高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程说课稿

圆的标准方程
【一】教学背景分析
1． 教材结构分析
《圆 的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活
和生产实 践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直
线与圆的 位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容
在整个解 析几何中起着承前启后的作用.
2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质 后，又掌握了求曲线方程的一般方法的
基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学 习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟
练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力 ,合作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学目标：
3． 教学目标
(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解 方程中各个字母
的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．
(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜
率求切线等．
4. 教学重点与难点
重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线 ；从圆外一点引切线；
已知切线斜率求切线)．
难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：
【二】教法学法分析
1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的
问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行
辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程 .
2．学法分析 通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求 圆的标准方程，
理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系 数法求
a、b、r
的过程.
下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：
【三】教学过程与设计
下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.
首先：纵向叙述教学过程
（一）创设情境——启迪思维
问题一 已知隧道的截面 是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m
的货车能不能驶入 这个隧道？
y
通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度4
转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一
D
般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心
在原点，半径为4的圆的 标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问
C

A
0
2.7
1
B
x

题创设问题情 境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样
获取的知识， 不但易于保持，而且易于迁移.
通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标 法研究圆的方程上来，此时再
把问题深入，进入第二环节.
（二）深入探究——获得新知
y
问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为
r
的圆的方程？
2．如果圆心在
(a,b)
，半径为
r
时又如何呢？
r< br>C(a,b)
M(x,y)
这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点， 半径为4的圆的
0
x
标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方 程.然后再让学生
对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是： 坐标法、图形变换
法、向量平移法.
得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.
（三）应用举例——巩固提高
I．直接应用 内化新知
问题三 1．写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
.
2．写出圆
(x?2)
2
?y
2
?(?2)
2
的圆 心坐标和半径.
我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第 二题是给出圆
的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生 熟练掌握圆心
坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.
II．灵活应用 提升能力
问题四例1．写出圆心为C(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点 m1(5.-7)， m2(-5,-1)
是否在这个圆上。
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上, 求圆心为C的圆的
标准方程.
我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础， 学生会很快求出半径，根据圆心坐标
写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系 数法确定圆心坐标和半径再求解，从
而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决 方法较多，我预设了四种方法再一次
为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行 归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆
的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达 到高潮.
III．实际应用 回归自然
问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用
一个支柱支撑，求支柱
A< br>2
P
2
的长度（精确到0.01m）.
我选用了教材的例3，它是待 定系数法求出圆的三个参数
a、b、r
的又
一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形 成解决实际问题的一般方法，培
养了学生建模的习惯和用数学的意识.
（四）反馈训练——形成方法

2

问题六 1．求过原 点和点
P(1,1)
，且圆心在直线
2x?3y?1?0
上的圆的标准方程.
2．求圆
x
2
?y
2
?13
过点
P(?2 ,3)
的切线方程.
3．求圆
x
2
?y
2
?25
过点
B(?5,2)
的切线方程.
（五）小结反思——拓展引申
1．课堂小结
把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法
①圆心为
C(a,b)
，半径为r 的圆的标准方程为：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
；
圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：
x
2
?y
2
?r
2
.
②已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上 一点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程是：
x
0
x?y
0
y?r
2
.
2．分层作业 （A）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.
（B）思维拓展型作业： < br>试推导过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线方程.

3