高中数学 1.3.3函数的奇偶性教案 新人教A版必修1

1.3.3 函数的奇偶性
（一）教学目标
1．知识与技能：
使学生 理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.
2．过程与方法：
通过设置问题 情境培养学生判断、推断的能力.
3．情感、态度与价值观：
通过绘制和展示优美的函数图象来 陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生
主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊 性和一般性之间的关系，培养学生善于探
索的思维品质.
（二）教学重点与难点
重点： 函数的奇偶性的概念；
难点：函数奇偶性的判断.
（三）教学方法
应用观察、归纳、启 发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，
形成概念，使学生在独立思考的基础上 进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对
函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应 用采取讲练结合的方式进行处理，使学生
边学边练，及时巩固.
（四）教学过程
教学< br>环节
教学内容 师生互动
教师提出问题，学生回
答.
设计意图
为学生认识奇、偶函
数的图象特征做好准备.
复习复习在初中学习的轴对称图
引入 形和中心对称图形的定义
1．要求学生同桌两人分别画
32
出函数
f
(
x
) =
x
与
g
(
x
) =
x
的图象.
2．多媒体屏幕上展示函数
f
(
x
) =
x
3
和函数
g
(
x
) =
x
2
的图
象，并让学生分别求出
x
=±3，
1． 教师指导，学生1．要求学生动手作
作图，学生作完图后教师图以锻炼学生的动手实
提问：观察 我们画出的两践能力，为下一步问题的
个函数的图象，分别具有提出做好准备. 并通过
怎样的对称性？问题来引导学生从形的
3
学生回答：
f
(
x
) =
x
角度认识两个函数各自
关于原点成中心对称图的特征.
1
x
=±2，
x
=±，… 的函数值，
2
2
形；
g
(
x
) =
x
关于
y
轴2．通过特殊值让学
同时令两个函数图象上对应的点成轴对称图形. 生认识两个函数各自对
概念
在两个函数图象上闪现，让学生2．老师边让学生计称性实质：是自 变量互为
形成
发现两个函数的对称性反映到函算相应的函数值，边操作相反数时，函数值互为 相
数值上具有的特性：课件，引导学生发现规反数和相等这两种关系.
f
(–
x
) = –
f
(
x
)，
g
(–
x
) = 律，总结规律，然后要求3．通过引例使学生
g
(
x
). 然后通过解析式给出证学生给出证明；学生通过对奇函数和偶函数的形
明， 进一步说明这两个特性对定观察和运算逐步发现两和数的特征有了初步的
义域内的任意一个
x< br>都成立.个函数具有的不同特征：认识，此时再让学生给奇
3．奇函数、偶函数的定义：
f
(–
x
) = –
f
(
x
)，函数和偶函数下定义应
奇函数：设函数
y
=
f
(
x
)
g
(–
x
) = –
g
(
x
).是水到渠成.
的定义域为
D
，如果对
D
内的任3.教师引导归纳：这
用心 爱心 专心

意一个
x
，都有
f
(–
x
) = –
f
(
x
)，
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数
y
=
g
(
x
)
的定义域为
D
，如果对
D
内的任
意一个
x
，都有
g
(–
x
) = –
g
(
x
)，
则这个函数叫做偶函数.
时我们称函数
f
(
x
) =
x
这样的函数为奇函数，像
2
函数
g
(
x
) =
x
这样的函
数为偶函数，请同学们根
据对奇函 数和偶函数的
初步认识加以推广，给奇
函数和偶函数分别下一
个定义.
学生讨 论后回答，然
后老师引导使定义完善.
在屏幕展示奇函数和偶
函数的定义.
老师：根据定义，哪
些同学能举出另外一些
奇函数和偶函数的例
子？
3
学生：
f
(
x
) =
x
，
1
2
f
(
x
) = –
x
6
–
4
x
，….
教师设计以下问题组织学生讨论思考回答.
问题1：奇函数、偶
函数的定义中有“任意”
二字，说明 函数的奇偶性
是怎样的一个性质？与
单调性有何区别？通过对三个问题的
问题2：–< br>x
与
x
在探讨，引导学生认识到：
几何上有何关系？具有（1）函数的 奇偶性 是函
奇偶性的函数的定义域数在定义域上的一个整
有何特征？体性质，它不同于单调< br>问题3：结合函数
f
性.（2）函数的定义域关
3
(
x
) =
x
的图象回答以下 于原点对称是一个函数
问题：为奇函数或偶函数的必
（1）对于任意一个要条件.
奇函 数
f
(
x
)，图象上的（3）奇函数的图象
点
P
(
x
，
f
(
x
))关于原点关于原点对称，偶函 数的
对称点
P
′的坐标是什图象关于
y
轴对称.
么？点
P
′是否也在函数
f
(
x
)的图象上？由 此可
得到怎样的结论.
（2）如果一个函数
的图象是以坐标原点为
对称中心的 中心对称图
4
（1）强调定义中“任意”二
字，说明函数的奇偶性在定义域
上 的一个整体性质，它不同于函
数的单调性 .
（2）奇函数与偶函数的定义
域的特征是 关于原点对称.
（3）奇函数与偶函数图象的
对称性：
如果一个函数是奇函数，则概念
这个函数的图象以坐标原点为对
深化
称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原
点为对称中心的中心对称图形，
则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则
它的图形是以
y
轴为对称轴的轴
对称图形；反 之，如果一个函数
的图象关于
y
轴对称，则这个函
数是偶函数.
用心 爱心 专心

形，能否判断它的奇偶
性？
学生通过回答问题3
可以把奇函 数图象的性
质总结出来，然后老师让
学生自己研究一下偶函
数图象的性质.
例1 判断下列函数的奇偶1．选例1的第（1）1．通过例1解决如
性；小题板书来示范解题的下问题：
35
（1）
f
(
x
) =
x
+
x
+
x
；步骤，其他例题让几个学①根据定义判断一
2
（ 2）
f
(
x
) =
x
+1；生板演，其余学生在下面个函数是奇函数还是偶
（3）
f
(
x
) =
x
+ 1；自己完成，针对板演的同函数的方法和步骤是：第
2
（4）
f
(
x
) =
x
，
x
∈[–1，学所出现的步骤上的问一步 先判断函数的定义
3]；题进行学生做好总结归域是否关于原点对称；第
（5）
f
(
x
) = 0.纳. 二步判断
f
(–
x
) =
f
(
x
)
学生练习：2．例2可让学生来还是判断
f
(–
x
) = –
f

判断下列函数的是否具有奇设计如何研究函数的性(
x
).
偶性：质和图象的方案，并根据②通过例1中的第
3
(1)
f
(
x
) =
x
+
x
；学生提供的方案，点评方（3）小题说明判断函数
2
(2)
f
(
x
) = –
x
；案的可行性，并比较哪种既不是奇函数也不是偶
3
(3)
h
(
x
) =
x
+1；方案简单. 函数.
3．做完例1和例2③ 例1中的第（4）
1
(4)
k
(
x
) =
2
，
x
[–1，
x?1
后要求 学生做练习，及时小题说明判断函数的奇
2]；巩固. 在学生练习过程偶性先要看一下定义域
(5)
f
(
x
) = (
x
+ 1) (
x
– 中，教师做好巡视指导. 是否关于原点对称.
应用
1)；例1 解答案 ④
f
(
x
) = 0既不奇
举例
(6)
g
(
x
) =
x
(
x
+ 1)；（1）奇函数 函数又是偶函数的函数
（2）偶函数 是函数值为0的常值函
(7)
h
(
x
) =
x
+
3
x
；
（3）非奇非偶函数 数. 前提是定义域关于
1
(8)
k
(
x
) =
2
.
x?1
（4）非奇非偶函数 原点对称.
（5）既奇又偶函数 ⑤总结：对于一个函
1
例2 研究函数
y
=
2
的性质
x
学生练习答案 数来说，它的奇偶性有四
并作出它的图象.（1）奇函数 种可能：是奇函数但不是
学生练习：（2）偶函数 偶函数；是偶函数但不是
1．判断下列论断是否正确：（3）非奇非偶函数 奇函数；既是奇函数又是
（1） 如果一个函数的定义（4）非奇非偶函数 偶函数；既不是奇函数也
域关于坐标原点对原对称，则这（5）偶函数 不是偶函数.
个函数关于原点对称；则这个函（6）非奇非偶函数 2．对于例2主要让
数为奇函数；（7）奇函数 学生体会学习了函数的
（2）如果一个函数为偶函（8）偶函数 奇偶性后为研究函数的
数，则它的定义关于坐标原点对例2 偶函数（图略） 性质带来的方便. 在此
称，学生练习 问题的处理上要先求一
（3）如果一个函数定义域关1．（1）错 下函数的定义域，这是研
于坐标原点对称，则这个函数为（2）错 究函数性质的基础，然后
用心 爱心 专心

偶函数； （3）错 判断函数图象的对称性，
（4）如果一个函数的图象关（4）对 再根据奇、偶函数在
y
轴
于
y
轴对称，则这个函数为偶函2．不能为奇函数但一侧的图象和性质就可
数. 可以是偶函数 以知道在另一侧的图象
2．如果
f
(0) =
a
≠0，函3．偶函数 和性质.
数
f
(
x
)可以是奇函数吗？可以∵
f
(–
x
) =
f
(
x
)
是偶函数吗？为什么？
g
(–
x
) =
g
(
x
)
3.如果函数
f
(
x
)、
g
(
x
)为∴
F
(–
x
) =
F
(
x
)
定义域相同的偶函数，试问
F
(
x
) 4．
f
(–4) = –
f
(4)
=
f
(
x
) +
g
(
x
)是不是偶函数？= –2.
是不是奇函数？为什么？ 5．∵
f
(–3)＞
f

4．如图，给出了奇函数
y
= (–1)
f
(
x
)的局总图象，求
f
(– 4). 又
f
(–3) =
f
(3)
y
f
(–1) =
f
(1)
2
∴
f
(3)＞
f
(1)
O 4
x

5．如图，给出了偶函数
y
=
f
(
x
)的局部图象，试比较
f
(1)
与
f
(3) 的大小.
y
2
– 3 – 1
O
x

关注学生的自主体
归纳从知识、方法两个方面来对让学生谈本节课的
验，反思和发表本 堂课的
总结 本节课的内容进行归纳总结. 收获，并进行反思.
体验和收获.
通过分层作业使学
生进一步巩固本节课所
学内容. 并为学有余力
和学习兴趣浓厚的学生
提供进一步学习的机会.
布置
作业
1.3第三课时 习案. 学生独立完成
备选例题.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）
f
(
x
) =
1?x
2
?x?1
1?x
2
?x?1
；
（2）
f
(
x
) =
|x|
.
x2
?1
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
用心 爱心 专心

f
(
x
) =
(1?x
2
?x?1)(1?x
2
?x?1)
(1?x?x?1) (1?x?x?1)
22

=
2x
(1?x?x?1)(1?x?x?1)
22
，
f
(–
x
) =
2(?x)
(1?(?x)
2< br>?x?1)(1?(?x)
2
?(?x)?1)

=
?2x
(1?x?x?1)(1?x?x?1)
22

= –
f
(
x
)，
∴
f
(
x
)是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
|?x|
|x|
f
(–
x
) ==
2
=
f
(
x
).
2
(?x)?1
x?1
∴
f
(
x
)为偶函数.
例2 （1）设
f
(
x
)是偶函数，
g
(
x
)是奇函数，且
f
(
x
) +
g
(
x
) =
1
，求函数
f
(
x
)，
x?1
g
(
x
)的解析式；
（2）设函数
f
(
x
)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又
f
(
x
)在(0，+∞)上
是减函数，且
f
(
x
)＜0，试判断函数
F
(
x
) =
1
在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
f(x)
解析：（1）∵
f
(
x
)是偶函数，
g
(
x
)是奇函数，
∴
f
(–
x
) =
f
(
x
)，
g
(–
x
) = –
g
(
x
)，
由
f
(
x
) +
g
(
x
) =
1

x?1
①
用–
x
代换
x
得
f
(–
x
) +
g
(–
x
) =
∴
f
(
x
) –
g
(
x
) =
1
，
?x?1
1
，
?x?1
②
(①

+

②)÷2 = 得
f
(
x
) =
1x
； (①.

–

②)÷2 = 得
g
(
x
) =
x
2
?1x
2
?1
（2）
F
(
x
)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设
x
1
，
x
2
–∞，0)，且
x
1
＜
x
2
.
则
△x
=
x
2
–
x1
＞0且–
x
1
，–
x
2
(0，+∞)，
且–
x
1
＞–
x
2
，
则
△
(–
x
) = (–
x
2
) – (–
x
1
) =
x
1
–
x
2
= –
△x
＜0，
∵
f
(
x
)在（0，+∞）上是减函数，∴
f
(–
x
2
) –
f
(–
x
1
)＞0 ①
又∵
f
(
x
)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴
f
(–
x
1
) = –
f
(
x
1
)，
f
(–
x
2
) =
–
f
(
x
2
)，
由①式得 –
f
(
x
2
) +
f
(
x
1
) ＞0，
用心 爱心 专心

即
f
(
x
1
) –
f
(
x
2
)＞0. 当
x
1
＜
x
2
＜0时，
F
(
x
2
) –
F
(
x
1
) =
f(x
1
)?f(x
2
)
11
，
??
f(x
2
)f(x
1
)f(x
1
)?f(x
2
)
又∵
f
(
x
) 在(0，+∞)上总小于0，
∴
f
(
x
1
) = –
f
(–
x
1
)＞0，
f
(
x
2
) = –
f
(–
x
2
)＞0，
f
(
x
1
)·
f
(
x
2
)＞0，
又
f
(
x
1
) –
f
(
x
2
)＞0，∴
F
(
x
2
) –
F
(
x
1
)＞0且
△
x
= x
2
–
x
1
＞0，
x)
在(–∞，0)上是增函数.
用心 爱心 专心
1
故
F
(
x
) =
f(