重点高中数学优秀说课稿

重点高中数学优秀说课稿

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1.1.1集合的含义与表示说课稿
各位评委老师，大家好！
我叫*******，来自*******大学，今天我说课的题 目是集合的含义与表示，下面我将围绕本节课“教
什么”、“怎么教”以及“为什么这样教”三个问题， 从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、
教法与学法分析、教学过程分析、板书设计六方面逐一加 以说明。 一、教材分析
集合的含义与表示是选自高中新课标A版教材必修1第一章第一节内容。集 合概念及其基本理论，
称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支， 都建立在集合理
论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用 。同时也
为后面学习集合的基本关系、集合的基本运算等起着铺垫作用。本节课内容的地位体现在它基础
性。
二、教学目标
根据上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为 1. 知识与技能目标
理解集合的含义，集合的元素的特征，元素与集合的关系. 掌握集合的表示方法. 了解常用的数集.
培养学生的抽象思维能力、分析能力、判断能力.
2. 过程与方法目标
应用自然语言与集合语言描述不同的具体问题，与学生一道归纳出集合的含义. 掌握从具体到抽
象，从特殊到一般的研究方法.
3. 情感态度价值观目标
使得学生感受数学的简洁美与和谐统一美. 培养学生正确的、高尚的、唯物的价值观.培养学生独立思考、敢于创新、勇于探索的科学精神，激发同学们学习数学的兴趣. 三、重点和难点
重点 ：根据上述对教材的分析，确定的教学目标，我确定本节课的教学重点为：集合的基本含义与
表示方法；
难点：考虑到学生已有的知识基础与认知能力，我认为教学难点是运用集合的两种常用表示方法—

3

——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
关键：学好本节课的关键是理解集合的含义，掌握集合的表示方法以及运用集合的两种表示方
法 四、教学与学法分析 1.学情分析
（1）生理特点：高中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思 维从经验型逐步走向理论型发展，
观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展.
（2） 心理特点：高中学生虽有好奇，好表现的因素，更有知道原理、明白方法的理性愿望，希望
平等交流研讨 ，厌烦空洞的说教.
（3）认知障碍：有的学生遗忘了学过的知识，有的学生想象能力与归纳能力较差.
2.教法分析
根据上面的分析，从高中生的心理特点和认知水平出发，结合学生的实际情况 与认知障碍，按照突
出重点，突破难点，本节课采用学生广泛参与，师生共同探讨的启发法式教学.
3.学法分析
主动学习法: 举出例子, 提出问题, 让学生在获得感性认识的同时,教师
层层深入, 启发学生积极思维, 主动探索知识, 培养学生思维想象的综合能力。 五、教学过程分
析 具体的思路如下 一、
引入课题
军训前学校通知：9月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是
全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些 特定（是高一而不是高二、高三）
对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念—— 集合，即一些研究对象的总
体。 二、
正体部分
学生阅读教材，并思考下列问题： （1）集合有那些概念？ （2）集合有那些符号？

4

（3）集合中元素的特性是什么？
第 3 页 共 5 页
（4）如何给集合分类? （一）集合的有关概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，
都可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由
这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、??元素通常用小写的
拉丁字母表示，如a、b、c、??
1、思考：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子 和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨
论、点评，进而讲解下面的问题。 2、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中
的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。（举例） 集合A=｛2，
3，4，6，9｝a=2 因此我们知道 a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，
记作Aa
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. （举例） 集合A=｛3，4，6，9｝a=2 因此我们
知道Aa
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）
含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分
，}{

，}0{，0等符号的含义 5、常用数集及其表示方法
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（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0
的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：
全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排
除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述
法来表示集合。
（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，
5y3-x，x2+y2}，； 例1．（课本例1） 思考2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内
先写上表示 这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集
合中元素所具有的 共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?； 例2．（课本例2） 说明：（课本P5最后一
段） 思考3：（课本P6思考）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：
{整数}，即 代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错
误的。 < br>说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元

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素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）课堂练习（课本P6练习）
为了使得学生掌握本节课的重点，突破难点，巩固新知， 我将在课堂上布置一些练习，并请学生
演示。
三、 归纳小结与作业
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了
说明，然后 介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。 四、作业布置
为了巩固所学知识，激发学生的求知欲，我将布置2种不同类型的题目
书面作业：必做题：习题1.1，第1- 3题，课外选做题：习题1.1 第四题
五、板书设计
集合的含义与表示
集合的含义 元素与集合的关系
集合元素的三个特性 常用数集与记法 例
1 例2 课堂练习（请几位学生） 请学生上黑板
演示、并对学生的演示进行点评

归纳小结 作业布置


1.1.2集合间的基本关系说课稿
一 、教学内容分析
集合概念及其理论是近代 数学的基石，集合语言是现代数学的基本语言，通过学习、使用集合
语言，有利于学生简洁、准确地表达 数学内容，高中课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学
会使用最基本的集合语言表示有关的数学对 象，发展运用数学语言进行交流的能力.

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本章集合 的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。本
小节内容是在学习了 集合的概念以及集合的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上，进一步学
习集合与集合之间的关系， 同时也是下一节学习集合之间的运算的基础，因此本小节起着承上启下
的重要作用.
本节课的 教学重视过程的教学，因此我选择了启发式教学的教学方式。通过问题情境的设置，
层层深入，由具体到 抽象，由特殊到一般，帮助学生的逐步提升数学思维。
二、学情分析
本节课是学生进入高中 学习的第3节数学课，也是学生正式学习集合语言的第3节课。由于一
切对于学生来说都是新的，所以学 生的学习兴趣相对来说比较浓厚，有利于学习活动的展开。而集
合对于学生来说既熟悉又陌生，熟悉的是 在初中就已经使用数轴求简单不等式（组）的解，用图示
法表示四边形之间的关系，陌生的是使用集合的 语言来描述集合之间的关系。而从具体的实例中抽
象出集合之间的包含关系的本质，对于学生是一个挑战 。
根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标和教学重、难点如下：
三、教学目标：
知识与技能目标：
（1）理解集合之间包含和相等的含义；
（2）能识别给定集合的子集；
（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系
过程与方法目标：
（1）通过复 习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合之间
的从属关系，探究集合之 间的包含和相等关系；
（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语 言，发展运用
数学语言进行交流的能力；
情感、态度、价值观目标：

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（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；
（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。
四、本节课教学的重、难点：
重点：（1）帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系——子集；
（2）如何确定集合之间的关系；
难点：集合关系与其特征性质之间的关系
五、教学过程设计
1.新课的引入——设置问题情境，激发学习兴趣
我们的教学方 式，要服务于学生的学习方式。那我们来思考一下，在何种情况下，学生学得最
好？我想，当学生感兴趣 时；当学生智力遭遇到挑战时；当学生能自主地参与探索和创新时；当学
生能够学以致用时；当学生得到 鼓励与信任时，他们学得最好。数学教学活动必须建立在学生的认
知发展水平和已有的知识经验基础之上 ，这样才能让学生体验到成就感，保持积极的兴奋状态。而
集合的语言对于学生来说是陌生的，虽然比较 容易理解，但是由于概念多，符号多，学生容易产生
厌烦心理，如何让学生长时间兴趣盎然地投入到集合 关系的学习中呢？我在整个教学过程中层层设
问，不断地向学生提出挑战，以激发学生的学习兴趣。在引 入的环节，我设计了下面的问题情境1：
元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间有“相 等”、“不相等”的关系；那么集合与
集合之间有什么样的关系呢？问题的抛出犹如一石激起千层浪，在 这儿，答案并不重要，重要的是
学生迫切寻求答案的愿望，激发学生的求知欲。在学生讨论的基础上提出 这一节课我们来共同探讨
集合之间的基本关系。（板书课题）
2．概念的形成——从特殊到一般、从具体到抽象，从已知到未知
问题情境1的探究：
具体实例1： （1）A={1，2，3}; B={1，2，3，4，5}；
（2）A={菱形}， B={平行四边形}
（3）A={x| x>2}， B={x| x>1};

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此环节设置了三个具体实例，包含了 有限集、无限集、数集（包括不等式）、图形的集合。第
一个例子为有限集数集，最为简单直观，对学生 初步认识子集，理解子集的概念很有帮助；第二个
例子是图形集合且是无限集，需要通过探究图形的性质 之间的关系找出集合间的关系；第三个例子
是无限数集，基于学生初中阶段已经学习了用数轴表示不等式 的解集，启发学生可以通过数形结合
的方式来研究集合之间的关系，从而引出Venn图。对第一个例子 ，借助多媒体演示动画，帮助学
生体会“任意”性。使学生在经历直观感知、观察发现的基础上建构子集 的概念，并且我在教学的
过程中特别注重让学生说，借此来学习运用集合语言进行交流，对于学生的创新 意识和创新结果我
都给予积极的评价。
3、概念的剖析
（1）A中的元素x与集合B的关系决定了集合A与集合B之间的关系，
（2）符号的表示，Venn图的引入及其用Venn图表示集合的方法。
这里引入了许多新 的符号，对初学者来说容易混淆，是一个易错点，因此我在这里设置了一个
填空小练习：
0 {0}， {正方形} {矩形}，三角形 {等边三角形}
{梯形} {平行四边形}，{x|-1并引导学生类比数与数之间的 “≤”“≥”符号来记忆“
?
”“
?
”符号。
4、概念的深化——集合的相等与真子集
问题情境2：如果集合A是集合B的子集，那么对于 任意的
x?A
，有
x?B
；那么对于集合B
中的任何一个元素，它与 集合A之间又可能是什么关系呢？
具体实例2：(1)、A＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}
(2)、A＝{x|-1通过对具体例子的分析学生很 容易归纳出集合相等与真子集的概念，对于子集、真子集和集合
相等三者之间的关系也有了较为清晰的认 识。

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另外，从特殊实例到一般集合，从具体到抽 象，对于集合A、B针对问题2我还渗透了分类讨
论的思想，也即对于A
?
B，对 于任意的
x?A
，有
x?B
，而反过来若对于任意的
x?B
，也有
x?A
，
即B
?
A，则A＝B；但对于任意的
x ?B
，若
x?A
，即
B?A
，则A是B的真子集。
同时还 通过具体例子给出了空集的定义并由集合间的基本关系得到了子集的相关性质，进而使
学生在能力上有所 提升。
例1、写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并指出有几个真子集是哪些？
功能：帮助学生认识子集、真子集的构成，认识空集是任何非空集合的真子集，
例2、集合A与集合B之间是什么关系？
A＝{x|x=4k+2,k∈Z} B={x｜x=2k，k∈Z }
功能：加深对集合间的包含关系的理解，渗透从特殊到一般的研究方 法，提升到对集合的特征
性之间的关系的理解，为下一环节做准备，特别容易出错的地方是学生会认为这 两个集合相等。
5．概念的提升
用特征性质之间的关系理解集合之间的关系，已经在前面具 体实例的分析中逐渐渗透，最后将
具体集合间的关系，抽象到两个一般集合间的关系，通过从具体到抽样 的研究突破难点。
6．小结

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回顾一节 课我们留给学生的是什么？我认为更重要的应该是思考问题的方法，因此小结时引导
学生从知识和方法两 个方面进行反思。




1.2函数及其表示
说课稿（一）：
尊敬的各位专家、评委：
下午好！
我的抽签序号是＿＿＿＿，今天我说课的课题是人教A版必修1第一章第二节《函数及其表示》.
我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”
为思路， 从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教
材的理解和教学 的设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、教材分析
（一）地位与作用
函数是中学数学中最重要的基本概念之一,函数的学习大致可分为三个阶段:第一阶段在
义 务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数,凡比例函数,一次函数,二次函数等;
本章 学习的函数的概念、基本性质与后续将要学习的基本初等函数（i）和（iI）是函数学习的第
二阶段， 是对函数概念的再认识阶段；第三阶段在选修系列得导数及其应用的学习，使函数学习的
进一步深化和提 高。因此函数及其表述这一节在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯
穿高中数学的始终，学 好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让学生
在今后的学习、工作和生活中 受益无穷。
本小节介绍了函数概念，及表示方法.我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教 学，
第二课时完成函数图象的教学。这里我主要谈谈函数概念的教学。
函数的概念部分用三个 实际例子设计数学情境，让学生探寻变量和变量的对应关系，结合初中
学习的函数理论，在集合论的基础 上，促使学生建构出函数的概念，体验结合旧知识，探索新知识，
研究新问题的快乐。
（二）学情分析
（1）在初中,学生已经学习过函数的概念,并且知道函数是变量之间的相互依赖关系.
（2）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（3） 学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
二、目标分析
根据《函数的概念》在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学
目标：
（一）教学目标
（1）知识与技能
1
进一步体会函数是描述变量 之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函
○
数，体会对应关系在刻画函数 概念中的作用
2
了解构成函数的要素，理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简单函数的定义域。 ○
③由实际问题出发，培养学生探索知识和抽象概括知识等方面的能力。
（2）过程与方法

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引导学生观察，探寻变 量和变量的对应关系，通过归纳、抽象、概括，自主建构函数概念；
体验结合旧知识探索新知识，研究新 问题的快乐
（3）情感态度与价值观
通过对函数概念形成的探究过程培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质
（二）重点难点
重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念
难点：函数概念及符号y=f（x）的理解
三、教法、学法分析
（一）教法
在本课的教学过程中采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段，以学 生
为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索新知识。
（二）学法
首先，学生通过研究教师在课堂上提供的实例和提出的问题，展开分析和讨 论，发表个人的见解，
接下来采用学生评价学生的方法提炼问题的中心思想。其次，学生通过对新旧两种 函数定义的对比，
在集合论的观点下初步建构出函数的概念。最后，学生在理解函数概念的基础上，建构 出函数的定
义域、值域的概念，并初步掌握它们的求法。
四、教学过程分析
（一）教学过程设计
（1）创设情境，提出问题。
引入课本的三个具体实例，引发学生的探索
对于例1：可以分别让学生计算t=1，2，5，10时， 炮弹距离地面多高，同时关注t和h的变
化范围，引导学生体会有解析式刻画变量之间的对应关系，启发 学生用集合与对应的语言描述函数
关系：
对于例2：可以让学生观察图像，找出臭氧空洞面积 最大的年份或者臭氧空洞面积大约为2000
万平方千米所对应的年份，引导学生体会图像对刻画变量之 间的对应关系，并关注t和s的范围。
启发学生再次利用集合与对应的语言描述函数关系：
对 于例3：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个例题的两个变量之间的关系相似？如何
用集合和对应 的语言进行描述
（2）引导探究，建构概念。
（1）进一步提问：“你觉得这三个问题有 没有共同的特点呢？”由于这个问题比较开放，所以学生，
容易形成数学以外的或者不在本课研究范围的 观点。首先采用小组合作探究的形式获得共识，并由
各小组派代表发表探究成果，接着再让其它学生根据 老师的叙述，评论、提炼出重点。作为教学的
引导者，我需要及时对学生的解答进行指引。最终得出函数 的概念
（2）教师概括总结学生的探究成果，形成函数概念，并进一步解释函数概念
I、函数的三要素
Ii函数富豪的内涵
为深化学生对函数概念的理解 ，还可以用函数概念解析已经学过的一次函数，二次函数，妇女比
例函数等，可以设计如下表格
函数 一次函数 二次函数 反比例函数
对应关系
定义域
值域
由学生填写
（3）自我尝试，初步应用。
例1、判断下列图像是否为函数图像。考察学生对函数定义的理解
例2、采用课本例1，并增加一问若f（x）=-1，求x

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目的是引导学生探究求函数定义域的基本方法；对于用解析式表示的函数会用 解析式求函数值
或有函数值求子变量的值，进一步体会函数级号的含义，区分f（-1），f（a），f （x）
例3．采用课本例2
目的：通过判断函数的相等认识到函数的整体性，并指出在三 要素中，由于值域是由定义域和对应
法则决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系相同，两个函数 就相等；进一步加深函数概念
的理解
（4）当堂训练，巩固深化。
通过学生的主体 参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识识的
再次深化。
采用课后练习1、2、3
（5）小结归纳，回顾反思。
小结归纳不仅是 对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面
进行总结。我设计了三个问题 ：（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的
学习，你最大的体验是什么？（3 ）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？
（二）作业设计
作业分为必做题和选做 题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延
伸与，注重知识的延伸与连贯，强 调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功
的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生 饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛
围的形成．
我设计了以下作业：
（1）必做题：课后习题A 1（2，3），2、5、6
（2）选做题：课后习题B 1、2
（三）板书设计
板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简 明扼要反映知识结构及其相互联系；
能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板 书，节省课堂时间，使课堂进
程更加连贯。
五、评价分析
学生学习的结果 评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、延时
点评与学生互评相结合，全 面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程
中，评价学生是否有积极的情感态 度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能
力是否得到发展，通过巩固练习考查学生 对本节是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。
谢谢！


1.3函数的基本性质
一
.
教材分析:
1.教材地位和作用: 人教版《普通高中课程标准实验教科书A》必修一第1.3.1“函数的基本性质”
是在学生系统地学习 了第一章中的函数概念后对函数的性质展开研究的,其第一课时主要是研究函
数的单调性．
函 数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续
和拓展，又是 后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究函数的值域、

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定义域、最值等性质中有重要应用,在解不等式、证明不等式、数列的性质等 数学的其他内容的研
究中也有重要的应用．同时函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，比 如数形结合的
思想,类比的思想等等.这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用 .
2.教学重点: 形成增(减)函数的形式化定义.
3.教学难点:形成增(减)函数概 念的过程中,如何从对图象升降的直观认识过渡到用严谨的数学语
言来描述函数增(减)的定义;另外根 据定义证明函数的单调性也是本节课的难点．
二. 目标分析：
1.知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法．
2.过程与方法 引导学生通过观 察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；
能运用函数单调性概念解决简单的问 题；使学生领会数形结合与类比的数学思想方法，培养学生发
现问题、分析问题、解决问题的能力．
3.情感态度与价值观 要使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的
良好习惯和严谨的科学态度．
三.教法学法:
1.教法与教法分析
教学方法:启发引导---自主探究-- 合作讨论式
在这样的教学方法下, 既有教师的讲授与指导又有学生的独立思考空间,教师真正成为课 堂教
学的引导者、组织者,是学生学习的合作者,同时来自于生活的朴素而有效的问题情景对学生产生一
种情感上的感召力,增强了学生参与的自觉性、积极性和主动性,通过观察、思考、合作交流等学习活动过程使学生体会到了探索的乐趣和成功的愉悦.
2.学法与学法分析
学习方法:独立思考-自主探索-合作交流-阅读自学
在新课改的理念下,在教师的逐步引导 下,学生的学习方式慢慢发生了改变,不再是单纯的模仿与
机械的记忆,在独立思考与自主探索中学生体 会到了探索的乐趣,在合作交流中培养了学生的团队精
神与合作意识,通过阅读自学学生学会了学习学会 了阅读,增强了对事物的理解能力．
3. 教具使用
配合多媒体、实物投影等辅助教学
4.学情分析 学生已有的认知基础是，初中初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的< br>数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学
生还了解到函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，学生还学

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习过一次函数、二次函数、反比例函数的图象及性质．尤其值 得注意的是，学生有利用函数性质进
行两个数大小比较的经验．
四.教学过程:
流程:
问题情境 定义形成 定义运用 自主探究 课堂反思 作业布置

教学
环节
问题
情景引入1.（展现龙岩新貌,播放 采茶灯的音乐）如图为
情景引入1弘扬了家乡文
情境
龙岩市2008年2月1日这一天24小时内的气温变化图，
观察这张气温变化图：






教师引导学生观察美丽的家乡采茶女的图片,图 片中起伏
的山峦就象函数图象的起伏,在优美的采茶灯音乐渲染下
联想到季节和温度的变化对茶 叶采摘的影响,由此导入这
一张温度变化图,并提出以下几个问题,让学生思考回答．
问题1.怎样描述气温随时间增大的变化情况？
问题2 . 在区间［4，14］上，气温是否随时间增大而增
大？
问题3. 对于任意的
t1
、
t
2
∈[4，14]时，当
t
1
<
t
2
时，是
否都有
f
(
t
1
)<f
(
t
2
)呢?
情景引入2. 观察一次函数f（x）＝x和 二次函数f（x）
＝x
2
的图象，说说随着x的增大，图象的升降情况．
化 ,是对学生适时进行热爱
家乡的教育,同时,根据问
题情景的有效性,该情景的
设置让 学生从图象上对函
数的单调性产生直观的认
识，为引出单调性的定义
打好基础，这些问 题的设
置有利于定义的自然生
成，也揭示了单调性最本
质的东西．








. 情景引入2使学生从图
象直观感知函数单调性，
完成对函数单调性的再一
次认识．


16
教 学 过 程 设 计 意 图

教师引导学生对这两个学过的函数观察图形特征,让学生
针对以下问题合作讨论得出一些结论
问题1.函数f（x）＝x，在整个定义域内f（x）当x
增大时函数值怎么变化?
问题2.函数
y?x
2
，在
[0,??)
上 y随x的增大而____，
在
(??,0)
上y随x的增大而_______．

定义
形成
通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单函数单调性 定义产生是本
调性．师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义
中的关键词，如：区间内， 任意，当
x
1
<
x
2
时，都有
f(x
1< br>)
<
f(x
2
)
．
节课的难点，难在：如何
使学生从图形语言过渡到
文字语言再过度到严谨的
数学符号语言．通过问题
的分解， 引导学生步步深
入，直至找到最准确的数
学语言来描述定义．同时
仿照单调增函数的定 义得
到单调减函数的定义,是
数学学习中类比的思想.
这一个环节体现了以学生
为主体，师生互动合作共
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定
义．教师介绍单调 性和单调区间的定义．

17

同探究规律的教学新理
念．
定义
运用
运用一.回到问题情境1的 图形，提出问题：你能找出气
运用1和2都是利用函数
温图中的单调区间吗？
运用二. 课本例1 .如图，是定义在闭区间[-5，5]上的
函数的图象，根据图象说出< br>的图象判断函数的单调性
和单调区间，体现了数形
结合的思想.
的单调区

是增函数还











运用3让学生学会编题是
使 学生对知识点更深层次
的理解,同时能唤起学习
的积极性,使学生真正成
为学习的主人 ．


间，以及在每一个单调区间上，函数
减函数.

运用三.让学生举出所学过的函数为例并对其单调性和
单调区间进行讨论.该步骤采用学生编题 学生答题的方
式,教师做指导,课堂气氛非常活跃.


运用四. 范例: 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数
还是减函数？并证明你的结论。
运用4 的范例先从“形”
上去判断单调区间和单调
再回归定义，从“数”
对于该范例教师在黑 板上进行规范板书并强调解题步
性，

18

骤.




的角度证明单调性，使学
生完成了从形到数的转< br>变.特别注意这里的黑板
板书.

运用五.让学生阅读课本P29页例2,采 用小组讨论的形
运用5是为了培养学生看
式.并让学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的
步骤，各个小组发表自己的意见,最后教师归纳并用投影
演示：①取值；②作差变形；③定号； ④判断并得出结
论．

自主
(引用课本)画出反比例函数
y?
1
的图象.
x书的习惯,学会读书,学会
提炼,学会归纳.同时小组
合作讨论培养了学生的合
作 意识和团队精神.
从定向性的证明，到自我
探索单调区间并完成证
明，是一个很大的 跨越，
但在此探索过程中，学生
体会到数学中“数形”的
联系和互相验证.同时让学生学会改作业也是让学
生提高自身水平的一种做
法.
探究
(1)这个函数的定义域D是什么?
(2)它在定义域D上的单调性是怎样的?证明你的结论.
该题先让学生自己在作业纸上独立 完成,然后教师用实物
投影将一些学生的解答展出,让学生共同评改,使学生学
会改作业．然后 教师将正确的答案投影出来,再次强调解
题的规范性．
课堂
反思
采用设问的方式进行课堂反思小结, 师生共同就下面问通过学生的主体参与，使
题进行讨论交流总结,让学生充分发表自己的意见．
问题1.通过增减函数概念的形成过程,你学习到了什么?
学生深切领会本节课的主
要内容和思想方法.及时
问题2.增减函数的图象有什么特点?如何根据图象指出反思也是教会学生学习 的
单调区间?
问题3.怎样用定义证明函数的单调性?


作业
布置
满足条件的实数的值唯一吗？
3.探究 讨论函数
f(x)?

一种方法.
1.必做:书面作业:课本P39页A组1,2,3
2.选做：二次函数在［0，＋∞）是增 函数，
对课后书面作业实施分层
设置，使学生在完成必修
教材基本学习任务的同
x
的单调性．
x?1
19
时，拓展自主发展的空间，
让每一个学生都得到符合

实际问题 在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多
糖水就越甜．你能运用所学过的数学 知识来解说这一现
象吗？
自身实践的感悟，使不同
层次的学生都可以获得成
功的喜悦.分层布置作业
由图象探索函数的单调区间，再运用定义严密证明
使数学教育既面向 了全体
函数的单调性．“糖水问题”实际上是函数
f(x)?
一个实际背景．
x
的
学生,人人都能获得必需
x?1
的数学,又使不同的人在
数学 上得到不同的发展,
充分体现了课改精神.
4.预习作业
1.预习课本P30-32

2.思考问题:什么是函数的最大最小值?如
何去求函数的最大最小值?
五.板书设计
(见后页)
投影
一角
1.3.1函数的基本性质(一)
一.单调性的定义 三.例题解答:
屏幕
****************** 证明:*********
二.定义的应 **************
1.由图形判断单调性 **************
2.用定义证明单调性 **************

六.教学设计的反思
本节课的设计,将问题的提出、问题的解决与独立思考、合作交流有机的 结合在一起,既体现了
教师的讲授与指导又体现了学生的探索与实践,这些方式有助于发挥学生学习的主 观能动性,使学
生的学习过程成为在教师指导下的“再创造”过程.尤其是在这一节课中,情景引入体现 了数学的
人文价值,让学生编题就是让学生再创造的过程 ,小组的讨论是培养了学生的合作意识.教师 应当
高度重视观察学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数< br>
20

学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．另外教师在对学生学习效果进行评价时, 对学生学习的结果评价当然重要，但一定要重视对学生学习的过程评价．让学生在教师评价、学生评价以及自我
评 价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基
础．同时, 教师应在课后收集学生方面对于本节课的反馈信息,及时反思,及时调整课堂教学的方法
与模式,融入教 师的教学智慧形成具有特色的切合本班级实际的教学方式.
第一章 解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理说课稿
教材地位与作用： 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有
密 切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问
题，而且解 三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重
要。 学情分析：
作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决
任意三角形的边与角问题，就比较困难。 教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应
用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标）
教学目标分析：
知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。 能力目标：探索正弦定理的证
明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：

21

教法：采用探究式课 堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正
弦定理的发现”为基本探 究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得
出，猜想的探究，定理的推导， 并逐步得到深化。
学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人 、小组、集体等多种解
难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问 题情景中学习，
观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲 而不舍的
求学精神。 教学过程
（一）创设情境，布疑激趣
“兴趣是最好的老 师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问
题引入，“工人师傅的一 个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB
长为1m,想修好 这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？”
激发学生帮助别人的 热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。
（二）探寻特例，提出猜想
1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。
2． 那结论对任意三角形都适用吗？指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角
形进行验证 。 3．让学生总结实验结果，得出猜想： 在三角形中，角与所对的边满足关系
这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。
（三）逻辑推理，证明猜想
1．强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。 2．鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角
形进行证明。
3．提示学生思考哪些知识能把 长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为
工具证明定理，体现了数形结合的数学 思想。
4．思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造 直角

22

三角形，或用坐标法来证明 （四）归纳总结，简单应用
1．让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。
2．正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。
3．运用正弦定理求解本节 课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学
生知识后用于实际的价值观。
（五）讲解例题，巩固定理
1．例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形. 例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，
都 可利用正弦定理来解三角形。
2． 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
例2较难，使学生明确 ，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的
对角时解三角形的各种情形。 完了把时间交给学生。
（六）课堂练习，提高巩固
1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.
(1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm 2. 在△ABC中,已知下列条件,解三角
形.
(1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115° 学生板演，老师巡视，及时发现问题，
并解答。 （七）小结反思，提高认识
通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？ 1．用向量证明了正
弦定理，体现了数形结合的数学思想。 2．它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。
3．定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。
（从实际问题出发，通 过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问
题的突出特点是从特殊到一般 ，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的

23

一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性， 使数学教学成为数学
活动的教学。） （八）任务后延，自主探究
如果已知一个三角形的 两边及其夹角，要求第三边，怎么办？发现正弦定理不适用了，那么自然
过渡到下一节内容，余弦定理。 布置作业，预习下一节内容。
（九）作业布置 P10习题1.1A组习题1。










1.1.2余弦定理说课稿
尊敬的各位评委，上午好，今天我说课的课题是人教A版必 修5第一章第一节的正弦定理与余
弦定理，本节分两个课时，我说的是第二课时，余弦定理，我将从以下 几个方面来进行分析，教材
分析、教法、学法、教学过程，一点说明。
一 教材分析
1、本节的地位和作用
本节知识与初中学习的三角形的边角基本关系以及三角 形全等的判定有密切联系，就高中的整
个知识体系而言，余弦定理是解三角形的基础，而且解三角形经常 和三角函数联系在一起考查学生

24

的运算求解能力、推理论证能力和应用意识。因此，余弦定理的知识非常重要。
2、教学目标
基于对教材的理解和分析，并考虑到学生已有的认知结构特征，本节课的教学目标确定为：
认知目标：1.掌握余弦定理的内容及其证明方法，2.会运用余弦定理解三角形。 能力目标：通过< br>对余弦定理的探究，，提高学生观察、分析、归纳、和逻辑推理的能力，培养学生良好的思维品质。 < br>情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过师生之间，学生之间的交流，合作和评价，
调动学生的主动性和积极性，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度。
3、重点和难点
依据课程标准和教学大纲，本节课的重点确定为：余弦定理的基本应用。 根据学生目前的认知水
平，本节课的难点确定为：余弦定理的探索及证明 二 教法
为了充分调动学生学习的主动性和积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生
个性思维品质 ，本节课主要采用“提问法，观察法，发现法，启发式相结合的方法”，引导学生发
现问题，探索问题， 并解决问题。
三 学法：
古人云：“供人以鱼，只解一餐；授人以渔，终身受用。”教学过程要不断给学生进行学法上的
指导。
本节课主要是通过余弦定理的证明，让学生学会用联系的观点看问题，体会知识间的联系，形成良
好的知识结构。 四 教学过程 （1）课题引入
本节课以探究性问题引入，设置问题，如果已知 一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的
判定方法，这个三角形是形状完全确定的三角形，那么 如何利用已知的条件计算出另一边和另两个
角呢？由此激发学生学习探究的热情，从而进入今天的课题。 （2）新课探究
首先来研究如何利用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的问题，提示学生从夹角 入手，如果两
边的夹角是直角，利用勾股定理很容易求解，那若是锐角呢？这时鼓励、引导学生通过做高 构造直

25

角三角形来证明，这个过程老师和学生一起合作完成，对于钝角的情况，让学生通过类比独立完成。
这种方法可行但不简洁，给学生提出问题，还有其他的方法吗？由于涉及到边长问题，引导学生回
忆向量，可以转化为向量的模的问题来解决，所以在三角形中构造向量，让学生用向量法解决，在
此基 础上归纳总结出余弦定理。
余弦定理指出了三角形的三边与其中一个角的关系，每一个等式中都包含 了四个不同的量，如果知
道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角， 这就是余弦定理的
推论。应用余弦定理极其推论可以解决的解三角形的问题有：（1）已知两边和它们的 夹角解三角形
（2）已知三角形三边解三角形。
再根据推论，引导学生讨论得出可利用三角 形三边平方关系判断角是锐角、直角、还是钝角，这不
仅是对勾股定理的推广也给出了三角形形状判断的 一种方法。 学以致用，学习是为了更好地应用，
选用教材中的两个例题，第一个，是已知两边及其夹角 解三角形的类型，第二个是已知三边解三角
形，目的是通过这两个例题让学生熟练掌握利用余弦定理解决 的两类解三角形问题
（3）达标练习
设置一组练习让学生板演，目的是对所学知识的掌握情况进行一次反馈 （4）小结反思
为了巩固本堂课的知识，突破重点和难点，师生共同小结。
（5）布置作业
作业为必做 课本第10页A组3题，选做B组第2题，这样弹性作业的设置，可使不同层次的学生
都能得到最佳的发 展，培养学生的自主学习能力。
最后是 说明
为呈现出本节课的知识结构，由本节 课重难点的分析，将板书设计为四栏，一，余弦定理的内容
及证明，二，推论，三，例题展示，四，学生 板演练习 这就是我对这节课的设计，谢谢!



26

第二章 数列
2.1数列
2.1.1数列说课稿
各位专家领导，上午好！
今天我将要为大家讲的课题是＜＜数列＞＞
首先，我对本节教材进行一些分析
一、 教材结构与内容简析
＜＜数列＞＞是 高中数学新教材第一册（上）第三章第1节。在此之前，学生已学习了＜＜函数＞
＞。因此，在数列这一 章中要让学生认识到数列可看作是定义域为正整数集（或它的有限子集）上
的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，不断渗透用函数观点来研究数列，如：
递增、递减、最大项、最小项等。本 节内容是数列一章的开始部分，因此，在这一节课中，要让学
生对数列的概念有比较充分的认识。
二、 教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到高中学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：
1 基础知识目标：
形成并掌握数列的概念，理解数列的通项公式，并通过数列与函数的比较加深对数列的认识。
2 能力训练目标：
培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。

3 个性品质目标：
培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力。
三、 教学重点、难点

27

本节课的重点是：数列的概念及其通项公式。
本节课的难点是：根据数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式。
克服难点的办法是让学生学会观察数列的前几项的特点，在观察和比较中揭示数列的变化规律。
四、 教法
根据本校学生的实际特点，树立以学生发展为本的思想，坚持协同创新原则， 本节课采用的教法是
在教师的引导下，充分调动学生的学习积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生 个性品质，故
本节课采用观察发现、启发引导相结合的教学方法。
五、 学法
根据学生指导自主性和差异性原则，让学生地“观察－思考－概括－应用”的学习过程中，自
主参与知识 的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
下面我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：
一、 课题引入
本节课由游戏引入：给班上5名学生发奖品，第一位同学得一件， 往后任何一位同学得到的数
量均为前一位同学的2倍，问这5位同学分别得了多少件奖品？
让学生写出一组数后，提问如果全班50名学生，那么第50名同学应提多少件奖品？
（让 学生思考一会儿，使学生头脑里有一点项与项数的印象，并为后面写数列的通项公式打下伏
笔。） < br>然后将课本中的例子分别列举，写出一系列数，并让学生观察上述例子，思考归纳出它们的共同特
点，引出新课。
二、 形成概念
由上述引入给出有关定义，如：数列、项、第一项（ 首项）、…..第n项、数列的一般形式、第n
项表示等。
（概念讲解后，提示学生思考数列与数集的区别：1、有序与无序的区别，2、互异性的区别）

28

数列的定义讲解后，简单指出数列的分类：有穷数列、无穷数列。
接着，提出引入中第50 名学生应得多少件奖品，让学生讨论出项与项数的对应关系，给出数列通
项公式定义（如果数列｛an｝ 第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就
叫
做这个数列的通项公式 ）并总结强调数列实质：定义域为正整数集（或它的有限子集）上的函数，
当自变量从小到大依次取值时 对应的一列函数值。使学生充分认识到数列中项与项数和函数中函数
值与自变量的关系。
三、 例题、课堂练习设计：
对于例一，在讲清数列通项公式与函数解析式关系后，学生不 难写出前5项，这里完全由学生解决，
学生解完后，教师要求学生作出数列的图象，并提示、强调数列图 象的特点：数列的图象是由一些
孤立的点构成。
对于例2，写数列的通项公式，教师先适当 给出一些提示，让学生先自己解决，然后教师重点讲解。
重点强调以下两点：1，常用的思考方法，如： 分数形式，常将分子、分母分开考虑；符号问题的
解决等。2，对于一组数列的通项公式，问题的解答常 常不是唯一的。只要能得出一个使所给的各
项都能满足的，最简捷的公式就可以了。
课堂练习：课本P108 1,2，3,4，由学生板演，学生评讲。
四、 师生共同小结：
本节课我们主要学习了：1、数列及其有关概念 2、根据数列的通项公式求其任意一项 3、根据数
列的一些相邻项求数列的通项公式 4、数列与函数的关系（再一次强调数列是一种特殊的函数）

2.2等差数列
2.2.1等差数列说课稿
各位老师，大家好！

29

今天我说课的题目是《等差数列(一)》。本节内容是江苏教育出版社出版的 普通高中课程标准实验
教科书《数学必修五》 第2章 《数列》 第2节第一课时——等差数列的定义 和通向公式。下面我
将从以下几个方面进行阐述：一、教材分析；二、教法分析；三、学法分析；四、教 学过程。
首先，我对本教材进行简要分析。 一、 教材分析 1、《等差数列》在教材中的地位作用
等差数列是一个非常重要的数列，属于数与代数领域 的知识。通过它的学习我们一方面可以进
一步深化学生对数列概念的理解与认识，使学生了解较系统的数 列知识和研究方法，另一方面，也
可以为今后进一步研究等差数列求和和等比数列打下坚实的基础。因此 它在整个第二章《数列》中
起到了承上启下的作用，占据关键地位。同时等差数列与我们的日常生活和科 学研究有着紧密的联
系，比如预测彗星出现的时间年份等等。
基于对教材的理解和分析，我制定了以下的教学目标。 2、教学目标
根据三维目标，我制定的教学目标是：
（1）通过培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力以及符号表达能
力来明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； （2）通过会解决已知an，a1，d，n中的
三个量，求另外一个量的问题，培养学生的应用意识。 3、教学的重点和难点
根据这一节课的内容特点，我将本节课的教学重点定为等差数列的概念的理解 与掌握、等差数列的
通项公式的掌握及应用，根据学生实际情况，我将本节课的难点定为等差数列通项公 式的发现及推
导的思路。
为突出重点、突破难点、抓住关键，使学生能达到本节设定的教学 目标，我再从教法和学法上谈谈
设计思路。
二、教法分析
为充分贯彻 新课程的理念，使教学过程真正成为学生学习的过程，让学生体验数学发现和创造
的历程，本节课我主要 采用讨论式、启发式以及讲练结合的教学方法。通过创设情境即给出生活中
的实例，引导学生观察等差数 列特点，分析讨论等差数列通项公式，利用启发式教学方法和叠加法

30

的数学思想。从而使学生掌握等差数列通项公式。 三、学法分析
在学习本节课之前，学生已学过了数列和通项公式的概念，掌握了简单的计算，这为研究等差数列
奠定 了基础，高中的学生处在皮亚杰认知结构理论的第四阶段——形式运演阶段。此阶段学生的智慧
发展趋于 成熟，思维能力已超出事物的具体内容或感知的事物，思维具有更大灵活性。
所以在教学中我注意面 向全体，发挥学生的主体性，使学生在互相交流和自主探究中获得发展，在
生活实例的课堂导入、等差数 列通项公式的推导证明、应用举例、归纳小结等教学环节中都安排了
学生讨论交流等互动，留出学生思考 空间，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中
主动建构新知识的框架和体系，从而完成知 识的内化过程。
最后，我来具体谈一谈本节课的教学过程。 四、教学过程分析
在分析 教材、确定教学目标、合理选择教法与学法的基础上，我预设的教学过程是：(一)实例引入、
(二)新 课探究、(三)应用举例、(四)归纳小结、(五)布置作业，五个教学环节构成。 （一） 实
例引入：
数学源于生活，因此通过等差数列与生活实际的密切联系，我将运用生活实例引 出两组具体的等差
数列。学生通过观察两组数列初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础。 带入学生进
入下一个环节——新课探究。 （二）新课探究
通过实例可以激发学生的求知欲 望。这时候，我将给出等差数列的定义，在理解概念的基础上，由
学生将等差数列的文字语言转化成数学 语言，这样既培养了学生的符号表达能力和由具体到抽象、
由特殊到一般地能力，也是对问题的总结。
同时，为了配合概念的理解，打破学生对定义的轻视，我将给出5组数列，由学生判断是否为等差
数列，是等差数列的找出公差。通过5组数列让同学们意识到公差可以是正数、负数，也可以是0 ，
深入理解等差数列的概念。
这时候，我把问题引向深入，怎样表达等差数列的通项公式呢 ？在这一环节，我采用讨论式的教学
方法。给出等差数列的首项a1，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项

31

公式由学生猜想 a40的通项公式，进而归纳出an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨
论的方式既培养了学 生的协作意识又化解了教学难点。
这时候，我将指出，这种求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种 导出公式的方法不够严密，为了
培养学生严谨的学习态度，引出另外一种求等差数列通项公式的办法—— 叠加法。
在这一环节，我采用启发式的教学方法，利用等差数列概念启发学生写出（n-1 ）个等式，对
照已归纳出的通项公式启发学生想出将(n－1)个等式左右两边分别相加，证出通项公式 。
接着举出简单例子以此来巩固等差数列通项公式 。
通过前面几个环节，学生已基本 掌握了本节课等差数列的相关知识，这时，我将带领学生体验运用
新知识去解决问题的乐趣，进入本节的 下一个环节——应用举例。
（三） 应用举例
在这一环节我设计了三个例题，运用讲练结合的教学方法。
首先我将给出例1，例1是基础 题，在此基础上给出例2，用例2当做练习来巩固通项公式的运用。，
指导学生运用方程思想来解决已知 an，a1，d，n中的三个量，求另外一个量的问题。
接着给出例3，运用生活中实例彗星出现的 年份来探究等差数列，将等差数列巧妙的运用于生活实
际之中，完成学生学习的“实践—认识—再实践” 过程，力求通过讲授，规范的板书养成学生良好解
题习惯，起到教师的示范作用。 （四）归纳小结
在掌握了等差数列的定义以及通项公式的简单运用后我将从学生的知识、方法入手，带领学生从以
下两个方面进行小结：
1、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 2、通过本节课的学习你学到了哪些思想方法？
让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的重点，并为后续的学 习打下基础，所
以在这一部分，我的设计意图是回顾知识，总结方法。 （五）布置作业
将 作业分为必做题和选做题，通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求，必
做题面向 全体，注重知识反馈，选做题更注重知识的延伸性和连贯性，可以让有能力的同学去探究。

32

以上环节环环相扣，层层深入，充分体现教师与学生的交流互 动，在教师的整体调控下，学生通过
动手操作，动眼观察，动脑思考，亲身经历了知识的形成和发展过程 ，使学生对知识的理解逐步深
入。
各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是 千变万化的，会随着学生和教师的灵性发挥
而随机生成。预设效果如何，最终还有待于课堂检验。 本次说课还存在诸多不足，恳请各位老师
提出宝贵意见，谢谢！















2.2.2

2.2.2等差数列的前n项和
一、教材分析

33

1、地位与作用 < br>《等差数列的前n项和》是在前面学习了《数列的概念与简单表示法》和《等差数列》后对离散函
数的继续学习，是一节“等差数列”概念和性质的应用课．通过本节课的学习有利于深化对等差数
列本质 的理解，同时还将为后面学习“等比数列的前n项和”提供思想和方法．并且等差数列前n
项和是将来学 习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切
的联系．此外等差数 列的前n项和在生活中也有广泛的应用（如计算堆放物品的总数、剧场座位总
数的计算、分期存款一次取 出的储蓄利息的计算），这将有益于培养学生将实际问题数学化和将数
学问题生活化的能力，有助于激发 学生学习数学的热情．
2、教学目标
根据等差数列前n项和在教材和生活中的地位与作 用并结合学生的认知水平，确定了如下三维教学
目标：
1) 知识目标：理解等差数列前n项和公式及其推导过程，会灵活运用等差
数列前n项和公式解决相关问题，加深对等差数列概念和性质的理解． 2) 能力目标：通过让学生
经历知识产生过程培养学生观察、分析、归纳、
合情猜想及证明的能力 和模型化思想，通过课堂活动培养学生数学思维、解决问题的能力和数学表
达与交流的能力．
3) 情感目标：通过本节课教会学生从实际生活中去发现数学规律，体验探
索的乐趣，使学生养成收集资料、自主探索、合作交流的习惯，培养他们的科学精神和创新意识． 3、
教学重难点
1) 重点：等差数列前n项和公式的推导及等差数列前n项和公式的应用． 2) 难点：等差数列前
n项和公式的推导．
（设计意图：等差数列的前n项和是学生第一次面对 数列求和问题，在这之前学生只有逐项求和的
经验，本节课要求学生从小朋友的想法中抽象出倒序求和的 方法，又要将此方法运用到公式的推导

34

过程中，无论从知识、方法还是思想上来说对学生都是一次新的挑战．）
二、教学方法
1、教法设计
问答式教学为主辅以其他教学方式． 2、学法指导
主要采用有意义发现学习结合其他学习方法． 3、教学手段
根据高一学生认知发展的局限 性和多媒体教学的优越性结合本节课的特点，我在课堂上选用多媒体
教学．
三、教学过程
为实现预期的教学目标完成教学任务我设计了如下教学过程: 1、创设情境引入引入新课
通过家具商带儿子去采购木材的故事，引出特殊等差数列1+2+3+?+100求和问题，进而引入新课．
(设计意图：因为人都是靠故事活着的，以讲故事的方式引入新课能使学生感到轻松愉悦激发他们
的学习兴趣．而提出的问题起到了现行组织者的作用，使学生处于愤悱状态，体现了孔子启发式的
教学 理念．)
2、探究新知
在这个环节我将先告诉学生家具商儿子的求解方法，然后通过以 下问题和学生共同探究家具商儿子
求解方法的优越性：
1) 小朋友的想法最精彩的部分是什么？ 2) 这样做的目的是什么？
使学生初步产生倒序求和的意识，并感受其数量关系中的“平均数”概念． 然后提出“将100换
成n后还能用上面的方法求出木材的数目吗?”
接着让学生据此猜测 一般等差数列na的前n项和123nnsaaaa，将特殊等差数列
求和问题推广到一般等差数列求和 问题．
之后提出以下问题引导学生证明猜想：
1) 我们可以用刚才的方法证明我们的猜想吗？

35

2) 等差数列na的顺序倒过来之后对应的各项和还相等吗？
留一点时间供学生思考交流．
最后通过以下问题带领学生回顾等差数列的前n项和公式的证明过程提出倒序求和法．
1) 在证明等差数列na的前n项和ns时，我们运用了什么手段？ 2) 这样做的目的是什么？
给我们带来了什么方便？ （设计意图：探究新知的过程中主要运用了弗莱利的对 话教学理念，通
过对话的方式使新旧知识之间的联系从学生嘴里讲出来，让他们感到知识是自己探索的结 果以实现
新课标倡导的教学过程中要体现学生的主体地位和教师的主导作用．其中让学生猜想和合作交流 是
根据斯托利亚尔的活动教学理念设计的以培养学生数学思维解决问题的能力和数学表达与交流的
能力．）
3、例题讲解
1) 例1我选用了课本43页例题1：
200 0年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》某市据此提出了实
施“校校 通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据
测算，2 001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年
投入的资金 都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中
的总投入是多 少？
（设计意图：这道题的解法是相对简单的代公式的过程，而本题的关键是将实际问题抽象为数学 问
题的过程，在带领学生分析问题的过程中将弗莱登塔尔的数学化思想渗透给学生．）
2) 例2我选用了课本45页练习1的第二小题：
已知：等差数列na中114.5a，0.7d，32na，求此数列前n项和ns． （设计意图：
通过这道题强化学生将新旧知识联系起来的能力，教会学生将
方程组的思想运用到解题中去，使学生亲自体验选择好公式给解题带来的方便．）
4、巩固练习

36

根据夸美纽斯的教学巩固性理论我将下题设置为课堂练习：
一个多边形的周长等于158c m，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm，公差等于3cm，
求多边形的边数．
（设计意图：将本节课的思想方法和知识要点整合到本题中．） 5、总结感悟
1) 知识：等差数列求和公式(1)2nns
2
nnnsnad
，1(1)
． 2) 方法：倒序求和法、类比法． 3) 思想：模型化思想、方程组思想． （设计意图：子曰 ：
“学而不思则罔．”可见思考的重要性．在本节课的最后时段要留给学生充足的时间独立思考，梳理并感悟本节课的内容．鼓励学生对本节课进行小结以实现新课标要求的培养学生数学表达和交流
的 能力．最后给出自己的小结供学生参考．）
6、课后探究
1) 观察生活，在实际生活中找出一个关于等差数列前n项和的事例，将其
编成问题并求解．
2) 预习本节后半部分知识并结合上一节知识，思考等差数列与我们以前学
习的哪种函数能相互联系，他们之间的性质和特征有什么区别和联系． （设计意图：让学生感受
到知识与生活的联系、知识与知识的联系．体现了数学名师孙维刚所倡导的站在系统的高度学习数
学, 在学习过程中“见树木更见森林．”）
四、板书设计：
为了在课堂教学中突出重点、突破难点我做了如下板书设计：
2.3 等差数列的前n项和
多媒体展示区
1、特殊等差数列前

37

n项和 2、一般等差数列前n项公式的猜想




2.3等比数列
2.3.1等比数列说课稿
尊敬的各位老师，各位同学，大家好！
我说课的题目是人教版高中数学必修五第二章第四节第一课时等比数列。
数列是高中数学重 要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且在知识上起着承前启后的作用。
一方面,数列作为一种特 殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的
极限等内容做好铺垫。而等比 数列是数列的重要组成部分，学习本节课，有利于进一步研究等比数
列的性质及前n项和的推导以及应用 ，同时，本节课对提高学生的数学思维能力具有重要的意
义。 2、学情分析
（1）学生在 学习本节课之前已经学习了等差数列的相关知识，具备了较强的抽象思维能力和演绎
推理能力。
（2）学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。 3、教学重难点
根据教材的特点，结合学情分析，我确立了以下重难点。 本节课的教学重点是等比数列的定义和
通项公式。
本节课的教学难点是灵活应用等比数列的定义及通项公式.
二、目标分析
知识与技能目标：掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式。 过程与方法目标：通过对等
比数列通项公式的推导，培养学生观察、

38

归纳、类比、联想等发现规律的一般方法 情感态度与价值观目标：在等比数列的学习过程中，感
受数学的科学
价值、应用价值和文化价值，体验数学的发现和创造历程。
三、教法、学法分析
（一）教法分析
通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近 数学与生活的距离。在教学
中我采用了启发式、比较式、探究式的教 方法，以明确的任务驱动，通过学生的自主探究，合作
学习来达到预 设目标
（二）学法分析
根据学生的认知层次，设置启发性问题，让学生从问题中质疑、猜想、 尝试、归纳、总结、运用，
培养学生发现问题、研究问题、解决 问题的能力。充分体现了新课标中提倡的积极主动，勇于探
索的学 方式。将传统的被动接受式的学习方式向主动参与式的学习方式转 化。
四、教学过程分析 （一）教学过程设计 （1）创设情境，引出课题。
我将首先引导学生回顾等差数列的相关知识，在复习旧知识 的同时， 激活学习所必需的先前经
验， 促进、 迁移出新知识。新课标指出：应该让学生在具体生动的情境中学 习数学。所以，接下
来我设计了2个情境：播放喜洋洋与灰太狼视频、现场演示如何拉面。从这2个情境 中同学们可以
得到相应的2个数列，仔细观察，发现规律，从而猜想概念，进而引出课题。 （2）引导探究，建
构概念。
在这一教学环节中，我主要采取了独立思考—小组讨论—小组 汇报—师生共评这样的教学模式来展开
教学。教师选择适当的切入点，给与提示和指导。
探究一：等比数列的定义。
在这一探究教学中，我讲引导学生类比等差数列的定义，大胆猜 想出等比数列的定义，之后将针对
q为什么不等于0这个条件进行小组讨论。在这个过程中，学生各自找 出在探究过程中出现的偏差，

39

加深对概念的理解， 同时也培养了学生，敢于猜想、乐于探究的精神。最后在探究一的小结中师生
共同归纳总结出等比数列的 准确定义。 探究二：等比中项
在这一探究教学中，我将首先给出思考问题：
下列各组数中插入什么数后能够使这个数列成为等比数列呢？ 学生进行思考，给出答案。之后我
将引导学生类比等差中项的定义，归纳出等比中项的定义。 探究三：等比数列的通项公式
这部分是教学中一个难点问题。
首先我将引导学生观察引 例中的两个等比数列，从而发现规律，大胆猜想等比数列的通项公式。接
下来以小组合作的方式类比等差 数列的通项公式的推导方法尝试推导等比数列的通项公式。在小组
汇报的过程中，向学生渗透不完全归纳 法和累乘法的数学方法以及类比、归纳的数学思想。
探究四：等比数列与其对应函数的关系。 首先我将给出三个问题：在直角坐标系中 1、画出12nna
这个数列的图像。
2、在同一直角坐标系中画出12xy
3、若将底数换为1
，你有怎样的结论？
这三个问题将引导学生进行小组活动，学生经过动手操作，画出图形，进而发现规律。接下来我将
通过几何画板进行清晰、准确的演示来验证同学们的猜想。 （3）小结归纳，回顾反思
我的理解 是：小结归纳不应该仅仅是知识上的简单罗列，而应该充分发挥学生的主体作用，从学习
的知识、方法、 体验3个方面进行归纳。因此我设计了3个问题：1、通过本节课的学习，你学到
了那些知识？
2、通过本节课的学习，你掌握了哪些数学方法？
2、 通过本节课的学习，你最大的体验是什么？



40
的函数图像，观察这2个图像之间的关系。

2.3.2等比数列的前n项和说课稿
今天我说课的内容是等比数列前n项和。对于这部分内容我主要从下面六个方面来进行讲解。
一、教材分析
《等比数列前n项和》选自人教版高中数学必修5第二章第五节的内容 。等比数列的前n项和
是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实 质上是一种特殊
的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用 ；如在“分

41

期付款”等实际问题中也经常涉及到.
二、学情分析
在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运
用等差数列和等比 数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步
培养和提高。在情感态度 上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。
三、教学目标分析：
知识与技能目标：能够推导出等比数列的前n项和公式；能够运用等比数列的前n项和公式解< br>决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力 。体会公式探求过程中
从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立
《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的 “错位相减法”是高中数学
数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本 节课的教学重点为等
比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程 中用到的方法
学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法
为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合 的教学方法，教学手段
采用计算机进行辅助教学。
六、教学过程
为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：
1、创设情境 ：
创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天

42

给八戒投资100万元，连续30天，但有一个条件：第一天 返还1元，第二天返还2元，第三天返
还4元??后一天返还数为前一天的2倍．假如你是高老庄集团企 划部的高参，请你帮八戒决策．这
是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境 ，营造了积极、和谐的学习
气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活．
2、讲授新课：
根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快 建立起两个等比数列的
数学模型。数列{an}是以100为首项，1为公比的等比数列，即常数列。数 列{bn}是以1为首项，
2为公比的等比数列。
当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候
，
学生自主探究
29
3
2
302
2221s，通过观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一
项都乘以2，则每一 项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学
生自然就会想到把两式相减 ，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具
体到抽象的启示，正式引入本节课 的重点等比数列的前n项和nnaaaas
即1
12
12
111

321，
nnnq
43

aqaqaqaas，请学生用错位相减
法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生 一起探讨两个问题，一是当q=1时ns又等于
什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列 前n项和公式，二是结合等比
数列的通项公式11
3、例题讲解：
我们 在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概
括，有利于发展 学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1） 等比数列中知三求二的解答题
例：求首项为2，公比为2的等比数列的前8项和以及第5项的值。
以及书上的习题1.2.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.
2） 实际生活中的应用题。这样设置主要依据：应用题比较切合对智力技能进行检测，
有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。
4．形成性练习：
例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测。练习基本 上是直接运用公式求和，
三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提 高学生的积极性。
学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到 解法提出表
扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三 的能
力，逐步形成技能。
5．课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行： (1) 等比数列的前n项和公式
(2) 推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思
想。通过师生的共同小结 ，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳
和概括能力。进一步完成认知目 标和素质目标。

44
nnqaa, 引导学生得出公式的另一形式。

6、作业布置
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学 生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而
达到拔尖和“减负”的目的。 并可布置相应的研 究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的
前Ｎ项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。



3.2均值不等式说课稿
山东陵县一中 燕继龙 李国星
尊敬的各位评委、老师们：
大家好！我今天说课的题目是 《均值不等式》，下面我从教材分 析，教学目标，教学重点、
难点，教学方法，学生学法，教学过程，板书设计，效果分析八个方面说说我 对这堂课的设计。
一、教材分析：
均值不等式又称基本不等式，选自普通高中课程标准实验教科书(人教B版) 必修5第三章第
3节内容。是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位。对于不等式的证明及利用
均值不 等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明
及前面函数的 一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。
二、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；
（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。

45

2、过程与方法：
（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；
（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；
（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；
(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。
三、教学重点和难点：
重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程
更重要，它有 利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；
再者，均值不等式有 比较广泛的应用，需重点掌握，而用好均值不等式，关键是对不等式成立条件
的准确理解，因此，均值不 等式及其成立的条件也是教学重点。
难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻， 在应用时候常常出现错误，所以，
均值不等式成立的条件是本节课的难点。
四、教学方法：
为了达到目标、突出重点、突破难点、解决疑点，我本着以教师为主导的原则，再结合本节的
实 际特点，确定本节课的教学方法。
突出重点的方法：我将通过引导启发、学生展示来突出均值不等式的推导；通过多媒体展示、
精讲点拨
来突出均值不等式及其成立的条件。

46

突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调 均值不等式和其
有效训练
成立的条件）、辨析法（借助多媒体判断对错）、 来突破均值不等式成立的条件这
个难点。
此外还将继续采用个人和小组积分法，调动学生积极参与的热情。
五、学生学法：
在学生的学习中，注重知识与能力，过程与方法，情感态度和价值观三个方面的共同发展。充
分体现学生 是主体，具体如下：
自主学习
1、课前预习----学会 ；
合作探究
2、分组讨论---- 、明确重点、解决疑点；
3、积极参与 ----敢于展示、大胆质疑、争相回答；
4、自主探究----学生实践，巩固提高；
六、教学过程：
采取“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，运用学案导学开展本节课的教学，首先进
行 第一步:课前
预习
（一）成果反馈
1.对课前小组合作完成的现实生活中的问题：
“今有一台天平，两臂不等长，要用它称物体 质量，将物体放在左、右托盘各称一次，称得的
质量分别为a,b，问：能否用a,b的平均值表示物体 的真实质量？若不能，这二者是什么关系？”

47

进行多媒体情景演示，抽小组派代表回答，从而引出均值不等式
抽出两名同学上黑板完成2、3
2.均值定理：_____________________________________
a?b
?ab
。
2
预备定理：
a
2
?b
2
?2ab(a,b?R)
，仿照预备定理的证明证明均值定理
ba
3.已知
ab
>0，求证：
??
2
，并推导出式中等号成立的条件。
ab
与此同时，其他同学分组合作探究和均值定理有关的以 下问题，教师巡视并参与讨论，适时点
拨。
① 适用范围
a,b?
________，
x?0,x?
11
?2x?2
对吗？
xx
② 等号成立的条件，当且仅当__________时，________=_________
③ 语言表述：两个___数的____平均数_____它们的_______平均数
④ 把不等式_________________又称为均值或________不等式
⑤ 数列观点：两个正数的______中项不小于它们的_____中项

。 ⑥ 几何解释（见右图） ：________________
C
⑦常见变形
a?b?
_______

ab?
________,即
ab?
___________。例：
A
a+b
2
ab
a
O
D
b
B

4、（1）一个矩形的面积为100
m
2
，问这个矩形的长、宽各为多少时 ，矩形的周长最短？最短
周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时 ，矩形的面积最大？
最大面积是多少？
由此题可以得出两条重要规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有______值；
两个正数的和为常数时，它们的积有______值。
等待两名同学做完后，适时终止讨论，学生各就各位。首先针对黑板上这两道题发动学生上

48

来捉错（用不同色粉笔），然后再由老师完善，以此加深学生 对定理及应用条件的认识。其次，老
师根据刚才巡视掌握的情况，结合多媒体进行有针对性的讲解（重点 应强调均值定理的几何解释：
半径不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的几何证明过程，使定理“ 形化”），进一步加深
学生对定理的认识及应用能力，初步掌握用均值定理求函数最值时要注意“一正、 二定、三相等”

第二步：课内探究

（二）精讲点拨
?2 x
2
?x?3
(x?0)
的最大值，及此时
x
的值。 1.例：求函数
f(x)?
x
先和学生们一起探讨该问题的解题思路，先拆分再提 出“-”号，为使用均值定理创造条件，
后由学生们独立完成，教师通过巡视或提问发现问题，通过多媒 体演示来解决问题，该例题主要
让学生注意定理的应用条件及一些变形技巧。
2．多媒体展示 辨析对错：
下面几道题的解答可能有错，如果错
了，那么错在哪里？
1
f(x )?x?
１．已知函数，求函数的
x
最小值和此时x的取值．
解:f(x)? x?
当且仅当
取到最小值
x?
1
?2
x
x?
1
?2
x
1
即x??1时函数
x
2.
运用均值不 等式的过程中，忽略了“正数”这
个条件．
２．已知函数
f(x)?x?
求函 数的最小值．
解：f(x)?x?
3
?2
x?2
3
(x?2 )
，
x?2
x?
3
x?2
当且仅当
的最小值是?
x?2
?
3
即x?3时，函数
?
x?
?x?2
?
6。
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个
条件．

49

3 求函数y?sin
?
?的最小值。
解：y?sin
?
?
4
?
其中
?< br>?（0，]
sin
?
2
44
?2sin
?
?
sin
?
sin
?
?4,?函数的最小值为4。
用均值不等 式求最值,必须注意“相等”的条件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

?
这几道辨析题先让学生们捉错，再由
多媒体给出答案，创设情境加深学生
对用均值定 理求函数最值时注意“一
正、二定、三相等”的认识

（三） 有效训练
1.(独立完成)
下列函数的最小值为2的是( )

1
A、 y?x?
x
C、y?x?2?
2
1
?
B、y?sinx?( 0?x?)
sinx2
1
x
2
?2
1
?
D 、y?tanx?(0?x?)
tanx2

本题意在巩固用均值定理求函数最值时要 注意“一正、二定、三相等”，待学
生完成后，随机抽取几名学生说一下答案，选D，应该不会有问题。
2.（小组合作探究）一扇形中心角为α，所在圆半径为R。若扇形周长为一常值
C(C>0) ，当α为何值时，扇形面积最大，并求此最大值。
本题若直接运用均值不等式不会出现定值，需要拼凑 。待学生讨论过后，先
c
2
通答案，
?
?2
时扇形面积最大 值为。若有必要，抽派小组代表到讲台上讲解，
16

50

及时反馈矫正。
（四） 本节小结
小结本节课主要内容，知识点，由学生总结，教师完善，不外乎：
1.两个重要不等式
22

a?b
a?b?2ab(a,b?R,当且仅当a?b时取?
?ab(a,b?R
?
,当且仅当a?b时取?
2. 用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”。
2
第三步：课后训练
（一）、双基达标（必做，独立完成）：
1、课本第71页练习A、B；
4
2、已知
x??1
,求
y
?
x
?
6
?< br>的最值；
x
?1
（二）、拓展提高(供选做, 可小组合作完成)：
b
2
?1,
求a?1?b
2
的最大值及
此时
a, b
的值.
3、若
a,b?R且a?
3
?2
19
4 、
a?0,b?0,且??1,求a?b最小值.

ab
x
2
?3x?1
(x??1)
的最小值。 5、求函数
f(x)?
x?1
通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容，注重分层次设计题目， 更加关
注学生的差异。
七、板书设计：
3.2.1均值不等式

51

一．均值不等式及推导 二．均值不等式的应用 三．小结
注意的问题 例
由于本节采用多媒体教学，板书比较简单，且大部分是学生的展示。
八、效果分析：
本节课采取了我校推行的“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，通过学< br>案导学，多媒体展示，师生互动，生生互动。学生基本能掌握均值不等式以及其
成立的条件；能运 用均值不等式解决一些较为简单的问题。但用均值定理求函数
最值时要注意“一正、二定、三相等”，说 起来容易做起来难，学生还得通过反
思和课后训练进一步体会。

我的说课到此结束，恳请各位评委和老师们批评指正，谢谢！






第一章 三角函数
1.1任意角概念和弧度制
1.1.1任意角说课稿
尊敬的各位老师、亲爱的同学们：

52

我是 ，今天我说课的课题是“任意角”.选自人民教育出版社A 版普通
高中课程标准试验教科书·数学·必修4第一章第一节第一课时的内容.下面我
将从教材 分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个
方面进行说课.
一．教材分析
1、本节教材的地位和作用
本课是数学必修4第一章三角函数中 第一节的第一课时.三角函数是基本初等函
数，它是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推广正是 这一思想的体现之
一，是初中相关知识的自然延续.为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了
条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确
的理解和掌握角的概念 的推广尤为重要. 2、教学目标 知识目标 ：
（1）理解任意角以及象限角的概念，掌握正角、负角、零角的定义；
（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； 能力目标 ：
（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力； （2）通过画图和判
断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 情感目标：
（1）通过创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识； （2）学
会运用运动变化的观点认识事物. 3、教学重点、难点
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法
及判断.
难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来.
二、学生情况分析
1. 学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于000~360.结合实际

53

生活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的 求
知欲望，让学生体会角的推广的必要性.
2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，
使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受.
三、教法学法分析
教法分析：
我将采用探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法.
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段.
探索与发现新知识是教学的重点.所 以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从
特殊到一般启发学生获得新知识. 学法指导：
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与
学生熟悉的知识背景相联系 .
在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知
识的形成 和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，
认识和理解数学知识，学会学习， 发展能力.
四、教学过程设计
(一)、创设情境，引发兴趣
思 考:你的手表慢了15分钟或慢一小时，你是怎样将它校准的？假如你的手
表快了1.25小时，你应当 如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
设计意图：提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性. (二)、
合作探究，建构数学 1．任意角概念的引入
⑴问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ ⑵举出不在

54

000~360的角的实例，并加以说明.
设计意图： 回顾已有知识，结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性，
让学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量 ，还要用旋转方向.从而给出任意角的
定义.
2．象限角的概念
⑴问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？ （先
让学生以同一条射线为始边作出下列角：0210，0150，0660）
设计意图：通过尝试探究，由学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 3．终
边相同的角表示
(1)思考：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
试想：都有哪些角的终边与030角的终边相同？
设计意图：从特殊到一般，从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.
(2)探 究：将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的
一条终边与之对应.反之，对于直角 坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角
是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
设计意图：探究终边相同的角之间的关系，理解并掌握改关系.从而给出终边相
同的角的集合表 示.
(三)、数学应用，巩固练习
例1在000~360范围内，找出与 0'95012
几象限角.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°
~720°的元素写出来.
角终边相同的角，并判定它是第

55

练习 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并S把中在00360~720
写出来：（1）060 （2）021 （3） 0'36314
间的角
设计意图：通过例题和练习，进一步理解任意角、象限角和终边相同的
角. (四)、回顾小结，布置作业
为了让学生将所学习的知识进一步条理化、系统化，完善学生的认知结 构，我将
引导学生从知识梳理、思想提炼这两个方面进行总结。 知识梳理：
1、任意角(正角、负角、零角的定义）
2、象限角的概念。
3、终边相同的角的表示方法。 思想提炼：数形结合的思想，类比思想。
根据学生的能力差异不同 和知识掌握情况，我把作业分为教科书10P习题1.1A
组第1～2题，B组第一题.
设计意图：让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法.
五、板书设计：
为了更好的完成本节课的教学任务，全面展现本节课的教学内容，设计如下 板书，
请看大屏幕.这样的设计条理清晰可见，有利于学生对知识的全面掌握和复习以
及做笔记 .
1.1.1 任意角 一、定义： 1、正角：2、负角： 3、零角：4、象限角：
二、终边相同的角： 多媒体展示区





56

1.2.1任意角的三角函数说课稿
沭阳如东中学 曹 洁 数学
各位老师：
我今天说课的课题是《任意角的三角函数》（第一课时），该内容取自苏教版普 通
高中标准实验教科书数学必修4的第1.2节。
一、教材内容分析
教学内容：任意角的三角函数的定义、定义域；三角函数值在各个象限的符号。
地位和作用 ：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的学习起
着至关重要的作用。同时它又为平面 向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，
通过这一部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入地了解 函数这一概念。 教
学重点：任意角的三角函数的定义。
教学难点：正确理解三角函数可以 看作以实数为自变量的函数，初中时用边长的
比值来定义转变为坐标系下用点坐标定义的观念的转换以及 用坐标来定义的合
理性理解。
二、学情分析
学生已经掌握的内容、学生学习的能力：
1、 初中学生已经学习了直角三角形当中锐角三角函数的定义，掌握了求三角函
数值的基本
方法；

57

2、 经过多年的课程改革，学生已经具备较强的自学能力，多数同学都能认识到
数学的重要
性对数学的学习有一定的积极性；
3、 学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，很多问题必
须在老师的
指导下才能进行。
三、教学目标分析
针对对教材内容重难点的分析和学生实际情况的分析我们制定教学目标如
下： （一）知识与技能目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数、并能说出三角函数的定义
域； （3）会判断三角函数在各个象限的符号； （二）过程与方法目标：
（1）通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广到任意角
的三角函数；
（2）通过观察任意角的三角函数定义的分式探求三角函数的定义域、三角函数
在各个象限的符 号。
（三）情感态度与价值观目标：
通过对任意角的三角函数的定义、定义域，三角函 数在各个象限的符号的探求，
提高学生观察、分析、探究、解决问题的能力和严谨治学、一丝不苟的科学 精神。
四、教学方法分析
针对学生实际情况为达到教学目标我设计了如下教学方法，总体可以用八个字来
形容： “温故知新、逐步拓展”。 具体可以理解为以下两点：

58

（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发展新知识，
形成新概念；
（2）通过问题的讲解分析，逐步引出新知识，推出三角函数的定义域，三角函
数在各个象限的 符号。
五、教具准备
运用多媒体工具：提高直观性增强趣味性 六、教学过程分析
总体来说，由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进
先由初中的直角三角形中锐角三角函 数的定义过渡到直角坐标系中锐角三角函
数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义，给出 定义后通过应用
定义又逐步发现新知识拓展完善定义。 具体教学过程安排如下： （一） 引入：
复习提问：初中时直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 由学
生回答:
Asin=对边斜边＝BCAB Acos=邻边斜边＝ACAB Atan=对边邻边＝BCAC
逐步拓展：在高中我们已经建立了直角坐标系，把“定义媒介”从直角三角形改
为平面直角坐标 系。
我们知道，随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数
的定义 能否也放到坐标系去研究呢？
引导学生发现B的坐标和边长的关系，进一步启发他们发现由于相似三 角形的相
似比导致OB上任一P点都可以代换B，把三角函数的定义发展到用终边上任一
点的坐 标来表示，从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义，自然地，要想
定义任意一个角三角函数，便考 虑放在直角坐标中进行合理进行定义了 从而得
到：

59

知识点一：任意一个角的三角函数的定义
提醒学生思考：由于相 似比相等，对于确定的角A，这三个三角函数值的大小和
P点在角的终边上的位置无关。
一般地，对任意的角
（1）比值ry叫做角
（2）比值r
x叫做角的余弦，记作
（3）比值xy叫做角
cos，即rxcos；
tan，即xytan。
，),(yxP为角
的正弦，记作
终边上的任意一个点，我们规定：
sin，即rysin；
的正切，记作
精心设计例题，引出新内容深化概念，完善定义
例1 已知角的终边经过P（2 ，-3），求角的三个三角函数值（此题由学生
自己分析独立动手完成）
例题变式1 已知角的大小是30角，由定义求角的三个三角函数值
结合变式我们发现三个 三角函数值的大小与角的大小有关，只会随角的大小面变
化，符合当初函数的定义，而我们又一直称呼为 三角函数。 提出问题：这三个
新的定义确实是函数吗？为什么？ 从而引出函数及其定义域 由学生分析讨论，
得出结论 知识点二：三个三角函数的定义域
同时教师强调：由于弧度制 使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以
实数为自变量的函数
例题变式2 书籍角A的终边经过P（-2a , -3a）(a不为0)，求角A的三个三
角函数值 解答中需要对 变量的正负即角所在象限进行讨论，让学生意识到三角
函数值的正负与角所在象限有关，从而导出第三个 知识点
知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系 由学生推出结论 教师总结

60

符号记忆方法，便于学生记忆
例题2：已知A在第二象限且sinA＝0.2 求cosA ，tanA的值。 拓展，如果不
限制A的象限呢？可以留作课外探讨。 小结回顾课堂内容
课堂作业和课外作业以加强辞谢的记忆和理解
课堂作业
课后分层作业
板书设计
2.4 平面向量的数量积
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿
尊敬的各位评委：
上午好！
今天我说课的课题是《平面向量数量积的物理背景及其含义》,我尝试利用新课标的理
念来指导 教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分
析、目标分析、教法学 法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和
教学的设计，敬请各位评委批评指正 。
一、教材分析
（一）地位与作用
向量是近代数学中非常重要的数学概念之一， 它是联系几何、代数与三角函数的一个
桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、物理等学科 及其他生产、生活领域中
的广泛应用，从而在高中数学中占据着举足轻重的地位。
平面向量数量积的物理背景及其含义，包括数量积的定义、 几何意义、 性质及运算
律。 它是继向量的加、 减法，实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识
的延续，又是学好 后续知识的基础，起承上启下的作用。
（二）学情分析
学生在学习本节内容之前，已熟知 了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运
算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识 ，应该能解决简单的物理问题。 所
以我主要采用从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情 ，让学生自主探究逐步
得出数学上的重要结论。
二、目标分析

61

“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该在获得知识与技能的同时，学 会学习和
树立正确价值观。教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，
根据余弦 定理在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：
（一）教学目标
1、知识与技能
1)理解平面向量数量积、 投影的定义；
2)掌握平面向量数量积的性质及其运算律
3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4)掌握向量垂直的条件.
2．过程与方法
通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、 分析问
题、 解决问题的能 力，使学生的思维能力得到训练。继续培养学生的探究能力，
类比的数学思想和创新的精神。
3．情感态度与价值观
通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、 勇于探索 的精
神，体会学习的快乐。体会各学科之间是密不可分的。培养学生思考问题认真严
谨的学习态 度。
（二）重点难点
本节课的教学重点是平面向量数量积的定义、 几何意义、 性质及运算律，
教学难点是平面向量数量积性质及运算律的探究。
三、教法、学法分析
（一）教法
数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的

62

过程，是师生共同发展的过程。教师要以全新的理念来认识课程，对待学生， 从
发展学生的高度来选择教法。为了顺利实现本节课的教学目标，在教学方法的选
择和教学手段 的使用上，我的设想主要有以下几点：
1、 无论是数量积的引入，还是性质及运算律的发现，我都是 引导学生在与
实数运算类比的基础上，进行猜想归纳得出结论。始终把学生作为学习活动的主
体 ，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生的求知欲，
发展了学生思维能力，培养 了学生的创新精神。
2、 同一个问题，每一个学生都有着不同的认识角度，得到的结论也会各不相同，这首先是值得肯定的，但同时我也鼓励学生间互相讨论、交流、协作，从
而纠正偏差，提高认 识，形成网络。
3、 数学课堂中，讲与练是相辅相成、密不可分的，为此，我精心设计和安
排练习。一方面，通过练习使学生巩固所学，检验效果，另一方面，使学生在练
习中发现问题，产生兴趣 ，为下一个环节做好铺垫。
（二）学法
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用 ，培养学生发现问题、研究
问题和分析解决问题的能力。
2、让学生体会类比的思想方法，提 高学生抽象概括、推理论证的能力。类比是
特殊到特殊的推理，其结果就有正确与错误之分，强调类比， 更要注意区别，特
别强调a·b与a·b的运算的区别与不同点。
四、教学过程分析
教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和
谐整体。教师的“导”也就 是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建
支架，把学习的任务转移给学生，学生就是承受任务 ，探究问题、完成任务。如
果再教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知 识
的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学。

63

1、复习回顾
通过前面学过的向量的线性运算引出向量之间是否可以进行乘法运算？引
出课题， 接着让学生思考下列问题：
（1）在物理课上学过的矢量有哪些？
（2）哪些矢量之间可以做乘法运算？
根据功的概念，即如果一个物体在力F 作用下产生位移S，那么力F所做功
W=F·S=∣F∣·∣S∣cosθ（其中θ 是F 与S 的夹角） 引入平面向量数量积
概念。 结合学生熟悉的物理学上功的概念引入，符合学生的认知规律，引入自
然。
2．思考探究
（1）结合 W= F· s = ∣F∣·∣S∣cosθ得到数量积定义及强调应该注
意 的问题。结合位移方向上的力做功引出投影的定义：∣a∣cosθ（ ∣b∣ cos
θ）叫做向量 a 在 b 方向上（ b 在 a 方向上）的投影。
学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意
义。
（2）例题：为巩固数量积的定义做一道例题，由学生独立完成。
例1：已知 ∣a∣ =5，∣b∣ =4， a 与 b 的夹角 θ=120°，求 a· b 。
（3）重要结论（性质）的探究：
通过物理学中支持力做功、 水平拉力、 摩擦力做功以及拉力与
位移的夹角为何值时做功最大得出
① a ⊥ b ＜==＞ a· b =0
②当 a 与 b同向时， a· b = ∣a∣∣b∣ ；

64

当 a 与 b反向时，a· b = -∣a∣∣b∣，
特别地， a· b = ∣a∣?或 ∣a∣ = a· a
③∣a·b∣≤∣a∣∣b∣
由熟悉的物理知识引导学生得出数学上的重要结论（性质） 。
让学生更好地体会各学科之间是有联系的，密不可分的。 同时培养学生的
探究能力。
（4）数量积满足的运算律的探究：
结合学过的运算律引导学生独立思考数量积应该满足的运算律：
交换律： a· b = b· a
数乘结合律：（λ a） · b =λ （ a·! b） = a· （λ b）
分配律：（ a + b） · c = a· c + b· c
启发学生从物理方面解释，从数学方面证明。 学生可以体会到不同的运算
其运算律不尽相同。这有助于培养学生思考问题认真严谨的学习态度。 主动 探
究式的学习，全面培养学生综合运用所学知识的能力,收集和处理信息的能力,
分析和解决问 题的能力，语言文字表达能力以及团结协作能力。
3.巩固训练：教科书例2、 例3、 例 4
让学生独立完成例题解答，巩固所学知识。 可以让学生说明自己是如何解
答出来的。 这样可以查缺补漏，同时也给不太会解答的同学解释一下。
4.课堂小结
让学生回顾本节课 主要内容并小结。培养学生归纳总结的能力，同时让学生
体会各学科是密不可分的。
5.布置作业习题2.4 第1题、第2题

65

6、 板书设计
五、评价分析
结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种
方式进行：
1、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，
并对其进行定性的评价。 2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的
态度和表现做出评价，以 此来调动学生参与活动的积极性。
3、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
4、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位评委批评指正。
谢谢！

第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率说课稿
王乐
各位老师大家好！
我说课的内容是人教A版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率。我将 根据新
课标的理念，高一学生的认知特点和我本人的一贯教学风格设计本节课的教学。
下面我将 从教材分析、学情分析、教法和学法以及教学过程四个环节谈一谈我对
本节课的理解和处理。
（一） 教材分析
直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任。本节 课涉及
了两个概念――倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系
新旧知识 的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是

66

本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续微积分的学 习
奠定了基础。一个值得我们思考的问题是新教材为什么改变了旧教材的授课顺
序，换以本节课 作为解析几何的入门课？我个人认为，教材是为了更突出解析几
何的本质――几何问题代数化。而最简单 的几何图形就是直线。教材正是想通过
让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用解 析法研究几何
问题的思想。因此在本课时的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更
要 落实隐性知识――几何问题代数化。
（二） 学情分析
高一学生经历了函数的学习，初 步形成了数形结合的能力，另外通过初中的学习，
已经具备了直角坐标系的相关知识，这些都为本节课知 识的生长点奠定了基础。
但根据高一普通班学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能< br>力。所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层
次的学生都经历概 念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。
针对上述分析，结合高中数学课程标准和 教材，同时考虑到高一学生的认知规律，
将制定如下教学目标，教学重点和难点。
知识与技能目标
理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步感悟用代数方法解决 几何
问题的思想方法，提高抽象概括能力。
过程与方法目标
通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能
力。 情感态度与价值观目标
体会几何问题代数化的思想方法，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识

67

的喜悦。
重点：直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。 难
点：直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。
（三） 教法和学法
数学 概念学习主要有两种方式，即概念的形成和概念的同化，相应的形成了
两种教学方式。美国数学家杜宾斯 基提出了概念教学的APOS理论。融合了这两
种教学方式的长处。基于这种理论，我把本节课设为三个 主要阶段，对应采用不
同的教法和学法。比如情景观察、活动探究、小组讨论、讲练结合等。
（四） 教学过程
为了完成本节课的教学目标，我设计了五个教学环节，具体如下
1.指明研究方向
新课程的基本理念指出，教师首先应该是教学的先行组织者。本节课作 为解析几
何的开篇课，应当使学生对解析几何的研究方向有一个大致的了解。基于此，我
首先向 学生提出，平面上的点可以用坐标表示，也就是几何问题代数化。那么我
们生活中见到的很多优美的曲线 能否用数来刻画呢？17世纪法国数学家笛卡尔
和费马对这个问题进行了深入的思考，创立了解析几何。 从今天起，我们就进入
两位数学家的思想世界，探索怎样以坐标系为桥梁，把几何问题代数化。
2.活动探究
这个环节主要想让学生经历探究过程后掌握倾斜角和斜率两个概念， 体会概
念的产生是自然的，并不是硬性规定的。
（探究活动一：倾斜角概念的得出）
通过对问题：“经过一点P的直线有无数条，怎样借助直角坐标系把它们区分

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开？”的探究，是想让学生自己发现引入倾斜角的必要性，并尝试如何定义倾 斜
角的概念。教师可以借助几何画板演示直线束。学生观察并研究解决方案。进而
共同归纳出倾 斜角的概念。 （探究活动二：斜率概念的得出）
得出倾斜角概念后，应向学生指明，我们虽然 能用倾斜角去刻画直线的不同倾
斜程度，但倾斜角还是一个几何概念，还没有达到我们研究的方向――几 何问题
代数化。能否用一个数值来刻画直线的倾斜程度呢？学生不难想到初中经常遇到
的坡度和 坡角的实例。并由此迁移、类比得出倾斜角的正切值叫做斜率的概念。
设计的目的是让学生感受数学概念 来源于生活，并体验从直观到抽象的过程培养
学生观察、归纳、联想的能力。
到此，斜率概 念已经建立，在此基础上5向学生提出问题：既然两点能确定一条
直线，那么两点能确定一条直线的斜率 么？这个问题直接指向了本节课的一个重
点和难点即倾斜角公式的发现。怎样能更好的突出重点，突破难 点。我设计了第
三个环节。
3.过程体验（斜率公式的发现）
根据普通班 学生的认知特点，很难直接抽象出一般情况下的斜率公式。因此我对
教材一步到位的做法进行了适当的改 编，设计成由具体特例认知到一般情况抽象
的过程。先由每名学生各自举出两个特殊的点。例如A（1， 2）、B（3，4），独
立研究如何由这两点求斜率，再通过学生相互讨论，师生共同交流提炼出解决问
题的一般方法，进而把这种方法迁移到一般化的问题上来。进而得出斜率公式1
212kxxyy＝。为了深化对公式的理解，完善对公式的认
识，我设计了如下三个思考问题：
思考1：如果直线ABx轴,上述结论还适用吗？ 思考2：如果直线ABy轴,

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上述结论还适用吗？ 思考3：交换A、B位置，对比值有影响吗？
在学生充分思考、讨论的基础上，让学生亲自操作几何 画板，在动态过程中体会
斜率公式的本质。
到此，本节课的主要知识已经建构结束。APO S理论认为，概念的形成之后是个
体内化过程，这种过程是一种螺旋上升的认知过程。为此，我设计了本 节课的第
四个环节，操作建构环节。并分为三个小部分对知识内化进行螺旋上升。
4. 操作建构
第一部分是教材例一的讲解。目的是使学生在解题中主动建构本节课的显性知识
网 络，即倾斜角、斜率、点坐标三者的关系。
为了使学生内化本节课的隐性知识，我对教材进行了改编。
变式训练：已知A(2,3), B(3,-2),C(1，2)判断AB，BC，CA这些直线的倾斜角是
锐角还是钝角。
改编后能使学生更好地体会到把倾斜角代数化的优越性。
第二部分是对教材例二的处理。目 的是让学生理解已知一点和斜率的前提下可以
确定一条直线。而确定的本质是由几何条件两点确定或几何 条件一点与倾斜角确
定。为后续学习代数问题几何化打下了伏笔。
5.小结测评作业
归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个教学环节对培养学生归纳概括能
力、自我获取知 识的能力和语言表达能力是十分重要的。本节课我采用让学生谈
学习收获的方式对倾斜角、斜率、点坐标 三者关系的理解。
课内测评是我的一贯教学环节，它能及时的使学生发现自己存在的问题，进一步< br>内化新受概念，也能及时的给教师以信息反馈。同时也为教学反思提供了数据。

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作业的布置分为必做题和选做题。目的是让不同层次的学生都得以全面的发
展。
以上五个环节环环相扣，层层深入，以明线和暗线双线渗透。并注意调动学生自
主探究与合作交 流。注意教师适时的点拨引导，学生主体地位和教师的主导作用
体现的淋漓尽致。能够较好的实现教学目 标，也使课标理念能够很好的得到落
实。
以上是我对本节课的一点不成熟的想法。谢谢大家。













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