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高中数学割圆术说课优质课教学设计

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 08:54
tags:高中数学说课稿

高中数学数列考点总结-洋葱数学高中数学全套视频

2020年9月18日发(作者:欧阳坦)



割圆术求圆周率说课教学设计
一、本课教学内容的本质、地位、作用分析
割圆术求圆周率是算法初步这一章结束后设置的阅读与思考内容,是对本章所学知识的具
体应 用。“割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的,是当时计算圆周率的比较先进的算法,至
今仍有一定 的应用价值。它体现了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想,这些思想是人们在
解决数学问题时最 基本、最朴素的思想,在其他领域也有着广泛的应用。“割圆术”这个算法本身
很有趣,操作性强,“算 理”明确,能被翻译成计算机程序上机运行,体现了中国古代数学的算法
特征。同时,围绕着圆周率的计 算这个问题有很多有趣的故事,例如从古至今许多数学家孜孜不
倦的计算圆周率的故事及一些经典而有趣 的算法等,从而激发了学生的民族自豪感和爱国精神,
培养了追求科学真理、为科学而献身的精神,培养 创新精神和对新事物的敏感性。
二、教学目标分析
1.知识目标:
使学生在明确问题的基础上,能设计方法,通过编写计算机程序求出圆周率。
2.能力目标:
在教学过程中,让学生体会割圆术算法步骤,使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理思维。
在 让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中,培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题
时主动应用 数学知识的能力。
3.德育渗透目标:
通过探索与发现的过程,使学生亲历数学研究的成功 和快乐,感悟数学朴实无华的内在美,
学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数 学应用意识,激发学生勇于探
索、敢于创新的精神,优化学生的思维品质。
三、学情分析:
理解“割圆术”的算法步骤对于学生来讲并不难,学生已经具备了由具体问题抽象概括、总
结归 纳的能力。但写出这一算法所对应的程序框图,尤其是循环结构的程序框图对学生来说难度
较大,因此, 这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。
四、教学策略分析:
《普通高中数 学课程标准》指出:高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究
活动,让学生体验数学发现 和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不是
执行者,要求教师创造出班级气氛、 创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表达自己的教育
理念等等。基于以上思想,本节课采用问题式 教学为主线,辅以启发式、探究式、自主式、讨论

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式教学方式。
五、教学过程:
1.【追本溯源、感受辉煌】
算法初步这一章的学习结束了,在这一章,我们学习了算法、程 序框图和算法语句。这些知
识看起来很简单,其实可以解决大问题。今天咱们就踏着科学家的足迹重温圆 周率的研究历程,
来体验一下计算机给我们带来的改变。
先请一位同学根据你课前查阅的资料,给大家介绍一下你所了解的圆周率。
预案1:学生可能 会从圆周率的定义及刘徽提出的“割圆术”和祖冲之计算的精确圆周率等方面作
答。
其他同学还有补充吗?
预案2:学生可能还会对圆周率计算的发展史感兴趣。
刚才两位同学说得非常精彩。他们分别叙述了圆周率的定义和计算的发展史。在计算的发展
史 中,有三点值得我们格外注意:①我国最早在先秦时期使用圆周率的值为
3
;②公元263年我 国
数学家刘徽提出“割圆术”,并将圆周率计算到
3.14
;③南北朝时期祖冲之将圆 周率计算到
3.1415926~3.1415927
之间,他的计算结果不但是当时最精密的 圆周率,同时在世界上处于领先地
位长达1000多年。他是继承并发展了刘徽提出的“割圆术”,什么 是“割圆术”呢?我们先看下
面这个问题。
【设计意图】
通过让学生自己查阅资料 ,了解圆周率及其计算的发展史,从而感受灿烂辉煌的中华文化,
激发民族自豪感和爱国精神。
2.【抽丝剥茧、感悟思想】
比如现在有一条弧,做它的任意一条割线与弧交于
A, B
两点,显然
AB
的长度大于线段
AB

的长度。接下来, 取
AB
的中点,那么与线段
AB
相比,这条折线的长度更接近
AB< br>的长度。继续
取这两段弧的中点,所得折线的长度就进一步接近
AB
的长度了。 那我们怎么才能使得折线的长度
无限接近
AB
的长度呢?
【问题1】怎样才能使折线的长度无限接近
AB
的长度?
预案:学生很容 易意识到要继续取各弧的中点,所得折线的长度就越来越接近
AB
的长度。
对。其实,不一定非得取中点,取三等分点也可以,甚至取弧上任意一点都可以。不过为了
方便起见,我们不妨取中点。这样我们就可以得到这条曲线长度的近似值。这种方法就叫做“以

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直代曲”。它不但可以帮助我们求得曲 线长度的近似值,也可以帮助我们解决曲边图形的面积问题。
比如说,我们可以用圆内接正六边形的面积 来估计该圆的面积,但这个值显然不够精确。如果想
要得到更精确一些的值,该怎么做呢?
预案:根据前面割弧所得的体验,学生容易想到取各弧的中点
取各弧的中点得到一个圆内接正十二边形,它的面积更接近圆的面积。如果再继续分割,做
成 圆的内接正二十四边形,它的面积更进一步接近圆的面积了。要想让圆内接正多边形的面积无
限接近圆的 面积该怎么办?
预案:不断分割下去
对。当圆的半径等于1时,圆的面积就是圆周率
?
。而边数
n
可以无限增大,
n
越大,得到
的面积S
越接近于
?
,将来我们会学到它的极限值就是圆周率
?
。这就 是刘徽所提出的“割圆术”。
“割圆术”完美体现了“无限逼近”以及“以直代曲”的思想。这两种思想 在其他领域还有广泛
的应用。下面,我们先体会体会割圆术的原理与手工计算。
【设计意图】
在师生交流中,提出以直代曲及无限逼近等思想,逐渐拨开表象看实质,让学生感悟“割
圆 术”所体现的思想,并体会方法的震撼力。这样一来,学生会对接下来的学习充满了好奇与期
待。
3.【传承知识、体会方法】
因为圆周率
?
等于圆面积与半径平方之比,为 了更加简单的计算
?
,不妨设圆的半径为1.
此时,我们应该如何计算圆内接正六边形的面积呢?
【问题2】如何计算圆内接正六边形的面积。
预案:由于学生初中进行过大量平面几何的训练 ,所以不难得知:圆的半径等于1,故这个正六边
形的边长也等于1.而这个正六边形可以看成是由六个 边长为1的正三角形组成的。其中,
?
x
?
在直角三角形OPA中利用勾股定 理可以求得正三角形的高
h
6
?1?
?
6
?
,那么 正三角形的
?
2
?
13
面积就是二分之一底乘高,底是正六边形的边 长,即
*x
6
*h
6
?
,因此圆内接正六边形
P< br>
24
2
的面积
S
6
?6*
3

4
A
O

Q


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x
6
?1
?
x
?
h
6
?1?
?
6
?

?
2
?
S
6
?6*
3
4
2
接下来,取圆的六段弧的中点,就得到 圆内接正十二边形 。从图中,你发现
S
12

S
6
的关
P

系了吗?
B

A

预案:由于有图形的直观做辅助,学生很容易观察得到
Q

O

S
12
等于
S
6
加上6个等腰三角形的面积。
那么如何利用
S
6
表示圆内接正十二边形的面积呢?
【问题3】如何利用
S
6
表示圆内接正十二边形的面积?
预案:学 生根据前面计算圆内接正六边形的经验,很容易求出三角形
PBQ
的面积等于
11*x
6
*
?
1?h
6
?
,从而得到
S
12
?S
6
?6**x
6
*(1?h
6
)

22
1
S
12
?S
6
?6**x
6
*(1?h
6
)

2
这样我们利用正6边形的面积很轻松地得到了正12边形的面积,那我要算圆的内接正24
边形的面积又该怎么做呢?
预案:有了前面从圆内接正六边形到圆内接正十二边形的演变过程 ,学生会自然而然的将圆弧继
续等分就得到圆的内接正24边形。它比圆内接正12边形多出12个三角 形,每一个三角形
1
的面积等于
*x
12
*(1?h
12< br>)
,所以圆内接正24边形的面积是
2
1
S
24
? S
12
?12**x
12
*(1?h
12
)

2
其中的
x
12

h
12
怎么呢? 预案:学生会类比前面计算弦心距和边长的方法,在直角三角形
POC
中利用勾股定理求出
x
12
?
?
1?h
6
?
2
?x
??
x
?
?
?
6
?
。直角三角形< br>OPC
中利用勾股定理求出
h
12
?1?
?
12?

?
2
??
2
?
22

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