算法在高中数学中的渗透

算法思想在高中数学中的渗透
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“算法除作 为本模块的内容之外，其思想方
法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解 决相关问题。”新
课程不仅开设算法初步专题，而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分. 在 高中数
学课程中，解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分
法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回
归方程等， 都是算法的典型案例．由此可见，算法思想贯穿整个高中数学，算法的学习对整
个高中数学的学习有着“ 源”与“流”的关系.在教学中，要体现数学与算法的有机结合，
在学习相应内容的过程中，有意识地引 导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中
的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要 性。

一、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想
算法一方面具有具体化、程序 化、
机械化的特点，同时又有抽象性、概
括性和精确性.在教学时尽量根据问题
解决情 景培养算法思想，以真正提高
学生思维能力.
x
2
y
2
【 例1】已知椭圆
??1
的离心率
4m
为
1
，试设计求
m
的算法程序框图.
2
x
2
y
2
算法分析：信息“椭圆
??1
”
4m
意味着
m?0,m?4
，离心率
e?
c1
?
a2
2
需定位 方程中4和
m
哪一个是
a
.
可用条件结构表现“椭圆焦点在
哪个坐标轴上”与“
m
与4的大小”
之间的依赖关系，即需判断
m
与4的
大小，并据此设计算法，程序框图如
下.
二、波利亚的“怎样解题表”
是数学问题解决的普适性算
法
按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤： 第一，
弄清 问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾.就这四个步骤而言，波利亚指
出：“最糟糕的情 况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来，在尚未看到主要
联系或者尚未作出某种计划的 情况下，去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者，

数学教师需认真研读波利亚 的“怎样解题”.

波利亚的“怎样解题”表

弄清问题

第一
你必须弄清问题



未知是什么？已知是什么？ 满足条件是否可能？要缺点未知，条件是
否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图，引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？
拟定计划



你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
第二
找出已知数与未知数
之间的联系.如果找
不出直接的联系，你
可能不得不考虑辅助
问题.
你应该最终得出
一个求解的计划.







看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题？
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗 ？你能利用它的方法吗？为
了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述这个
问题？
回到定义去。
如果你解决所提出的问题，可先解决一个与此相关的问题。你能不能
想 出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问
题？一个类比的问题？你能否解决这个问 题的一部分？仅仅保持条
件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它
回 怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能
想出适合于确定未知数的其它数据？如果 需要的话，你能不能改变未
知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有已知的数据？你是否利用了所有条件？你是否考
实现计划
虑了包含在问题中的必要的概念？

第三
实现你的计划

实现你的求解计划，检验每一个步骤
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？
你能否证明这一步骤是正确的？
回顾



你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一
第四
下子看出它来?
验算所得到的解
你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?

【例2】(2003年全国卷第21题)已 知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB
的中点，点E
、
F
、
G分别在BC
、
CD
、
DA上移动，且
DF< br>C
BECFDG
??
，P为GE与OF的交点（如图15），问是否
E
BCCDDA
G
P
存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求
A
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
OB

分 析：本题高考四川省均分仅1.59，惨不忍睹！很多学生考后
仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此 题果真就这样难吗？
y
让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受：
首 先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数
F
DC
问题、不是立体几何 问题，肯定是解析几何问题；
E
P
其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系 环境下求解，
G
x
因此要建立恰当的坐标系；
O
AB
第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图

建系；
第四，建立坐标系的目的是什么呢？当然从问题情境看可以设
置点A、B、
C
、
D
、
E
、
F
、
G、、
O
开始
的坐标（事实上只需设元引参：设
BECFDG
? ?
=k，进而确定相关
BCCDDA
问题的信息输入：这是解析几何问题，需建立坐标
的点的坐标）；
第五，不妨回到问题中来：结论需
要我们做什么呢？若存在两个定点
根据图形的对称性建立恰当的坐标系
使P到这两点的距离的和为定值的
话，点P的轨 迹不就是椭圆吗？因
此问题的核心是求点P的轨迹方程;
设置点A、B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、、
O的坐标
第六，根据前面五点可知，只需建
立直线OF和GE的方程，用交轨法
建立 直线OF和GE的方程，用交轨法求点P的轨迹方程
解决即可.
我们在赞叹这位同 学聪明机智
的同时，更应该看到他思维过程中
根据点P的轨迹方程判断点P的存在性
算法思想的影子.我们不妨用算法的
框图来描述解决此问题的思维过程
和逻辑关系如右.
结束
事实上，上述框图中的前三步
应该容易想到，并且有了前三步，

想到第四步及以后的步骤就比较自
然了.
解：如图建立直角坐标系，按题意有A(- 2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).
BECFDG
???k(0?k?1).

BCCDDA
由此有E( 2,4ak),F(2?4k,4a),G(?2,4a?4ak).
设

直线O F的方程为2ax?(2k?1)?0,
直线GE的方程为?a(2k?1)x?y?2a?0.
?
1
?
?
2
?
从
?
1
?
，
?
2
?
消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a
2x
2
?y
2
?2ay?0,
x
2
(y?a)< br>2
整理得??1.
1
a
2
2
1
当a
2
?时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
2
1
当a
2
?时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
2
111
当a
2
?时，点到椭圆两个焦点(??a
2
,a),(?a
2
,a)的距离之和为定值2.
222
111
当a
2
?时， 点到椭圆两个焦点(0,a?a
2
?),(0,a?a
2
?)的距离之和为定 值2a.
222
三、算法思想也是思想实验
【例3】(2002年全国卷文科22) 给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中
一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼 成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三
角形面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在 图1、图2中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小.






图一 图二

分析：要求用 正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相
等，除了给出的标准答案外 ，其实还有一种更简单自然的方法（如右图）.这种做法应该更
容易想到，所用知识更少.像这样的动手 实
虚
践的问题，其实更需要学生在平时积累的
盈
直接经验，这也是新课程标准 所强调的（即
正从
正从
虚
动手实践能力）.
盈
而这一算法 思想古人早就应用其解决
广
广
实际问题。在《九章算术》中卷一“方田”
第2 5题：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？注
文中的“以盈补虚”就是刘徽的“出入相补” 法，在高考中从代数角
度也进行了考查，如上海高考试题：已知函数
y?2cosx
?
0?x?2
?
?
的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图
形，则这 个封闭图形的面积是
A．4 B．8

C．2
?
D．4
?

四、 数学问题是培养算法思想的素材
【例4】设实数m>n,m+n=8,mn=12,求m和n.
解析：算法一：（传统方法） m、n是方程x
2
-8x+12=0的根，利用求根公式或十字相乘法知
m=6,n= 2.
算法延伸：在等差数列
{a
n
}
中，
a
2< br>?a
9
?11,a
5
a
6
?30
，则
a
n
?
__________.
思路：由等差数列性质知
a2
?a
9
?a
5
?a
6
，可知
a5
,a
6
是方程
x?11x?30?0
的两个
根，故
a
5
?5，a
6
?6或a
5
?6,a
6< br>?5
，得
a
n
?n
，或
a
n
?7? n
。
算法二：（构造共轭）m+n=8,mn=12
?
（m+n）
2
=64
?
m
2
+2mn+n
2
=64
?
m
2
)-2mn+n
2
=16
?
(m-n)
2
=16
?
m-n=4
?
m=6,n=2.
2
1
,则tan
?
=________.
5
73
思路：由算法二方法构造共轭式：sin
?
-cos
?
=，得
tan
?
??

54
应用示例：设
?
是第二象限 的角，sin
?
+cos
?
=
?
算法三：（增量代换）m+ n=8
?
m超过4的的部分正好是n少于4的部分，据此设m=4+t,n=4-t,
代入mn=12
?
(4+t)(4-t)=12
?
t
2< br>=4
?
t=2
?
m=6,n=2。
应用示例：（1）已知 正数
a,b
满足
a?b?2
，则
11
?
的最小值为 __________.
ab
（2）（06江苏）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟 ）分别为
x
，
y
，10，11，9.已
知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜
x
－
y
｜的值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11112
思路：（1）令
a?1?t,b?1?t?t?[0,1)
，则
??f(t)???( 0?t?1)
，所以
ab1?t1?t
1?t
2
t?0
时< br>11
?
取最小值2。
ab
（2）本题考查统计的基本知识，样本平均 数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，所
涉及的是初中知识，而不是离散型随机 变量分布列的期望（平均）与方差。
样本平均数为
x?y?10?11?9

?10?x?y?20
①
5
(x?10)
2
?( y?10)
2
?(10?10)
2
?(11?10)
2
?( 9?10)
2
样本方差为
?2?(x?10)
2
?(y?10)< br>2
?8
②
5
解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x
、
y，只要求出
x?y
即可，由①，设x=10+t,
y=10-t,代 入②得：
2t
2
?8?|t|?2
，故
|x?y|?2|t|?4< br>，选D
五、利用算法思想提高学生数学思维品质
【例5】(09福建理15)五位同 学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数
为1，第二位同学首次报出的数也为1，之 后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的
数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍 手一次已知甲同学第一个报数，当
五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为___ _____.

解析：这是历史上著名的斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力. 利用
《算法初步》案例1的思想首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所
求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即设第
n
次报数、第
n?1
次报数、第
n?2
次报数分别为
a
n
，
a
n?1
，
a
n?2
，则有
an
?a
n?1
?a
n?2
，那么有1、1、
2、3、5 、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别< br>是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按 1、
1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在一个周期内只有第四个数和第八个数都是3的倍数 ，
五位同学依序循环报完100个数共经历12.5个周期，其中第4，8，12，16，?，
4k
，?，
96，100个数是3的倍数，已知甲同学第一个报数，他报数的位置为1，6，? ，
5n?1
，?，
96.问题转化为当
a
n
?5n?1?1 00
时有
{a
n
}
多少项是4的倍数，易知
n?3,7,1 1,15,19
时
a
n
是4的倍数，即甲同学拍手的总次数为5次.
我们在看看四川06年理科12题：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复
数字的三 位数，这个数不能被3整除的概率为
（A）
19353841
（B） （C） （D）
54545460
【考查目的】本题考查排列组合、概率及分类的思想方法．
【解法 】从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数一共有：
1
2
．
P
9
P
9
= 9×9×8＝648（个）
因为一个整 数能被3整除当且仅当其各位数字之和能被3整除，所以我们将0到9这
10个数字按被3除所得余数分 成1，4，7；2，5，8；0，3，6，9三组来考虑．
①组成三位数的三个数字不含0，3，6， 9，这时三个数字之和要能被3整除只能是1，4，7
或2，5，8的组合，共有2
?
P
3
3
?12
个；
②三个数字中有且只有0，3，6，9中的一个 ，这时三个数字之和要能被3整除，其余两个
1113
112
数字只能分别是1，4， 7和2，5，8两组中各取一个，共
C
4
除去0在首位的
C
3
C
3
C
3
P
3
个，
C
3
P2
个，还有198个；
③三个数字中有且只有0，3，6，9中的两个，这时组成的三位 数三个数字之和都不能被3
整除；
④三个数字都取自0，3，6，9，共
P
4
3
个，这时三个数字之和必可被3整除，除去0在首位
的
P
32
个，还有18个．
故能被3整除的共有12+198+18＝228个．
不能被3整除的有648－228＝420个．
因此概率P＝
42035
．
?
64854
【点评】本题是当年四川高考理科选择题的压轴题．求能被3整除的三位 数的个数是一个常
规题，求能被3整除的没有重复数字的三位数难度就增加了不少，如果再与概率综合， 随着

需要考虑的情况复杂性的增加，需根据算法思想进行正确清晰的分类，对思维能力的 要求很
高。本题对高分考生的区分度明显高于对全体考生的区分，是一个难题．
六、利用算法思想提高学生问题解决能力
算法是思维的条理化和逻辑化，其基本思想是程序化、按部就班. 我们可以利用这一算
法思想 拟订解决具体数学问题的思维流程或解题步骤，帮助我们走出思维混乱、表述不清的
困境.
【 例6】(09海南宁夏理17)为了测量两山顶M，N间
的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量 ．A，
B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）．飞机能
够测量的数据有俯角和A，B间的 距离．请设计一个
方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，
并在图中标出）；②用文 字和公式写出计算M，N间的
距离的步骤．

解析： 这是一个以三角为背景考查算法思想的一个好题，需要一定的算法分析能力。
方案一：①需要测量的数 据有：
A
点到
M
，
N
点
的俯角
?
1
，
?
1
；
B
点到
M
，
N
的俯角
?
2
，
?
2
；
A，B
的距离d
（如图所示）．

②第一步：计算
AM
．由正弦定理
AM?
dsin
?
2
；
sin(
?
1
?
?
2
)
dsin
?
2
；
sin(?
2
?
?
1
)
AM
2
?AN
2
?2AM·ANcos(
?
1
?
?
1
)
．
第二步：计算
AN
．由正弦定理
AN?
第三步：计算
M N
．由余弦定理
MN?
方案二：①需要测量的数据有：
A
点到M，N
点的俯角
?
1
，
?
1
；
B点到
M
，
N
的俯角
?
2
，
?
2
；
A，B
的距离
d
（如
图所示）．
②第一步： 计算
BM
．由正弦定理
BM?
dsin
?
1
； < br>sin(
?
1
?
?
2
)
第二步：计算
BN
．由正弦定理
BN?
dsin
?
1
；
si n(
?
2
?
?
1
)
BM
2
?BN
2
?2BM·BNcos(
?
2
?
?
2
)
． 第三步：计算
MN
．由余弦定理
MN?
七、算法思想本身贯穿新课程教材 < /p>

在学习《算法初步》之前我们实际上已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程、不等式的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思
想。人教 A版教材充分关注算法的思想方法渗透在高中数学课程其他有关内容中，在教材正
文及小贴士、《思考》 、《阅读与思考》、《信息技术应用》等栏目设计了大量利用算法解决相
关问题的情景，如人教A版数学 5第三章《不等式》中，第二单元《一元二次不都是的解
法》正文(P
78
)用一个程 序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，再要求学生在判
断框和处理框中的空格填充相关内容 （如下图），这能充分鼓励学生尽可能地运用算法解决
相关问题。


























“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”通过《算法初步》及教材各章 节渗透的算法他
的学习，能否让学生理解算法概念？学生能否独立进行算法分析？独立进行算法设计？是 否
形成了算法意识？是否形成算法思想并能自觉运用于问题解决？是否发展了学生有条理的
思考 与表达的能力？是否提高了学生逻辑思维能力？算法思想是否已经成为学生数学素质
的有机组成部分？这 些既是我们践行新课程时面临的问题，也是我们教学实践中永久的追
问，更是我们数学人永远的思考。