如何学好三角形的全等证明

如何学好三角形全等的证明
数学教师：朱贵华
学过全等三角形的人都很清 楚，对于一般的三角形全等的证明，我们有SSS、
SAS、AAS、ASA四种证明方法，而直角三角 形还可以运用HL的办法去证明。
而且我们也应该知道：
1. 当已知两边对应相等的时候，我们的目标是找第三条边或者它们的夹角
对应相等；
2. 当已知两角对应相等的时候，我们的目标是再找一条边对应相等；
3. 当已知一个角和一条邻边的时候，我们的目标是找出这个角的另一条邻
边或者另一个角对应相等；
4. 当已知一个角和它的对边的时候，我们的目标是找出另一个角对应相等，
当然已知的那个角是直角的时候，还可以再找一条直角边对应相等。
从上面的叙述中我们不难发现，证 明两个三角形全等的时候，大多数情况一
眼就能看出三组对应条件中的两组对应条件是相等，而关键是第 三组对应条件如
何去获得或者证明得到，通过下面的学习，你将得到答案。
情况一：当两个三 角形有重叠或者相邻的时候，可以利用公共边、公共角、重
叠边、重叠角得到对应边相等或者对应角相等 。
例1、已知∠1=∠2，BC=AD，问⊿ABC≌⊿BAD吗？
解析：除了已知条件以外，还有公共边AB=BA


例2、已知AD=AE，∠B=∠C，问AC=AB吗？说明理由。

解析：除了已知条件以外，有公共角∠A=∠A
D
B
A
B
F
A
2
D
E
A
A
E
C
D
C
O
1
2
D
B

例3、已知BE=CF，AB=CD， ∠B=∠C.问AF=DE吗？

解析：除了已知条件以外，有重叠边EF=FE，那么
BE+EF=CF+FE，即BF=CE

解析：除了已知条件以外，有重叠角∠BAE=∠EAB，
E
1
B
C
例4、
已知AB=AC， ∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。
C

那么∠1+∠BAE=∠2＋∠EAB，即∠CAE=∠BAD

情况二：当图 形中有平行线的时候，可以利用平行线的同位角相等和内错角相
等来得到对应角相等
A
例5、已知∠A=∠D，AC∥FD，AC=FD，问AB∥DE吗？说明理由。
B
C
F
D
E
解析：除了已知条件以外，利用平行线内错角相等得到
∠ACB=∠DFE
例6、已知点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。
A
解析：除了已知条件以外，利用平行线同位角相等得到
∠1=∠2
C
1
B
2
E
D
情况三：当图形中出现角平分线和垂 直平分线的时候，可以利用角平分线盒垂
直平分线的性质得到对应边相等。
例7、 如图所示 ，△ABC中AB>AC，∠A的角平分线与BC的垂直平分线DM
相交于点D，过D点作DE⊥AB于 E，做DF⊥AC于F，求证：BE=CF
A
解析：连接BD、DC，利用垂直平分线的性质得到BD=DC






利用角平分线的性质得到DE=DF，又有DE⊥AB，
DF⊥AC，利用RT三角形的斜边直角边可证
△BED≌CFD，所以BE=CF
E
B
D
M
C
F





情况四：当图中存在等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的时候，可以
利用特 殊三角形的性质来得到对应边或者对应角相等。
等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等，三线合一。
等边三角形的性质：三边相等，三个角60°，三线合一。
等腰直角三角形的性质：90°直 角，两直角边相等，两锐角相等且等于45°，
斜边上的高，中线，直角的角平分线三线合一，且等于斜 边的一半。
例8、 在△ABC中,AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上
取点E，使CE=BD，连接DE交BC于点F，求证：DF=EF.
解析：考虑到要证得两条边肯定不相等，因此需要作
辅助线构造全等三角形，可以过D作AC的平
行线交BC于点G，现在只需证△EGF≌△ECF，
D
B
G
C
F
E
A
通过平行与对顶角很容易找出两组对应角相等，且可以得到
∠DGB=∠ACB=∠B，所以DG=BD=CE，最终全等后DF=EF

例9、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CE，BD，
证明：CE=BD
解析：CE与BD分别只在△CAE和△BAD中，通过观察
C
这两个三角形应该是全等，所以现在的目标是证明
△CAE≌△BAD，根据等边三角形的性质，容易得到
CA=BA，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，再根据这

B
E

A


D
两个三角形有重叠角，易得∠CAE=∠BAD，所以△CAE≌△BAD，
所以CE=BD。
例10、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，∠B=90°，
D，E分别是AB，BC上的点，且BD=BE，EF⊥BC，
连结CD，过C作CG⊥DC，交∠FEC的平分线于点G，
若∠ADC=120°，BD=3，求CG的长。

解析：顶点标有字母的三角形中，只有△ECG包含CG
A
F
D
G
B
E
C
这条边，通过观察与△ECG全等的三角形应该是
△ADC，由AB=BC，BD=BE易得AD=EC，又因为
∠ADC=120°，CD⊥CG，所以∠BDC=60°，∠DCB=30°，
所以∠ECG=120°=∠ADC，△ABC是等腰RT△，所以∠A=45°，
而EG平分∠FEC，所以∠GEC=45°=∠A，所以△ECG≌△ADC，
所以CG=DC，而DC=2BD=6，所以CG=6。

情况五：当图中垂直或者直角比较多的时候，可以利用同角的余角相等来证明
对应角相等。 < br>所谓同角的余角相等，就是∠1+∠2=90°，∠1＋∠3=90°，那么∠2=∠3；这
个可 以拓展到同角的补角相等，以及两个角加上同一个角后相等那么这两个角相
等的普通情况，这种题型在平 时的考试和练习中经常出现，但是学生们却没怎么
形成主流思维的方法。

A
例11、
如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD,
证明：ΔBDH≌ΔADC。
解析：要证ΔBDH≌ΔADC，根据题目已知，很容易得到
BD=AD，∠BDG=∠ADC=90°，差一个条件，显然边
B
应该很难再证到了，根据图中直角比较多的情况，
很容易发现，∠GBD+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，
所以∠GBD=∠BAC，从而能证ΔBDH≌ΔADC

例12、如图，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，
求证：PA=PB
解析：根据角平分线的特点作PD垂直OB于点D，那么OC=OD,
那么要证PA=PB，显然要证△PAC≌△PBD，又有
∠PCA=90°=∠PDB，根据已知∠OAP+∠OBP=180°，
以及∠OBD=∠OBP+∠PBD=180°可得:
∠PAC=∠PBD，所以△PAC≌△PBD，所以PA=PB
例13、如图，已知△ABC为等边 三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且
△DEF也是等边三角形．求证：△AEF≌△B FD
解析：根据等边三角形的性质，很容易得到∠A=∠B=60°，
EF=FD，已经得到了一个角和它的对边，显然下个
目标是再找一个角对应相等，由于∠A=∠B=∠EFD=60°，
那么∠AFE+∠AEF=120°，∠AFE+∠BFD=120， 所以
∠AEF=∠BFD，所以△AEF≌△BFD

总结：通过以上那些方法，我们几乎可以解 决初中所有的全等问题，当然，对
于综合题可能需要利用上述方法中的两种或两种以上，但是只要我们把 上面的
方法融汇贯通了，要解决这类问题也就手到擒来了。

G
F
D
C
A
C
P
O
BD
A
EF
D
C
B