(b
2
<
X
2
)
?
(5)与椭圆字+常=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为
注意点 双曲线定义的理解
当|MF
i
|-|MF
2
|= 2a时,曲线仅表示焦点
F
2
所对应的双曲线的一支;当
|MF
i
|-|MF
2
|=- 2a 时,曲线仅表
示焦点
F
i
所对应的双曲线的一支;当 2a=
|F
I
F
2
|
时,轨迹为分别以 F
i
,
F
2
为端点 的两条射线;当
2a>|F
i
F
2
1
时,动点轨迹不存在.
入门测
1 ?思维辨析
(1)平面内到
点
F
i
(0,4),F
2
(0,-
4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
⑵平面内到点
2
-
x
y
F
i
(0,4),F
2
(0,-
4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线.(
⑶方程m
n
2 2
1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(
(4)
x
+
y
= 1表示双曲线的充要条件
是 m n
答案⑴X
2
?与椭圆C:
mn< 0.( )
)
)
⑵X
(3)
X ⑷V
? +12
=
1共焦点且过点(1,冷3)的双曲线的标准方程为
A ? X
汁
2
-
1
( )
B ?
y
2
-2x
2
= 1
D.I- x
2
= 1
3
C
y
x
2
答案
解析
3
1彳
椭圆给+名
1
的焦点坐标为(°,
-
2
)
,
(°,
2
),设双曲线的标准方程为m
-
?
1
(
m
>
0
,
1,
m
n
n>0),则
解得m= n= 2,故选C.
m+ n = 4,
2 2
3?双曲线 ' = 1上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是
16 9
答案(8,±T.3)
解析 F(5,0)为双曲线的右焦点,设
P(x, y),则(x— 5)
2
+ y
2
=
36①,与—-工=1②,联立①
16 9
② 解得:x= 8,y=
±3 ,3.
A
P(8,±3 ,3).
解题法
[考法综述]高考一般考查双曲线方程 的求法和通过方程研究双曲线的性质.
曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程,
者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题.
命题法 双曲线的定义和方程
2 2
双
或
典例 ⑴已知双曲线 C :
X
2
-
y
2
=
1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则
a b
C的方程
X V .
C — — = 1
80 20
且满足
F
1
PF
2
= 60 °
2 2
【解题法】 双曲线标准方程的求法
(1) 一般步骤
①判断:根据已知条件确定双曲线的焦点在 x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可
能.
② 设:根据①中判断设岀所需的未知数或者标准方程.
③
列:根据题意列关于 a,b,
c的方程或者方程组.
④ 解:求解得到方程.
(2)常见问题形式
① 如果已知双曲线的中心在原
点,
方程,然后根据条件确定关于 a,
且确定了焦点在
x轴上还是y轴上,设岀相应形式的标准
b,c的方程组,解岀
a
2
,b
2
,从而写岀双曲线的标准方程 (求
).
得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解
②
当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:
一种是分类讨论,注意考虑要全面;
另一种是如果已知中心在原点, 位
置,可以设双曲线的一般方程
1?下列双曲线中,焦点在
A. x
2
-宁 1
y
2
2
C.] — x
2
= 1
4
答案
2.已知双曲线
2
但不能确定焦点的具体
mx
2 3 4
+
ny
2
= 1(mn<0).
对点练
y轴上且渐近线方程为 y =
i2x的是(
B.
5
— y
2
= 1
4
22
x
y
5
苫—J 1
2 2
解析
3 A. 4
和勺—笃=1的渐近线方程分别为 笃—士
a b a b
0 和—% = 0.A、B 选项
a b
y2
中双曲线的焦点在
x轴上,
C、D选项中双曲线的焦点在
y轴上,又令 — x
= 0,得y = i2x,令
4
2
y
2
—
x
= 0,得 y
,故选C.
2
x ‘
2
2
D . y
— = 1
4
5
2
近
% - 16 =
1
C :孑—岸=1的离心率e=
4,且其右焦点为F
2
(5,0),则双曲线C的方程为( )
x
2
C. 16
答案
解析
由题意得
e=
故双曲线
C
的方程为x6-y9 = i.
16 9
2 2
1 +竽
=
4,又右焦点为
F
2
(5,0), a
2
+ b
2
=
c
2
,所以a
2
= 16, b
2
= 9,
3.已知双曲线a — ” = 1(a>0 , b>0)的一条渐近线过点(2 , ■
3),且双曲线的一个焦点在抛物
线y
2
= 4 7X的准线上,
则双曲线的方程为()
2 2
2 2
21
28
C.X3
-=
1
4
答案
解析
2
x
2
y
1
B冬
亠
=1
28 21
2 2
D.- —
y
= 1
4 3
由题意可得
a=子,
1.
c = 7,又c
2
=
7= a
2
+b
2
,解得a
2
= 4,
b
2
= 3,故双曲线的方程
4.已知双曲线C的离心率为
A
1
2,焦点为F
1
,
F
2
,点 A 在 C 上.若|F
1
A|=
2|F
2
A|,贝
U
COS
AF
2
F
1
A. 4
2
答案 A
解析???双曲线的离心率为
2,二
-=
2,
??? a : b : c= 1 : ? 3 : 2.
B.i
a
|AF
1
|— |AF
2
|=
2a,
|F
1
A|= 2|F
2
A|,