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如何学好三角形的全等证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 08:05
tags:怎样学好高中数学

高中数学圆锥曲线与方程课件-山东省高中数学选修

2020年9月18日发(作者:卓晚春)


如何学好三角形全等的证明
数学教师:朱贵华
学过全等三角形的人都很清 楚,对于一般的三角形全等的证明,我们有SSS、
SAS、AAS、ASA四种证明方法,而直角三角 形还可以运用HL的办法去证明。
而且我们也应该知道:
1. 当已知两边对应相等的时候,我们的目标是找第三条边或者它们的夹角
对应相等;
2. 当已知两角对应相等的时候,我们的目标是再找一条边对应相等;
3. 当已知一个角和一条邻边的时候,我们的目标是找出这个角的另一条邻
边或者另一个角对应相等;
4. 当已知一个角和它的对边的时候,我们的目标是找出另一个角对应相等,
当然已知的那个角是直角的时候,还可以再找一条直角边对应相等。
从上面的叙述中我们不难发现,证 明两个三角形全等的时候,大多数情况一
眼就能看出三组对应条件中的两组对应条件是相等,而关键是第 三组对应条件如
何去获得或者证明得到,通过下面的学习,你将得到答案。
情况一:当两个三 角形有重叠或者相邻的时候,可以利用公共边、公共角、重
叠边、重叠角得到对应边相等或者对应角相等 。
例1、已知∠1=∠2,BC=AD,问⊿ABC≌⊿BAD吗?
解析:除了已知条件以外,还有公共边AB=BA


例2、已知AD=AE,∠B=∠C,问AC=AB吗?说明理由。

解析:除了已知条件以外,有公共角∠A=∠A
D
B
A
B
F
A
2
D
E
A
A
E
C
D
C
O
1
2
D
B

例3、已知BE=CF,AB=CD, ∠B=∠C.问AF=DE吗?

解析:除了已知条件以外,有重叠边EF=FE,那么
BE+EF=CF+FE,即BF=CE

解析:除了已知条件以外,有重叠角∠BAE=∠EAB,
E
1
B
C
例4、
已知AB=AC, ∠1=∠2,AD=AE,问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。
C

那么∠1+∠BAE=∠2+∠EAB,即∠CAE=∠BAD


情况二:当图 形中有平行线的时候,可以利用平行线的同位角相等和内错角相
等来得到对应角相等
A
例5、已知∠A=∠D,AC∥FD,AC=FD,问AB∥DE吗?说明理由。
B
C
F
D
E
解析:除了已知条件以外,利用平行线内错角相等得到
∠ACB=∠DFE
例6、已知点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE,问∠D=∠E吗?说明理由。
A
解析:除了已知条件以外,利用平行线同位角相等得到
∠1=∠2
C
1
B
2
E
D
情况三:当图形中出现角平分线和垂 直平分线的时候,可以利用角平分线盒垂
直平分线的性质得到对应边相等。
例7、 如图所示 ,△ABC中AB>AC,∠A的角平分线与BC的垂直平分线DM
相交于点D,过D点作DE⊥AB于 E,做DF⊥AC于F,求证:BE=CF
A
解析:连接BD、DC,利用垂直平分线的性质得到BD=DC






利用角平分线的性质得到DE=DF,又有DE⊥AB,
DF⊥AC,利用RT三角形的斜边直角边可证
△BED≌CFD,所以BE=CF
E
B
D
M
C
F





情况四:当图中存在等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的时候,可以
利用特 殊三角形的性质来得到对应边或者对应角相等。
等腰三角形的性质:两腰相等,两底角相等,三线合一。
等边三角形的性质:三边相等,三个角60°,三线合一。
等腰直角三角形的性质:90°直 角,两直角边相等,两锐角相等且等于45°,
斜边上的高,中线,直角的角平分线三线合一,且等于斜 边的一半。
例8、 在△ABC中,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上
取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证:DF=EF.
解析:考虑到要证得两条边肯定不相等,因此需要作
辅助线构造全等三角形,可以过D作AC的平
行线交BC于点G,现在只需证△EGF≌△ECF,
D
B
G
C
F
E
A
通过平行与对顶角很容易找出两组对应角相等,且可以得到
∠DGB=∠ACB=∠B,所以DG=BD=CE,最终全等后DF=EF


例9、如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CE,BD,
证明:CE=BD
解析:CE与BD分别只在△CAE和△BAD中,通过观察
C
这两个三角形应该是全等,所以现在的目标是证明
△CAE≌△BAD,根据等边三角形的性质,容易得到
CA=BA,AE=AD,∠CAB=∠EAD=60°,再根据这

B
E

A


D
两个三角形有重叠角,易得∠CAE=∠BAD,所以△CAE≌△BAD,
所以CE=BD。
例10、如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=BC,∠B=90°,
D,E分别是AB,BC上的点,且BD=BE,EF⊥BC,
连结CD,过C作CG⊥DC,交∠FEC的平分线于点G,
若∠ADC=120°,BD=3,求CG的长。

解析:顶点标有字母的三角形中,只有△ECG包含CG
A
F
D
G
B
E
C
这条边,通过观察与△ECG全等的三角形应该是
△ADC,由AB=BC,BD=BE易得AD=EC,又因为
∠ADC=120°,CD⊥CG,所以∠BDC=60°,∠DCB=30°,
所以∠ECG=120°=∠ADC,△ABC是等腰RT△,所以∠A=45°,
而EG平分∠FEC,所以∠GEC=45°=∠A,所以△ECG≌△ADC,
所以CG=DC,而DC=2BD=6,所以CG=6。

情况五:当图中垂直或者直角比较多的时候,可以利用同角的余角相等来证明
对应角相等。 < br>所谓同角的余角相等,就是∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,那么∠2=∠3;这
个可 以拓展到同角的补角相等,以及两个角加上同一个角后相等那么这两个角相
等的普通情况,这种题型在平 时的考试和练习中经常出现,但是学生们却没怎么
形成主流思维的方法。




A
例11、
如图,ΔABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,
证明:ΔBDH≌ΔADC。
解析:要证ΔBDH≌ΔADC,根据题目已知,很容易得到
BD=AD,∠BDG=∠ADC=90°,差一个条件,显然边
B
应该很难再证到了,根据图中直角比较多的情况,
很容易发现,∠GBD+∠C=90°,∠BAC+∠C=90°,
所以∠GBD=∠BAC,从而能证ΔBDH≌ΔADC

例12、如图,P为∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°,
求证:PA=PB
解析:根据角平分线的特点作PD垂直OB于点D,那么OC=OD,
那么要证PA=PB,显然要证△PAC≌△PBD,又有
∠PCA=90°=∠PDB,根据已知∠OAP+∠OBP=180°,
以及∠OBD=∠OBP+∠PBD=180°可得:
∠PAC=∠PBD,所以△PAC≌△PBD,所以PA=PB
例13、如图,已知△ABC为等边 三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且
△DEF也是等边三角形.求证:△AEF≌△B FD
解析:根据等边三角形的性质,很容易得到∠A=∠B=60°,
EF=FD,已经得到了一个角和它的对边,显然下个
目标是再找一个角对应相等,由于∠A=∠B=∠EFD=60°,
那么∠AFE+∠AEF=120°,∠AFE+∠BFD=120, 所以
∠AEF=∠BFD,所以△AEF≌△BFD

总结:通过以上那些方法,我们几乎可以解 决初中所有的全等问题,当然,对
于综合题可能需要利用上述方法中的两种或两种以上,但是只要我们把 上面的
方法融汇贯通了,要解决这类问题也就手到擒来了。

G
F
D
C
A
C
P
O
BD
A
EF
D
C
B

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