高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》说课稿

《等比数列的前n项和》说课稿
各位专家、各位同行：大家好！
今天我说课的题目是等比数列的前n项和，对于这节课，我主要从下面六个方面来进行说明。
一、教材分析
教材的课程设置
等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“ 等比数列”内容的延续，也与前面学习
的函数等知识有着密切的联系。
知识的应用价值 它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中蕴涵着类比、分类讨
论等数学 思想和方法。
教学重点和难点
重点：等比数列前
n
项和公式的推导及其简 单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识
基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富 的思想方法；就能力培养来说，通过公
式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
难点：等比数列前
n
项和公式推导方法的理解。从学生认知水平看，探究能力和用数学语言< br>交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式
的 推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，
做到融会贯 通，而这对学生却是比较困难的，对错位相减法是比较陌生的，因此，教师在发挥学
生主体性前提下要给 予适当的提示和指导。
二、学情分析
认知：学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数 列的概念和通项公式及等差数列的前
n项和的公式
能力：初步具备运用知识解决问题的能力； 但对知识的整合能力、问题的探究能力及思维的
严密性上还需要进一步培养和提高.
思维：很 容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极
因素．不利因素是：本 节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导转化方式上有很大的不同，
这对学生是一个难点。
三、教学目标
1．知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和 公式及应用。这
一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课 程标准
的要求．
2．能力目标：培养学生观察问题、思考问题能力，并能灵活运用基本概念分 析问题解决问题的
能力,锻炼数学思维能力，提高学生运算求解、数据处理的能力。
3．情感 目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，
鼓励学生大胆尝 试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇
异美、结构的对称美、形 式的简洁美和数学的严谨美。．
四、教法分析
数学是一门培养和发展人的思维的重要学科 ，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要
“知其所以然”，为了体现学生的主动地位，遵循学生的 认知规律，教学过程分为问题呈现阶段、
探索与发现阶段、公式应用阶段。
探索与发现公式推 导的方法是本节课的教学难点。如果直接介绍“错位相减法”求和，对于
学生无疑就魔术师手中的魔术一 般神奇。所以在教学中采用“启发――探究”的教学模式以问题
驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生 获得推导公式的方法。
公式应用是教学的一个重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用变式设计题组 的教学手段，
通过“选择公式”，“变式的应用公式”两个层次来促进学生新的认知结构的形成。

五、教学过程

1. 创设情境，引入课题

情景：一名高中学生想到私人工厂打暑期工,老板说“你是一

名高中生，那我给你一个工资方案：我每天付你10000元薪水。
以学生身边的事情编拟情景 ，引起
但从工作的第一天开始，第一天你必须给我创造1分钱的财
富，第二天创造2分钱的财富 ，第三天创造4分钱的财富，依
学生的极大兴趣，但这“诱人”的条件
此类推，每天创造的财富 为前一天的2倍。你愿意为我工作1
到底有没有陷井引起学生的思考，学生
个月（30天）吗？ ”学生听了老板的方案后显得很高兴，感
很自然的参与了情境中的角色，这样可
觉很划算，但又 一想天底下有这么好的事吗？假如你是这名学
以极大地带动学生的积极性。

生你会答应老板的方案吗？

在教师的引导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建

立起两个数列的数学模型。学生每天得到的工资为数列{a
n
}是一

个每一项为10000的常数列。学生每天创造的资金为数列{b
n
}是

以1为首项，2为公比的等比数列。当同学们认真的求解这两个

数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成。

2.归纳类比,推导公式
（1）从等比数列的结构特点上认
由上面的分析学生们已经知道了解决上面的问题就是等比
23 29
S?1?2?2?2???2
30
数列求和：，应该怎样决这个问题呢？究
识这个递推关系式，发现等比数列中的
每一项乘以公比q，就得到与之相邻的
后面一项。如果 数列中的所有各项都同
其根源从以下几个方面引导。
(1)等比数列的定义：
a=
a
=
a
=...
2
3
4
a
1
a
2
a
3
a
n
，
a
n
=...=q
a
n-1
=a
n-1
q
，
n?1,n ?N

时乘以q，那么数列中的每一项都变成
就向后移了一位”。
（2） 等比数列中任意一项都可以
了其后一项，也可以理解成“整个数列
(2)等比数列的通项公式：
a
n
=a
1
q
n-1

(3)数列前< br>n
项和
S
n
、S
n?1
、
a
n的递推公式：
S
n
(4)等差数列前n项和公式的推导过程：
?a
1
?a
2
?...?a
n

转化为用两个基本量首项
a
1
和公比
q
来表示。
（3）这个等量关系式中已经出现
了我们要求的未知元S
n
，让学生从中得
到 启发。
（4）通过等差数列的求和思想，
帮助学生探索等比数列的求和思想。
S< br>n?1
?a
1
?a
2
?...?a
n-1
S
n
-S
n-1
?a
n
(n?1,n?N)

S
n
=b
1
+b
2
+...b
n-1
+ b
n
；
S
n
=b
n
+b
n-1
+ ...+b
2
+b
1

两个等式相加得
2S
n
?n(b
1
?b
n
)
,
S
n
=
n(b
1
+b
n
)
，即
S
n
=n b
1
+
n(n-1)d
2
2
。








学生是在一步步求结果时发现了规
律,但无法验证和证明.


通过老师前面的引导发现了其中
的奥妙.


思想：消去差异，化繁为简，即“多→少”。
在老师引导后让学生分组讨论探索求和的方法. 并且老师给
予适当的点播，通过讨论、探究后学生拿出了以下几个方案:

方案1：观察类比猜想可得
S
1
=1
S
2
=1+2=3
S
3
=1+2+2
2
=7
S
4
=1+2+2
2
+2
3
=15
依此类推，S
30
=2
30
－1
方案2：提取公比2，解方程求S
30
S
30
?1?2?2
2
?2
3
???2
29

?1?2(1?2?2
2
???2
28
)
30
?1?2S
30
?2
30

?(1?2)S
30
?1?2

?S
30
?2
30
?1

2329，
课前预习的学生仿照教材上的方法
方案3：{b
n
} 1，2，2，2，···，2
进行类比得到,但不明白为什么这样
{2b
n
} 2，2
2
，2
3
，···，2
29
， 2
30
，
做.

S
30
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
29


2S
30
= 2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
30

首先,肯定学生的思路是正确的,然后对每种方案简单分析，

方案1:根据数据规律猜想出来的，但并不严谨，需要学习数

学归纳法才能证明。

方案2:用到的是S
n
、S
n-1
、a
n
递推公式，这种方法只要点出学

生基本都可以理解。

方案3是学生比较难想到的也是本节课的重点。

下面和同学一起来分析方案3推导方法,在推倒中学生主要

存在两点疑问：

（1）为什么等比数列每一项都乘以公比２？

（2）为什么两个和式做差？

下面对学生的疑问进行解答，首先疑问(1)由等比数列的定

义，在{b
n
} 1，2，2
2
，2
3
，··· ，2
29，
的每一项乘以公比2，就

变成了后一项，所以我们可以建立一个新的数列{2b
n
} 2，2
2
，

2
3
，···，2
29
， 2
30
，会发现{2b
n
}和{b
n
}的项发生了一个错位 ，
那么{b
n
}这的和S
30
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
29
和{2b
n
}的和2S
30
=


2+2
2
+2
3
+2
4+…+2
30
的项也行成错位，所以乘以2就为了使等比数列

的项形成错位.疑问(2)由等差数列前
n
项和公式的推导思想我们

知道消去数列中项与项之间的差异可以达到达到化繁为简的目

的，所以上边两式只能做差才能消去中间的差异. 得到-S
30
为两项
< br>的差.解答了以上两个疑问,难点突破了，并且强调形成错位、两
在教师的指导下，让学生从特殊 到
式作差是关键，就把这种方法叫错位相减法。
找到了推导公式得思想方法后，引导学生将结 论一般化，设
一般，从已知到未知，步步深入，让学
等比数列
{a
n
}
，首项为
a
1
，公比为
q

让学生类比以上做法 推导出等比数列
{a
n
}
前
n
项和S
n
？
在学生推导完成后，让学生探讨两个问题：
n
1、由
(1?q)S
n
?a
1
?q
n
a
1
能否直接得到
Sn
?
a
1
?qa
1
？
生自己探究公式，体验学习的成就感．




学生很容 易在公式整理的时候忽
视了1-q为零的情况,在这里引导学生
对q进行分类讨论，得出公式， 培养了
学生的分类思想．







把引入课题时的悬念给予解释，有助
于学生积极思考．从计算结果中让学生
明确实际问 题的解决离不开数学，在市
场经济中必须有敏锐的数学头脑
1?q
?
na< br>1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1(1?q
n
)

(q?1)
?
1?q
?
2、结合等比数列的通项公式a
n
=a
1
q
n-1
, 如何把s
n
用a
1、
、a
n
、
q表示出来？ ?
na
1
(q?1)
?
得出公式的另一形式，强调公式应用中< br>S
n
?
?
a
1
?a
n
q
( q?1)
?
1?q
?
的注意事项。并引导学生探究公式与指数函数的关系。
引例的解答：
S
30
?2
30
?1?1073741823
(分) ≈1073(万元)
万元远大

于30万元
3. 应用公式，深化理解
我们在讲解例题时，不仅要告诉学生怎样解，更要告诉学生
为什么这样解，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展




学生的思维能力。
例1．已知
{a
n
}
是等比数列，请完成下表：
题号
a
1

q

n

a
n

S
n

(1)
11
2

2

8


(2)
27

2
3


8


(3)
?2


?96

?63

变式：
1.等比数列{a
n< br>}中,a
1
?6,q?2,a
n
?192,求{a
n
}前n项和S
n
.

2.a
1
?1,a
n
??512,s
n
??314.求q和n

3.已知等比数列
?a
n
?
中，a
3
?
3
2
,S
1
3
?4
2
,求a
1
.


例2 、求数列
1?a?a
2
?a
3
?
?
a
n< br>(a?0)
的前n项和。

4．总结归纳，加深理解
本节课的小结从以下2个方面进行：
1、等比数列前n项和公式及推导方法：“错位相减法”
2、等比数列前n项和公式的应用：
（1）q的取值是利用公式的前提；
（2) 要根据题意，适当选择公式。
5.课后作业，分层练习
必做题：
1．在等比数列{a
n
}中，S
n
=k－(
1
)
n
，则实数k的值为（ ）
2
（A）
1
（B）1 （C）
3
2
（D）任意实数
4
2.. 已知a
1
??1,a
4
?216,求q,s
4

3．等比数列{a
n
}的公比q=
1
，a
8
=1，求它的前8项和S
8
。
2
4.已知a
1
?2,S
3
?14,求q,a
3

思考题：求
S
n
?1?2x?3x
2
?
?
?nx
n?1
(x?0)


例1通过表格的形式直观的展现出等比
数列求和中出现的五 个量,并且通过直
接套用公式、变式运用公式、研究公式
特点让学生感受到五个量中任意知道< br>三个都可求另外两个.



用变式设计题组，深化学生对公式的认识和理解，并且在不知道公比是否
为1的情况下,利用等比数列求和公式
求和时一定要 对公比进行分类讨论。


解题时，以学生分析为主，教师适
时给予点拨， 该题有意培养学生对含有
参数的问题进行分类讨论的数学思想．


通过师生的共同小结，发挥学生的
主体作用，有利于学生巩固所学知识，
也能培养学生的归纳和 概括能力。进一
步完成认知目标和素质目标。







加深学生对公式的理解






出思考题的目的是注意分层教学和因材
施教，为学有余力的学生提供思考的空
间．

六、教学反思
教学中本着以学生发展为本的理念 ，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维
的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学 生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数
学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发 展学生的数学观察能力和语言表达能力，
培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发， 借助于变式教学的模式，培养学
生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。
巩固 练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式
的理解和运用。通 过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有
助于学生形成知识模块，优 化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。