高中数学选修2-1《椭圆的标准方程》说课稿

椭圆的标准方程-说课稿
设计者：_________________________
执教者：_________________________
课件制作者 ：___________________
时间： _____年_______月_________日
所教学校班级 _________________________
【背景介绍】
椭圆是圆锥曲线中重 要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的
基础。坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆 方程的推导是利用坐标法求曲
线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课 程的
理念，可采用学生自主探究学习的方式，使培养学生探索精神和创新能力的教学
思想贯穿于 本节课的教学设计。
椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生
亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念
引入的过程中，改变了 直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用师生合
作动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲 身经历椭圆概念形成的数学化过
程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的 化简是学生从未经历的问题。在方程的推导过程中，学生分组探
究，师生共同探讨方程的化简、研讨方程 的特征，让学生体验椭圆方程建立的具
体过程，了解椭圆标准方程的来源，并在师生合作探究、讨论的活 动中，体会成
功的快乐，提高数学探究能力，培养独立主动获取知识的能力。
设计例题、习题 的变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问
题，同时也是为了更好地调动、活跃思维，发 展数学思维能力（但这些例题和习
题应根据学生的实际供教师选用）。在解决问题中发展学生的数学应用 意识和创
新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔知识应用视野。
【教学内容分析】
教材选自人教版高中数学选修二，《椭圆的标准方程》是继学习圆以后运用

“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，它是对前面所
学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性
质和双曲线、抛物线的基 础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这
两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。椭圆的标准 方程是圆锥曲线方程研究的基
础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。由于本章节难度教大 ，学
生普遍觉得比较困难。特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题。同
时本章节的 概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果。从教
材编排上讲，现行教材中把三种圆锥 曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位。
因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。

【学生特征分析】
1。智力因素方面：知识基础、认知结构变量、认知能力等 < br>在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有
了一些了解和运用 的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学
生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基 础和学习能力，但由于学生学习解析
几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习 心理和认知
结构的影响，在学习过程中难免会有些困难
2。非智力因素方面：动机水平、归因类型、焦虑水平、学习风格等
本课主要是是一个抽 象过程，要求学生的抽象、分析、实践的能力比较高，学
生学起来有一定的难度，加上学生数学基础较差 ，理解能力，运算能力等参差不
齐等。
【教学目标】
根据新课标以及对教材和学生情况的分析，我将本节课教学目标确定为:
1、知识与技能 < br>掌握椭圆的定义及其标准方程；并在定义的归纳和方程的推导中体会探索的乐
趣；会根据条件写出 椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求
曲线方程的一般方法。
2、过程与方法
学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提

高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力。通过对实际问题分
析培养学生发现规律、认识规律、运用规律的能力；培养运用类比、分类讨论、
数形结合思想解决问题的 能力以及培养学生将抽象转化为具体、归纳知识以及逻
辑思维、建模等方面的能力。
3、情感态度价值观
在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的 审美情
趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，培养学生发现问题，探索问题，不断
超越的创 新品质。在定义方程的推导中增强学生主动探求科学知识的热情，体会
数学的简洁美，增强学生之间的合 作意识。
【教学重点、难点】
重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准 方程，用待定
系数法和定义法求曲线方程。
本小节的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住 概念中的关键句“距离之
和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难。结合“距离之和等于常 数
（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，
加强对 概念的理解。
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
本小节的难点是椭圆标准方程的推导， 在推导过程中应注意以下两点：1、“标
准状态”的两层含义：1）椭圆的两个焦点均在坐标轴上，2） 这两个焦点的中点
（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的
特殊位置的直角坐标系中的方程。2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性
【教学思路及方法】
新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”。应用实物模
型导入新课，目的是 要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来。
在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先 给学生直观的感性的认
识。接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力。
为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，本课主要采用探
究式教学方法，即“观察对 象－问题引导－讨论探究－得出结论”的探究式教学

方法，注重“引、思、探、练”的结 合。在教学上是以多媒体和演示板作为教学
手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并 自己动手分析。 使
用多媒体辅助教学与自制教具相结合的设计方案，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合，既突出了知识的产生过程，又增
加了课堂的趣味性。 这些重点体现学生是一个主动的、积极的知识探索者，尽可
能的增加学生参与教学活动的时间和思维空间 。
由于高二的学生思维比较活跃，又有了相应的知识基础，所以他们乐于探索
新知识，虽然学 习热情时起时落，但能在老师的引导下开展学习活动。在学习过
程中可以安排学生进行小组讨论，注意要 多利用定义来理解，要习惯动手画图，
可以用类比法来记忆知识点。
因此本节课将提供学生以 下4种机会：1提供观察、思考的机会：用亲切的语
言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳。2提 供操作、尝试、合作的机会：
鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题。3提供表达、交 流的
机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说。4提供成功的机会：赞
赏学生提出 的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣。

【教学媒体】根据我的教学设计，为了 提高学生学习兴趣，本节课我将采用多媒
体辅助教学，利用多媒体演示图片和自制几何画板动画辅助教学 。
【教学流程】（教学内容与教师活动、媒体的应用、学生的活动、教师的逻辑判
断）

开始
创设情景，引入新课
PPT
情景导入
答疑
学生讨论
实验探究，形成概念
教师演示
几何画板
学生操作
师生交流总结性质
研讨探究，推导方程
师生共同解析
教师引导
归纳概括，方程特征
例题研讨，变式精析
变式训练，探索创新
结束
小结归纳，提高认识


学生归纳

【教学过程】
（一）创设情境，引入概念
1、2005年 “神州六号”载人飞船顺利升空，那么“神州六号”飞船的运行
轨道是什么？
学生根据自己平时的积累，可能会回答圆或椭圆。
设计意图：展示“神州六号”飞船绕地球运 行的轨道图片，指出飞船进入太空后，
先以椭圆形轨道运行后变轨以圆形轨道运行。由于实际的结果与学 生已有的认知
产生了冲突，从而激发了学生的兴趣。

2、实物演示：圆柱形水杯倾斜时的水面。联想生活中还有哪些是椭圆图形？
回忆：1、圆是怎么画出来的？2、圆的定义是什么？3、圆的标准方程是什
么形式？
猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方
程又是什么形式？
设计意图：从生活实际出发，从而激起学生强烈的求知欲望。用类比的思想，通
过已经学过的圆 的知识猜想椭圆，开展后续教学。

（二）实验探究，形成概念
1、动手实验：以学生研究为主，教师辅助在黑板上尝试用绳子和图钉，动手画
出椭圆。
思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？
设计意图：给学生提供一个 动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究
“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个 人都动手画图，自己思考问
题，由此培养学生的自信心。
2、 概括椭圆定义
引导学生概括椭圆定义



M
F
1

F
2

椭圆定义：平面内与两个定点
F
1< br>,F
2
距离的和等于常数（大于
F
1
F
2
） 的点的轨
迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为
F
1
,F
2
的椭圆上任一点M，有什么性质？
令椭圆上任一点M，则有
MF
1
?MF
2
?2a(2a?2 c?F
1
F
2
)
，
再思考：若
2a?2c
及
2a?2c
时，轨迹是什么？
线段和无轨迹。
设计意图：让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆 的
标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件。
3、几何画板动态演示椭圆的形成过程，进一步证实。
设计意图：通过演示向学生说明椭圆的 具体画法，更直观形象。让学生体会在变
化中的变与不变及其内在联系。

（三）研讨探究，推导方程（引导学生推导椭圆的标准方程，给学生较多思考问
题的时间） < br>1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？圆心在原点的
圆的方程与不在原 点的方程哪个形式更简单？为什么？
2、研讨探究
问题：如图已知焦点为
F
1
,F
2
的椭圆，且
F
1
F
2
=2c, 对椭圆上任一点M，有
MF
1
?MF
2
?2a
，尝试推导椭 圆的方程。


M
F
1

F
2

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？
将各组学 生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己
完成设点、列式、化简。
方案一 方案二


y
M
y
F
2
x


O
M

x
F
1
O

F
2
F
1

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程
各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）
①建系：以
F
1,F
2
所在直线为x轴，以线段
F
1
F
2
的垂 直平分线为y轴，建立直
角坐标系。
②设点：设
M(x
1
,y)< br>是椭圆上任意一点，为了使
F
1
,F
2
的坐标简单以简化化简
过程，设
|F
1
F
2
|=2c(c>0)
，则F
1
(-c,0),F
2
(c,0)

设
M< br>与两定点
F
1
,F
2
的距离的和等于
2a

③列式：
|MF
1
|+|MF
2
|=2a

∴
(x+c)
2
+y
2
+(x-c)
2
+y2
=2a,

④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式 的式子？
对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
(x+c)
2
+ y
2
=2a-(x-c)
2
+y
2

两边平方，得 ：
(x+c)
2
+y
2
=4a
2
-4a(x-c)
2
+y
2
+(x-c)
2
+y
2

即
a
2
-cx=a(x-c)
2
+y
2

两边平方，得：
a
4
-2a
2
cx+c
2
x
2
=a
2
(x-c)
2
+a
2
y
2

整理，得：
(a
2
-c
2
)x
2< br>+a
2
y
2
=a
2
(a
2
-c2
)

令
a
2
-c
2
=b
2
(b>0)
，则方程可简化为：
b
2
x
2
?a2
y
2
?a
2
b
2

x
2< br>y
2
整理成：
2
?
2
?1(a?b?0)
。
ab
（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或
者不加 证明的指出。）

x
2
y
2
方程
2
?
2
?1(a?b?0)
叫做椭圆的标准方程，焦点在
x
轴上，其坐 标是
ab
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
，其 中
c
2
?a
2
?b
2
。
讨论：如果以< br>F
1
,F
2
所在直线为
y
轴，线段
F
1
F
2
的垂直平分线为
x
轴，建立直
角坐标系，焦点是< br>F
1
(0,?c),F
2
(0,c)
，椭圆的方程又如何呢？
让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：
y
2
x
2
??1(a?b?0)
为椭圆的另一标准方程。
a
2
b
2

设计意图：虽然化简式子会感到有困难，但我先 让学生尝试，适当提示学生：化
简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，为了简洁应该先移项 再平方。
逐步尝试求出焦点在
x
轴上的椭圆标准方程。
（四）归纳概括，方程特征
1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个 参数a,b,c关系：
b
2
?a
2
?c
2
(a?b ?0)
；
（４）求椭圆标准方程时，有时可运用待定系数法求出a,b的值。
2、 在归纳总结的基础上，填下表
标准方程
x
2
y
2
+2
=1
(a?b?0)

2
a
b
y
2
x
2
+
2
=1
(a?b?0)

2
b
a
y

y
M
图形
F
1

O
F
2


x

M
O
F
2


F
1
x
a,b,c关系
焦点坐标
b
2
?a
2
?c
2

b
2
?a
2
?c
2

(?c,0)

(0,?c)

焦点位置 在x轴上 在y轴上
设计意图：把两种类型的椭圆方程推导出来，那这两类方程有什么相同点，有什
么不 同点呢？先让学生进行小组讨论，找出性质，再列出表格让学生填空。这样
通过表格的对比可以对知识深 化理解。
（五）例题研讨，变式精析
例题1已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，椭圆上的 点到两焦点的距离和为10，
求它的标准方程。
[说明]对椭圆定义和椭圆的标准方程的理解和巩固。
例题2求焦点在
x
轴 上，焦点为
26
，且过点
(3,2)
的椭圆的标准方程。
[说明]此题是椭圆的标准方程的应用问题。
F
2
例题3已知定点
F
（0）、（4，0）和动点
M(x,y)
，求满足
MF
1
-4，
1
?MF
2
?2a(a?0)
的动点
M
的 轨迹及其方程。
[说明]对椭圆的标准方程的巩固。
x
2
y
2< br>例题4已知椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
，
P
为椭圆上任一点，
?F
1
PF
2
?
?
，求
?F
1
PF
2
ab
的面积。
[说明]结合余弦定理，巩固椭圆的定义。
x
2
y
2
?? 1
上一点
M
到左焦点F
1
的距离为2，
N
是
MF
1
的中点，
O
是例题5椭圆
259
坐标原点，求ON
的长。
[说明]结合三角形的中位线定理椭圆的定义来求解。

设计意图：加深学生对标准方程的理解和加深
a
、
b
、
c
关 系式的应用，当已知
a
、
b
、
c
三个量中的两个，只要确定 焦点的位置就可以求出椭圆的方程；让学生自己
分析，巩固定义，学习求椭圆方程的方法，学生要学会“ 先定位，再定量”；互
为逆向思维的例题，可以加深学生对方程和系数的理解；学习并回忆数形结合的< br>思想，方程的思想
（六）变式训练，探索创新

1. 已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程。
2。已知：椭圆经过点A(2,
3
),B(-3,
7
)，求它的标准方程。
2
3。已知：焦点在x轴上的椭圆焦点与短轴两端 点的连线互相垂直，求此焦点与
长轴较近的端点距离为
10?5
的椭圆的标准方程。
x
2
y
2
??1
上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左 焦点距离的44。在椭圆
259
倍。
x
2
y
2
??1
上动点P(x,y)与定点M(m,0) (094
1，求m。
6。已知圆
C
1
:
?
x?2
?
?y
2
?1
和 圆
C
2
:
?
x?2
?
?y
2
?4 9
，动圆
P
与圆
C
1
外切，同时
2
2与圆
C
2
相内切, (1)求动圆圆心
P
的轨迹方程; （ 2）过点（－2，0）作直线
l
与点
P
的轨迹交于M、N两点，且线段MN的 中点到y轴的距离为
方程。
x
2
y
2
??1
上的 一点，
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点，7。已知：
P
是椭圆且
?F
1
PF
2
?30?
，
25164
，求直线
l
的
5
求
?F
1
PF2
的面积。
设计意图：这些题在设计上难度逐步加深，目的是要巩固知识，灵活运用分类 讨
论的思想、数形结合的思想、方程的思想、函数思想。

（七）小结归纳，提高认识
最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补 充，最后
教师才引导和完善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思
想和方 法。

（八）作业训练，巩固提高

思考题：已知
F
是椭圆
5x
2
?9y
2
?45
的左焦点，
P是此椭圆上的动点，
A(1,1)
是一
定点，求：
PA?PF
的最大值和最小值。
说明：利用椭圆的定义，结合几何中的不等式关系求解。
设计意图：巩固椭圆标准方程的相关 知识。按照能力来选择作业也体现了分层教
学的思想，还可以激发学生挑战自己的能力，激发兴趣。

【板书设计】
根据课堂教学要求，我把板书设计如下。











【教学设计原则】
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基
础上的，因此我在教学设计过程中注意了：㈠在学生已有知识结构和新概念间寻
找“最近发展区 ”。㈡引导学生通过同化，顺应掌握新概念。㈢设法走出“概念
一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使 自己与学生一起走进“重视探究、重视
交流、重视过程” 的新天地。
本节课的设计遵循了教 学的基本原则；注重了对学生思维的发展；贯彻了教
师对本节内容的理解；体现了“学思结合﹑学用结合 ﹑学习动机与意志品质结
合”。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良

1、椭圆的定义

2、有关概念

3、标准方程
（1）焦点在
x
轴上

（2）焦点在
y
轴上
课 题
椭圆标准方程的推导过
程
例：分析思路
（1）详解
（2）关键步骤
例：……

好的作用
本节课学生在自觉进入问题情境后，通过实践、探索、体验、反思等 活动开展探
究式学习，亲身经历知识的产生过程。开放的课堂环境给予学生充分展示的自由
空间 ，真正体现学生的主体地位，使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感
体验，享受到成功的乐趣，同 时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发
展。课堂进行中使用了多媒体、演示板等教具，激发学 生的学习兴趣，使学生动
手操作，学会探索。教师不多的发言也注重分析思维过程，引导学生认识科学的
思维规律，肯定学生积极向上的态度和勇于探究的精神，让学生在生生互动、师
生互动中掌握知 识，提高解决问题的能力。